全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷5（共225題）

全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷5（共9套）（共225題）全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、向量a={1，-1，2}與b={2，1，一1}的夾角為α，則cosα=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：2、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、r為圓周則∫rx2ds=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由對稱性，∫rx2ds=∫ry2ds=∫rz2ds，則(2πa=∫rds：球面大圓周長)．4、微分方程y"=ex的通解是()A、exB、e2+C1C、ex+C1xD、ex+C1x+C2標準答案：D知識點解析：y"=ex，兩邊同時積分y’=ex+C1，兩邊再同時積分y=ex+C1x+C2．5、設冪級數(shù)的收斂半徑分別為的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題意可知則所求收斂半徑二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、微分方程x2dy+(3xy-y)dx=0的通解是_______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：7、若級數(shù)=________FORMTEXT標準答案：10知識點解析：8、微分方程y"+2y’一3y=0的通解為_______．FORMTEXT標準答案：C1ex+C2e-3x知識點解析：特征方程為r2+2r-3=0，其根r1=1，r2=一3，故通解為y=C1ex+C2e-3x．9、冪級數(shù)e1+x在x=一1處展開式為______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：ex在x=0處的冪級數(shù)展開式為ex=故e1+x在x=-1處的冪級數(shù)展開式為e1+x=10、當|x|＜1時，無窮級數(shù)的和函數(shù)為______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：因|x|＜1，則級數(shù)的首項為一1，故其和函數(shù)為三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求過點(0，1，4)且與平面x+2z=1及y一2z=2都平行的直線方程．標準答案：設所求直線的方向向量n={a，b，c}，則a+2c=0，b—2c=0，故a=一2c=一b．故取n={一2，2，1}，則所求直線方程為知識點解析：暫無解析12、求曲面處的切平面方程．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2一xyz在點P(1，一1，2)處沿方向l={1，0，1}的方向?qū)?shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)z=x2+y2在條件下的極值．標準答案：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=x2+y2+令是一個極小值點，知識點解析：暫無解析16、求其中D是以(0，0)(1，1)(0，1)為頂點的三角形．標準答案：無法用初等函數(shù)表示，故積分時必須考慮次序．知識點解析：暫無解析17、計算(x2ycosx+2xysinx—y2ex)dx+(x2sinx—2yex)dy，其中L為正向星形線標準答案：P=x2ycosx+2xysinx—y2ex，Q=x2sinx一2yex知識點解析：暫無解析18、求微分方程的通解．標準答案：由一階線性微分方程的通解公式有知識點解析：暫無解析19、設∑為坐標面及平面x=1，y=1，z=1所圍成的正方體表面的外側(cè)，計算曲面積分(2xz2+y2一z)dxdy．標準答案：設Ω：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1．由高斯公式得知識點解析：暫無解析20、一曲線通過點(1，3)，它在兩坐標軸間的任一切線線段均被切點平分，求該曲線方程．標準答案：設曲線方程為y=y(x)，曲線上任一點(x，y)的切線方程為由假設，當Y=0時，X=2x，代入上式，即得曲線所滿足的微分方程為積分得xy=C，且由題意，初始條件為y|x=1=3，故C=3，從而所求曲線方程為xy=3．知識點解析：暫無解析21、求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間．標準答案：故級數(shù)的收斂半徑為令t=x一1對t=2，原級數(shù)成為發(fā)散．對t=-2原級數(shù)成為是交錯級數(shù)，由萊布尼茨判別法知該級數(shù)收斂，則該級數(shù)收斂區(qū)間為t∈[一2，2)，即x∈[一1，3)．知識點解析：暫無解析22、求級數(shù)(一1)n(n+1)xn的和函數(shù)x∈(一1，1)．標準答案：設其和函數(shù)為s(x)，其一般項為(一1)n(n+1)xn=[(-1)nxn+1]’．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、試確定a、b，使得(ay2一2xy)dx+(bx2+2xy)dy是某一個函數(shù)的全微分．標準答案：因P(x，y)=ay2一2xy，Q(x，y)=bx2+2xy，若Pdx+Qdy是某個函數(shù)的全微分，則故2ay一2x=2bx+2y，則a=1，b=一1．知識點解析：暫無解析24、求函數(shù)f(x，y)=2(x+y)一x2一y2的極值．標準答案：由得駐點(1，1)，又由于fxx=一2＜0，fxy=0，fyy=一2．而△=fxy2一fxxfyy=0一(一2)×(一2)=一4＜0，且fxx＜0，所以f(x，y)在點(1，1)處取得極大值f(1，1)=2×(1+1)一1—1=2．知識點解析：暫無解析25、試證f(x，y)=在點(0，0)處兩個偏導數(shù)存在，但是函數(shù)f(x，y)在該點不連續(xù)．標準答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設積分區(qū)域D是由直線x＝y(tǒng)，y＝0及所圍成，則二重積分的值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：．答案為D2、平面x+2y一3z+4=0的法向量為()A、{1，2，一3}B、{一1，2，一3}C、{1，一2，3}D、{1，一2，3}標準答案：A知識點解析：x+2y一3z+4=0的法向量為(1，2，一3)．3、微分方程y’+x2y=cosx是()A、一階線性齊次微分方程B、一階線性非齊次微分方程C、二階微分方程D、可分離變量方程標準答案：B知識點解析：由一階線性微分方程定義即知．4、已知f(1，2)＝7－10ln2為函數(shù)f(x，y)＝ax2＋bxy＋ay2＋clnx＋dlny的極小值，則a、b、c、d分別為()A、1，1，4，10B、－1，－1，－4，－10C、1，1，－4，－10D、－1，－1，4，10標準答案：C知識點解析：本題考查函數(shù)取極值的必要條件．f(x,y)＝ax2＋bxy＋ay2＋clnx＋dlny，則，由函數(shù)取極值的條件知f(1，2)取極小值．故a＋2b＋4a＋din2＝7－10ln2，即5a＋26＋dln2＝7－10ln2，所以d＝－10，5a＋2b＝7聯(lián)立及2a＋2b＋c＝0得a＝1，b＝1，c＝－4．答案為C．5、設無窮級數(shù)收斂，則()A、p＞1B、p＜3C、p＞2D、p＜2標準答案：D知識點解析：此級數(shù)為P級數(shù)，根據(jù)其特點知，當3－P＞1時，即P＜2時該級數(shù)收斂．答案為D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、若，則．FORMTEXT標準答案：知識點解析：因為，則·，即．7、微分方程e－xdy＋e－ydx＝0的通解為________．FORMTEXT標準答案：ex＋ey＝C知識點解析：由e－xdy＋e－ydx＝0分離變量得eydy＝－exdx．兩端積分得ey＝－ex＋C，即ex＋ey＝C8、設函數(shù)f(x)＝7πx＋x2(－π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)展開式為(ancosnx＋bnsinnx)，則其系數(shù)b3＝_______.FORMTEXT標準答案：知識點解析：本題考查函數(shù)的傅里葉系數(shù)．9、已知z＝f(x＋y，xy)，其中f為可微函數(shù)，則dz＝________．FORMTEXT標準答案：(f’1＋yf’2)dx＋(f’1＋xf’2)dy知識點解析：10、微分方程xdy—ydx＝y(tǒng)2eydy的全部解為________．FORMTEXT標準答案：x＋yey＝Cy及y＝0知識點解析：y＝0是所給微分方程的解，下面考慮y≠0，將所給微分方程改寫為所以，所給微分方程的全部解是及y＝0，即x＋yey＝Cy及y＝0．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求函數(shù)u(x，y，z)=在(一1，1，0)處的梯度．標準答案：知識點解析：暫無解析12、求曲面x2＋2y2－3z＝0在點(2，1，2)處的法線方程．標準答案：設F(x，y，z)＝x2＋2y2－3zFx＝2x，F(xiàn)y＝4y，F(xiàn)z＝－3Fx(2，1，2)＝4Fy(2，1，2)＝4Fz(2，1，2)＝－3所求法線方程為．知識點解析：暫無解析13、計算(x2ycosx+2xysinx—y2ex)dx+(x2sinx—2yex)dy，其中L為正向星形線標準答案：P=x2ycosx+2xysinx—y2ex，Q=x2sinx一2yex知識點解析：暫無解析14、求經(jīng)過點P(3，0，－1)，平行于平面π：3x－7y＋5z－12＝0的平面方程．標準答案：本題考查平面方程的求解．平面π的法向量為{3，－7，5)，所求平面平行于平面π，于是其點法式方程為3(x－3)－7y＋5(x＋1)＝0，即：3x－7y＋5z－4＝0．知識點解析：暫無解析15、設Ω是由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2，平面z=0及平面z=1所圍成的區(qū)域，求三重積分．標準答案：積分區(qū)域Ω，如下圖所示，Ω在Oxy坐標面上的投影域為Dxy：x2+y2≤1，(x2+y2+z)dxdydz=(r2+z)dz=知識點解析：暫無解析16、設L為折線OAB，其中O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲線積分∫Lxyds．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求z=sinxcosy在點的切平面與法線方程．標準答案：令F(x，y，z)=sinxcosy一z，則知識點解析：暫無解析18、求過點(0，2，4)且與兩平面x＋2z＝1和y－3z＝2平行的直線方程．標準答案：本題是有關(guān)直線方程的求解問題．平面x＋2z＝1和y－3z＝2的法向量分別為n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．因所求直線與兩平面均平行，從而其方向向量可取為v且有v⊥n1，v⊥n2．又直線過點(0，2，4)，從而所求直線的對稱式方程為知識點解析：暫無解析19、求曲面z=3一x2一2y2上平行于平面2x+4y+z+8=0的切平面方程．標準答案：由z=3一x2一2y2，于是zx=一2x，zy=一4y，由于所求切平面平行于平面2x+4y+z+8=0，因此，解上式得x=1，y=1，z=0，則=—2，=—4，故所求平面方程為z=—2(x—1)—4(y—1)．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)u=x+y2+yz在曲線x=t，y=t2，z=t3上點(1，1，1)處，沿曲線在該點的切線正方向的方向?qū)?shù)．標準答案：切向量T=(t，2t，3t2)|(t,1)=(1，2，3)，e=，gradu|(1,1,1)=(1，2y+z，y)|(1,1,1)=(1，3，1)．所求方向?qū)?shù)為知識點解析：暫無解析21、計算三重分zdxdydz，其中Ω是由曲面z＝x2＋y2，z＝0及x2＋y2＝1所圍區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析22、已知可導函數(shù)f(x)滿足f(x)=2+∫0xtf(t)dt，求函數(shù)f(x)．標準答案：由f(x)=2+∫0xtf(t)dt，兩邊同時求導得：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、(1)已知函數(shù)x+y+z=sin(x+y+z)，求z對x，y的一階與二階偏導數(shù)；(2)已知函數(shù)z=，求dz．標準答案：(1)令F(x，y，z)=x+y+z一sin(x+y+z)，則Fx=Fy=Fz=1一cos(x+y+z)．故(2)所以dz==知識點解析：暫無解析24、將函數(shù)展開成(x＋4)的冪級數(shù)．標準答案：本題考查函數(shù)冪級數(shù)展開成立的區(qū)間．知識點解析：暫無解析25、設z=y+F(u)，u=xn一yn，其中F是可微函數(shù)，證明標準答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第3套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、平面π1：x－4y＋z＋5＝0與π2：2x－2y－z＋3＝0的夾角θ＝()A、πB、C、D、標準答案：C知識點解析：本題考查空間兩平面的夾角．由題意知平面π1、π1的法線向量分別為n1＝{1，－4，1)，n2＝{2，－2，－1)．知｜n1｜，｜n2｜＝3，n1.n22＋8—1＝9，所以cosα＝．答案為C．2、設函數(shù)f(x，y)滿足fx(x0，y0)＝f(x0，y0)＝0，則函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處()A、一定連續(xù)B、一定有極值C、一定可微D、偏導數(shù)一定存在標準答案：D知識點解析：本題考查函數(shù)在某點處的性態(tài)．由二元函數(shù)連續(xù)可微的定義可知，fx(x0，y0)＝0(x0，y0)＝0不能推出f(x，y)在點(x0，y0)處一定連續(xù)，可微．而fx(x0，y0)＝fy(x0，y0)＝0只是極值存在的必要條件，不能推出f(x，y)在點(x0，y0)處一定有極值．由偏導數(shù)的定義可知，D選項正確．答案為D．3、設B是圓形區(qū)域x2＋y2≤4，則二重積分dxdy＝()A、B、C、4πD、π標準答案：B知識點解析：令x＝rcosθ，y＝rsinθ，則0≤θ≤2π，0≤r≤2∴答案為B．4、已知二階常系數(shù)線性齊次微分方程y"＋Py’＋qy＝0的通解為y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)，則常數(shù)p和q分別為()A、－2和5B、2和－5C、2和3D、－2和－3標準答案：A知識點解析：依題知特征方程r2＋pr＋q＝0有一對共軛復根，r＝1±2i，代入特征方程得：P＝－2，q＝5．答案為A．5、級數(shù)＋…()A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、收斂于標準答案：B知識點解析：該級數(shù)是公比．故該級數(shù)收斂，且和為。答案為B。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、若向量兩兩的夾角都為＝_______．FORMTEXT標準答案：5知識點解析：只需求出．設向量的夾角為θab，則．由已知條件．同理，于是7、設函數(shù)＝_______.FORMTEXT標準答案：知識點解析：8、二重積分＝_______．FORMTEXT標準答案：f(a)－f(0)知識點解析：本題考查二重積分的計算．由題意知，積分區(qū)域如下圖所示．9、微分方程y"’－3y＝sinx的階數(shù)是_______．FORMTEXT標準答案：3知識點解析：由題意知：特征方程：r3一3r＝0r(r2－3)＝0∴r＝0或r＝±故此微分方程的階數(shù)是3階．10、將函數(shù)展開為(x－2)的冪級數(shù)_______．FORMTEXT標準答案：(x－2)n，1＜x＜3知識點解析：先將函數(shù)改寫成變量為(x－2)的表達形式，則再在－1＜x＜1內(nèi)，將展開式中的x代換為(x－2)，可得，－1＜x－2＜1．解其中的不等式可得收斂域為1＜x＜3．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求過點(3，3，－2)并且與平面2x－y＋z－3＝0垂直的直線方程．標準答案：所求直線的方向向量為{2，－1，1}所以所求直線方程為．知識點解析：暫無解析12、設．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求函數(shù)f(x，y，z)＝x2－y＋z2在點P(2，－1，2)處沿方向L＝{2，－1，2)的方向?qū)?shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)z＝x2－y2在點(1，1)處，沿與x軸正向成60°角的方向l的方向?qū)?shù)．標準答案：本題考查函數(shù)在某點處的方向?qū)?shù)．zy＝2x，zy＝－2y，又，(1,1)cosα＋zy(1，1)cosβ＝．知識點解析：暫無解析15、計算積分。標準答案：知識點解析：暫無解析16、計算。標準答案：本題考查三重積分的計算．用球坐標系：知識點解析：暫無解析17、計算對弧長的曲線積分，其中C是圓周x2＋y2＝1．標準答案：原式＝∮ce2ds＝e2∮cds＝2πe2．知識點解析：暫無解析18、計算∫L(x＋2y)dx＋xdy，其中L是從點(0，1)沿曲線(x≥0)到點(1，0)．標準答案：L的參數(shù)方程為，故∫L(x＋2y)dx＋xdy＝[(cos3t＋2sin3t)(－3cos2tsint)＋3sin2tcos4t]dt知識點解析：暫無解析19、求微分方程y"－2y’－3y＝0的通解．標準答案：特征方程為r2－2r－3＝0特征根為r1＝－1，r2＝3方程通解為y＝C1e－x＋C2e3x.知識點解析：暫無解析20、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：y"＋4y’＋29y＝0，y’｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝15．標準答案：本題考查微分方程的求解．與原齊次方程對應的特征方程為，r2＋4r＋29＝0此方程的解為r1＝－2＋5i，r2＝－2＝－5i。故所給方程的通解為y＝e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)y’＝5e－2x(－C1sin5x＋C2cos5x)－2e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)＝e－2x[(－5C1－2C2)sin5x＋(5C2－2C1)cos5x]把初始條件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝15代入上面兩式解得C1＝0，C2＝3故所求特解為y＝3e－2xsin5x．知識點解析：暫無解析21、判斷無窮級數(shù)的斂散性．標準答案：∵∴由達朗貝爾判別法得，原級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：令x－3＝t，原級數(shù)轉(zhuǎn)化為故級數(shù)(1)的收斂半徑R＝1．當t＝1時級數(shù)(1)成為∵．當t＝－1時，級數(shù)(1)成為是交錯級數(shù)，收斂．因此級數(shù)(1)的收斂域為[－1，1]，即原級數(shù)當－1≤x－3≤1時收斂，從而原冪級數(shù)的收斂域為[2，4]．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)z＝x3＋8y3－6xy＋5的極值．標準答案：(1)令，解這個方程組．第一個方程可變?yōu)閤2＝2y，第二個方程可變?yōu)閤＝4y2＝(2y)2．于是得到x＝(x2)2＝x4，進而變?yōu)閤(x3－1)＝0．得到x1＝0，x2＝1，從而方程組的解為。得到兩個駐點M1(0，0)和M2．求函數(shù)的二階偏導數(shù)A＝zxx＝6x，B＝zxy＝－6，C＝zyy＝48y．在點M1(0，0)處，A＝0，B＝－6，C＝0，因此△＝B2＝AC＝36＞0．則在點M1(0，0)處函數(shù)不取得極值．在點M2處，A＝6，B＝－6，C＝24，因此△＝B2－AC＝－108＜0．則在點M2處，函數(shù)取得極值．因A＞0，則是極小值．注：多元函數(shù)求極值一般分為兩個步驟，第一步是求出可疑的極值點(駐點、不可導點)，第二步是在可疑點處判斷是否取得極值．對于第一步，通常是找駐點，其方法是令函數(shù)的各個偏導數(shù)等于零，然后解這個由偏導數(shù)構(gòu)成的方程組．對于第二步，當函數(shù)有二階偏導數(shù)時，可用取得極值的充分條件來判斷駐點是否為極值點．知識點解析：暫無解析24、設曲線y＝z(x)在其上點(x，y)處的切線斜率為4x2＝，且曲線過點(1，1)，求該曲線的方程．標準答案：知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)ln(3＋x)展開成x的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間．標準答案：本題考查函數(shù)冪級數(shù)展開成立的區(qū)間．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、點P(2，一3，1)關(guān)于Oxz坐標面的對稱點是()A、(一2，3，一1)B、(一2，一3，一1)C、(2，一3，一1)D、(2，3，1)標準答案：D知識點解析：設點P(2，-3，1)關(guān)于Oxy坐標面的對稱點為P0(x0，y0，z0)，則x0=x，y0=-y，z0=z，故P0(2，3，1)．2、記其中D1={(x，y)|x2+y2≤1)，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤2)，D3={(x，y)|2≤x2+y2≤4)，則下列關(guān)系式中________成立．()A、I2＜I3＜I1B、I1＜I2＜I3C、I2＜I1＜I3D、I3＜I2＜I1標準答案：D知識點解析：由在D1上(等號僅在圓周x2+y2=1上取到)知，I1＞0；由在D2上-1≤知I3＜一π．于是有I3＜I2＜I1．3、y"=sin(一x)的通解為()A、sin(一x)B、一sin(一x)+C1x+C2C、一sin(一x)D、sin(一x)+C1x+C2標準答案：B知識點解析：對方程兩邊積分得y’=cos(一x)+C1，對方程兩邊積分得y=一sin(一x)+C1x+C2，即為原方程的通解．4、微分方程x3y2dx一(2y+xysinx)dy=0是()A、可分離變量微分方程B、一階線性齊次微分方程C、一階線性非齊次微分方程D、齊次微分方程標準答案：A知識點解析：暫無解析5、設無窮級數(shù)收斂，則()A、P>1B、p<一1C、P<1D、p>一1標準答案：B知識點解析：無窮級數(shù)，當一p>1，即p<一1時收斂，故選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、Oxy平面上的拋物線y2＝4x繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是____________FORMTEXT標準答案：y2＋z2＝4x知識點解析：Oxy平面上的拋物線y2＝4x的對稱軸為x軸，因此所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為)2＝4x，即y2＋z2＝4x．7、微分方程xdy＝(x＋y2／x＋y)dx的通解為____________FORMTEXT標準答案：arctany／x＝lnx＋C知識點解析：原方程可化為dy／dx＝1＋y2／x2＋y／x．令u＝y(tǒng)／x，則y＝ux，dy／dx＝u＋du／dx．故u＋xdu／dx＝1＋u2＋u．分離變量積分得，arctanu＝lnx＋C．將u＝y(tǒng)／x代入得原方程的通解為arctany／x＝lnx＋C．8、微分方程ydx－xdy＝0的通解為____________FORMTEXT標準答案：y＝Cx(C為任意常數(shù))知識點解析：ydx－xdy＝0，即dy／y＝dx／x兩邊同時積分得lny＝lnx＋lnC即y＝Cx．(C為任意常數(shù))9、若＝_______．FORMTEXT標準答案：．知識點解析：本題考查函數(shù)的偏導數(shù)．10、微分方程y"＋4y＝0的通解y＝______．FORMTEXT標準答案：C1sin2x＋C2cos2x知識點解析：y"＋4y＝0，特征方程為r2＋4＝0，∴r＝±2i，則通解為C1sin2x＋C2cos2x．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求方程y〞－4yˊ＋4y＝0的通解標準答案：y〞－4yˊ＋4y＝0的特征方程為r2－4r＋4＝0，其特征根為r1＝r2＝2，故所求特解為y＝（C1＋C2x）e2x．知識點解析：暫無解析12、已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)是絕對收斂標準答案：＝｜an／n｜≤1／2（an2＋1／n2），由于級數(shù)均收斂，故原級數(shù)絕對收斂．知識點解析：暫無解析應用通項求導或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)13、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標準答案：設un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析14、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標準答案：設an＝n，R＝＝1，當x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析15、設D是由x2＋y2＝π2與x2＋y2＝4π2所圍成的區(qū)域，求二重積分標準答案：令x＝rcosΘ，y＝rsinΘ且0≤θ≤2π，π≤r≤2π，所以知識點解析：暫無解析16、在所有周長等于6的直角三角形中，求出斜邊最小的三角形．標準答案：設直角三角形的兩直角邊為x，y，斜邊為z，則有，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y)=+λ(x+y+z一6)=(1+λ)+λ(x+y一6)，解方程組當λ=一1時，方程組的前兩個式子都不成立，故λ≠一1．解得x=y=3(2一)．由于實際情況必存在斜邊最小值，故當直角三角形的兩直角邊長均為3(2一)時，斜邊最?。R點解析：暫無解析17、求空間曲線L：x＝2t，y＝t2，z＝t3在點(2，1，1)處的法平面方程．標準答案：所求法平面的法向量為所以所求法平面為2(x－2)＋2(y－1)＋3(z－1)＝0即2x＋2y＋3z－9＝0．知識點解析：暫無解析18、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)．標準答案：|x|＜+∞，將其中的x換成一x2，得到|—x2|＜+∞，|x|＜+∞，從而知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)f(x，y)=ln(xy2+x)的梯度gradf(x，y)．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求z=x2ey+(x一1)arctan在點(1，0)處的一階偏導數(shù)，全微分．標準答案：dz|(1,0)=2dx+dy．知識點解析：暫無解析21、求周期函數(shù)f(x)＝｜sinx｜的傅里葉級數(shù)展開式．標準答案：f(x)＝｜sinx｜是周期為π的周期函數(shù)．由于f(x)在上是偶函數(shù)，所以知識點解析：暫無解析22、設L是圓周x2＋y2＋2y＝0，求關(guān)于弧長的曲線積分∫L(y2x＋x4)ds．標準答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、將函數(shù)f(x)＝1／（2＋x）展開為x的冪級數(shù)標準答案：知識點解析：暫無解析24、設f(x，y)連續(xù)，D是由y=0，y=x2，x=1所圍成的區(qū)域，且有求f(x，y)．標準答案：積分區(qū)域如右圖，因D是一有界閉區(qū)域，f(x，y)連續(xù)，所以為一定值I．知識點解析：暫無解析25、求球S1：x2＋y2＋z2＝a2位于柱面S2：x2＋y2＝a｜x｜(a＞0)之內(nèi)部分的面積及球x2＋y2＋z2≤a2位于柱面S2之內(nèi)部分的體積．標準答案：(1)記S1位于S2之內(nèi)部分為∑．由于它在各個卦限的面積相等，所以S的面積為A＝8A1(其中A，為∑在第一卦限部分∑1的面積)．由于∑1的方程為(x，y)∈Dxy)，其中Dxy是∑1在xOy平面上的投影區(qū)域，即Dxy＝{(x，y)｜x2＋y2≤ax，y≥0)，所以由此得到(2)記球x2＋y2＋z2≤a2位于柱面內(nèi)的立體為Ω，則Ω的體積為V＝8V1(其中V1是Ω位于第一卦限部分Ω1的體積)．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、在空間直角坐標系中，方程3y－4z＝0的圖形是（）A、垂直于x軸的平面B、平行于x軸的直線C、通過原點的直線D、通過x軸的平面標準答案：D知識點解析：暫無解析2、若函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)點存在偏導數(shù)，且在該點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（）A、一定是最小值點B、一定是駐點C、一定是最大值點D、無法判斷標準答案：B知識點解析：偏導存在極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點；極值點不一定是最值點．3、設f(x)是連續(xù)函數(shù)，區(qū)域D：x2＋y2≤4，則二重積分＝（）A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：4、微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的通解y＝（）A、C1ex。B、(C1cosx＋C2sinx)exC、(C1＋C1x)exD、C1sinxex標準答案：C知識點解析：微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的張、特征方程為r3－2r＋1＝0，故微分方程的特征根r1＝r2＝1，故微分方程的通解為y＝（C1＋C2x）ex．5、下列無窮級數(shù)中，收斂的無窮級數(shù)是（）A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：對于選項A由于，故此級數(shù)發(fā)散；對于選項B，由于也發(fā)散；對于選項D，由于，故選項D也發(fā)散；選項C故397收斂．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、過點(1，4，－1)并且平行于Oyz坐標面的平面方程為____________FORMTEXT標準答案：x－1＝0知識點解析：因為所求的平面平行于Oyz坐標面，故設其方程為Ax＋D＝0，又因為該平面過點（1，4，－1），所以A＋D＝0，即A＝－D，因此所求平面方程為x－1＝0．7、設函數(shù)z＝exy(x2＋y－1)，則＝____________FORMTEXT標準答案：exy（x2y＋2x＋y2－y）知識點解析：函數(shù)z＝exy（x2y＋2x＋y－1），則＝y(tǒng)exy（x2＋y－1）＋exy（2x）＝exy（x2y＋y2－y）＋2xexy＝exy（x2y＋2x＋y2－y）8、設∑為平面x＋y＋z＝1，第一卦限中的部分，則對面積的曲面積分＝____________FORMTEXT標準答案：知識點解析：9、已知y1＝ex，y2＝x2是微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)的兩個特解，則Q(x)＝____________FORMTEXT標準答案：（x2－2x）ex／x2－ex知識點解析：將y1＝ex，y2＝x2代入微分方程y’＝P(x)y＝Q(x)得解方程組得Q(x)＝（x2－2x）ex／x2－ex．10、無窮級數(shù)1／1·6＋1／6·11＋…＋1／［（5n－4）（5n＋1）］＋…的和為____________FORMTEXT標準答案：1／5知識點解析：Sn＝1／1·6＋1／6·11＋…＋1／（5n－4）（5n＋1）＝1／5（1－1／6＋1／6－1／11＋…＋1／5n―4―1／5n＋1）＝1／5（1－1／5n＋1）．1／5（1－1／5n＋1）＝1／5．故所求無窮級數(shù)的和為1／5．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、設平面π1：2x－y＋z－7＝0和平面π2：x＋y＋2z－11＝0，求π1和π2的夾角標準答案：設兩平面的夾角為Θ，由于兩平面的法向量分別為n1＝｛2，－1，1｝，n2＝｛1，1，2｝，故即兩平面的夾角Θ＝π／3．知識點解析：暫無解析12、求曲面z＝arctan（y／x）＋x－y在點(1，1，π／4)處的切平面方程標準答案：Zx＝則Zx（1，1）＝1／2，Zy（1，1）＝－1／2，故所求切平面方程1／2（x－1）－1／2（y－1）－（z－π／4）＝0．知識點解析：暫無解析13、設方程z2＋xyz－exy＝1確定函數(shù)z＝z(x，y)，求標準答案：令F（x，y，z）＝z2＋xyz－exy－1，則知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)f(x，y)＝ln(x2y＋x)的梯度gradf(x，y)標準答案：Fx＝（2xy＋1）／x2y＋x，fy＝x2／x2y＋x＝x／xy＋1，故gardf(x，y)＝［（2xy＋1）／x2y＋x，x／xy＋1］．知識點解析：暫無解析15、計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析16、已知積分區(qū)域Ω是由x2＋y2＝1，z＝－1及z＝1所圍成，求三重積分標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算對坐標的曲線積分，其中L為從(1，1，1)到(3，4，5)的直線段標準答案：由題意知，直線的參數(shù)方程為x＝1＋2t，y＝1＋3t，z＝1＋4t（0≤t≤1），故知識點解析：暫無解析18、計算對坐標面的曲面積分，其中∑是柱面x2＋y2＝1(0≤z≤1)外側(cè)標準答案：積分區(qū)域，如下圖所示，利用柱坐標變換．令x＝cosΘ，y＝sinΘ，0≤z≤1．知識點解析：暫無解析19、求微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的通解標準答案：微分方程的特征方程為r2－2r＋1＝0，則其特征根為r1＝r2＝1，故所求通解為y＝（C1＋C2x）ex．知識點解析：暫無解析20、求一曲線，使得該曲線上任意點(x，y)處的切線平行于x＋3y＝1，且點(1，2)在該曲線上標準答案：由題意知yˊ＝－1／3，所以y＝－1／3＋C．又因為點（1，2）在該曲線上，故有C＝2＋1／3＝7／3，因此所求方程為y＝－1／3x＋7／3即3y＋x＝7．知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性標準答案：因此該級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)f(x)＝的傅里葉級數(shù)展開式為求系數(shù)a3標準答案：an＝故a3＝－2／9π．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求曲面x2＋y2＋z＝4將球體x2＋y2＋z2≤4z分成兩部分的體積之比標準答案：由得z＝1，z＝4（兩曲面的切點），兩曲面的交線為如下圖所示，兩曲面所交的體積為V1和V22．V2＝4／3π·23－37／6π＝27／6π．故V1／V22＝37／27．知識點解析：暫無解析24、計算，其中∑是圓錐曲面z2＝x2＋y2平面z＝0和z＝2所圍成的區(qū)域的外側(cè)標準答案：由∑區(qū)域(如下圖所示)是封閉曲面，故．知識點解析：暫無解析25、求旋轉(zhuǎn)拋物面z＝x2＋y2被平面z＝2和z＝0所截部分的曲面面積標準答案：曲面Oxy平面上的投影區(qū)域D(如下圖所示)：x2＋y2≤2，且＝2x，＝2y．設所要求的曲面面積為S，則知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)處偏導數(shù)存在，則fx(x0，y0)＝()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：根據(jù)偏導數(shù)的定義可得出答案．答案為A．2、設f(x，y)在點(x0，y0)處偏導數(shù)存在，則＝()A、2fx(x0，y0)B、fx(x0，y0)C、fx(x0，y0)D、f’(x0，y0)標準答案：A知識點解析：答案為A．3、設f(u)是連續(xù)函數(shù)，區(qū)域D：x2＋y2≤1，則二重積分＝()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：答案為B．4、微分方程y’＋x2y＝cosx是()A、一階線性非齊次微分方程B、一階線性齊次微分方程C、二階微分方程D、可分離變量方程標準答案：A知識點解析：由一階線性微分方程的定義即知．答案為A．5、若，k是常數(shù)，則級數(shù)()A、收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與k值有關(guān)標準答案：D知識點解析：若k＝0，則收斂，否則發(fā)散，故的收斂性與k有關(guān)．答案為D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設函數(shù)z＝arctan(x＋y)，則＝_______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：．7、設u＝f(x)可導，則復合函數(shù)u＝f(xyz)的全微分du＝_______．FORMTEXT標準答案：yzf’(xyz)dx＋xzf’(xyz)dy＋xyf’(xyz)dz知識點解析：由題得8、已知sinxdx＋cosydy是某個函數(shù)u(x，y)的全微分，則u(x，y)＝_______．FORMTEXT標準答案：－cosx＋siny＋C知識點解析：根據(jù)全微分的定義，，則u(x,y)＝∫sinxdx＋∫cosydy＝－cosx＋siny＋C．9、微分方程是_______方程．FORMTEXT標準答案：一階可分離變量知識點解析：本題考查微分方程的定義．由可分離變量微分方程的定義可知，，所以該方程為一階可分離變量方程．10、設f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[－π，π)上表達式為，s(x)是f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，則s(π)＝_______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：因為f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，可得x＝π為f(x)的間斷點，根據(jù)狄里克雷收斂準則，可得f(x)的傅里葉級數(shù)在x＝π處收斂于．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、設平面π過點P1(1，2，－1)和點P2(－5，2，7)，且平行于y軸，求平面π的方程。標準答案：設平面π為Ax＋By＋Cz＋D＝0∵π平行于y軸∴{A，B，C).{0，1，0)＝0得B＝0∵點P1(1，2，－1)和P2(－5，2，7)在平面π上∴所以所求平面π：4x＋3z－1＝0．知識點解析：暫無解析12、設．標準答案：知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)，求全微分dz．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求拋物面z＝3x2＋4y2在點(0，1，4)處的切平面方程．標準答案：zx＝6x，zy＝8y，zx(0，1)＝0，zy(0，1)＝8故取法向量n＝{0，8，－1}∴切平面方程為0.(x－0)＋8(y－1)－(z－4)＝0即8y—z＝4．知識點解析：暫無解析15、求曲面x2＋y2＋2z2＝23在點(1，2，3)處的切平面方程．標準答案：設F(x，y，z)＝x2＋y2＋2z2－23∵F’(1，2，3)＝2x｜p0＝2F’y(1，2，3)＝2y｜p0＝4F’(1，2，3)＝4z｜P0＝12∴所求平面方程為2(x－1)－b4(y－2)＋12(z－3)＝0即x＋2y＋6z＝23．知識點解析：暫無解析16、I＝(x2＋y2)dv，Ω是由曲面x2＋y2＝2z及平面z＝2圍成的區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算三重分zdxdydz，其中Ω是由曲面z＝x2＋y2，z＝0及x2＋y2＝1所圍區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析18、把對坐標的曲線積分∫LP(x，y)dx＋Q(x，y)dy化成對弧長的曲線積分，其中L為：沿上半圓周x2＋y2＝2x從點(0，0)到點(1，1)．標準答案：本題考查曲線積分的應用．知識點解析：暫無解析19、計算對坐標的曲線積分(1—3y)dx＋(1—2x—y)dy，其中C為區(qū)域D：｜x｜≤1，y≤1的正向邊界曲線．標準答案：由格林公式∮C(1—3y)dx＋(1－2x＋y)dy＝∫∫d[(－2)－(－3)]dxdy＝∫∫Ddxdy知識點解析：暫無解析20、求微分方程的通解．標準答案：線性微分方程的特點是其中的未知函數(shù)及其導數(shù)都是一次方，本題中的y及其導數(shù)y’都是一次方，故為一階線性微分方程．原方程變形為，Q(x)＝－x．按一階線件微分方程的通解涌公式得所以原萬程的通解為y＝x2(－ln｜x｜＋C)．注：這類方程的解法有兩種，一種是將其化為標準形式：＋P(x)y＝Q(x)，找出方程中的P(x)、Q(x)，按一階線性微分方程的通解公式：y＝e－∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx＋C]求解；另一種方法是利用常數(shù)變易法求解．此題也可用常數(shù)變易法求解．知識點解析：暫無解析21、判斷無窮級數(shù)的斂散性．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域．標準答案：∴級數(shù)的收斂半徑為對x＝2，原級數(shù)成為發(fā)散．對x＝－2，原級數(shù)成為是交錯級數(shù)，由萊布尼茨判別法菇該級數(shù)收斂?！嗉墧?shù)的收斂半徑為2。收斂域是[一2,2)．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)f(x，y)＝x2＋xy＋y2－6x－3y的極值．標準答案：得駐點(3，0)∵fxx(x，y)＝2fxy(x，y)＝1fyy(x，y)＝2而B2－AC＝1—4－3＜0A＝2＞0∴f(x，y)在(3，0)處取得極小值為f(3，0)＝－9．知識點解析：暫無解析24、設Ω為曲面x2＋y2＝az與(a＞0)所圍的封閉區(qū)域，求Ω的表面積．標準答案：本題考查曲面積分的求解．由于表面由拋物面與錐面兩部分構(gòu)成．記拋物面部分面積為S1，錐面部分面積為S2，則S＝S1＋S2．故S＝S1＋S2＝．知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第7套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、過點(0，2，4)且與半面x＋2z＝1及y－2z＝2－都平行的直線是()A、B、C、D、－2x＋3(y－2)＋z－4＝0標準答案：C知識點解析：設直線的方向向量v＝{x，y，z).則：又該直線過(0，2，4)點∴直線方程為：．答案為C。2、已知函數(shù)f(x＋y，x－y)＝x2y2，則fx(x，y)＋fy(x，y)＝()A、2x－2yB、x＋yC、2x＋2yD、x－y標準答案：D知識點解析：因f(x＋y，x－y)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)故f(x，y)＝xy從而fx(x，y)＋fy(x，y)＝y(tǒng)＋x．答案為B。3、設＝()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：。答案為D。4、設曲線C是從點A(1，0)到點B(－1，2)的直線段，則∫C(x＋y)dy＝()A、0B、2C、D、標準答案：B知識點解析：過點A和B的直線為x＋y＝1，故。答案為B．5、記，其中D1＝{(x，y)｜x2＋y2≤1}，D2＝{(x，y)｜1≤x2＋y2≤2}，D3＝{(x，y)｜2≤x2＋y2≤4}，則下列關(guān)系式中________成立．()A、I1＜I2＜I3B、I2＜I1＜I3C、I2＜I3＜I1D、I3＜I2＜I1標準答案：D知識點解析：由在D1上(等號僅在圓周x2＋y2＝1上取到)知，I1＞0；由在D2上－1≤知－π≤I2≤0；由在D3上≤－1知I3＜－π．于是有I3＜I2＜I1．答案為D。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、已知向量a＝{－1，3，－4}和b＝{2，0，1}，則3a＋6＝_______.FORMTEXT標準答案：{－1，9，－11}知識點解析：a＝{－1，3，－4}，b＝{2，0，1}＝{－3，9，－12)＋{2，0，1}＝{－1，9，－11}．7、若＝_______．FORMTEXT標準答案：．知識點解析：本題考查函數(shù)的偏導數(shù)．8、設積分區(qū)域D．x2＋y2≤4，則二重積分(x，y)dxdy在極坐標下化為二次積分為________．FORMTEXT標準答案：知識點解析：由積分區(qū)域，x2＋y2≤4即x2cos2θ＋r2sin2θ≤4r2≤4∴r≤2．∴．9、的通解為_______．FORMTEXT標準答案：y＝lnxy＋C知識點解析：本題考查微分方程的通解．兩邊積分得lnx＝y(tǒng)－lny－C，即y＝lnxy＋C．10、無窮級數(shù)的和為________．FORMTEXT標準答案：e知識點解析：易知：三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、已知平面π1：mx－3y＋4z－7＝0與π2：2x＋6y－nz＋3＝0表示兩個互相平行的平面，求m和n的值．標準答案：平面π1和π2的法向量分別為n1＝{m，－3，4)和n2＝{2，6，－n)若兩平面互相平行，則n1∥n2，即解之得m＝－1，n＝8．知識點解析：暫無解析12、設w＝xyez，且x2＋2y＋z－3＝0，求．標準答案：由方程x2＋2y＋z－3＝0得z＝3－x2－2y，則．所以，知識點解析：暫無解析13、在曲面z＝xy上求一點，使這點的法線垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并寫出法線方程．標準答案：易知平面x＋3y＋z＋9＝0的法向量為n1＝{1，3，1)．令F(x，y，z)＝z－xy則Fx＝y(tǒng)，F(xiàn)y＝－x，F(xiàn)z＝1從而曲面上任一點(x0，y0，z0)處的法向量為n2＝{－y0，－x0，1}依題意知n1∥n2故有即x0＝－3，y0＝－1從而曲面上點(3，－1，3)處的法線垂直于平面x＋3y＋z＋0＝0．該點處的法線方程為．知識點解析：暫無解析14、計算二重積分，其中B是由y＝x2，y＝x所圍成的區(qū)域．標準答案：B可表示為0≤x≤1，x≤y≤x，由此將二重積分化為累次積分．知識點解析：暫無解析15、計算I＝(x2＋y2)dxdydz，其中Ω是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z＝2，z＝8所圍成的立體。標準答案：知識點解析：暫無解析16、設L是圓周x2＋y2＋2y＝0，求關(guān)于弧長的曲線積分∫L(y2x＋x4)ds．標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算曲面積分∫∫∑f(x,y,z)dS，其中∑為拋物面z＝2－(x2＋y2)在Oxy面上方的部分，f(x，y，z)＝1．標準答案：∑在Oxy面上的投影域為Dxy：x2＋y2≤2知識點解析：暫無解析18、計算dxdydz，Ω為柱面及平面z＝0，z＝a(a＞0)，y＝0所圍成的區(qū)域．標準答案：Ω在xOy平面上的投影區(qū)域D由y＝，y＝0圍成，利用柱面坐標系，即r＝2cosθ(0≤θ≤)及θ＝0．故知識點解析：暫無解析19、解方程y"－2y’－3y＝2x＋1．標準答案：該方程對應的齊次方程為y"－2y’－3y＝0，特征方程為r2－2r－3＝0，特征根為r1＝3，r2＝－1于是齊次方程通解為y＝C1e3x＋C2e－x設非齊次特解為y*＝ax＋b代人原方程得故原方程的一個特解為從而原方程的通解為y＝C1e3x＋C2e－x－．知識點解析：暫無解析20、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析21、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：收斂故收斂區(qū)間為[－1，1]．知識點解析：暫無解析22、求微分方程滿足條件y｜x＝1＝1的特解．標準答案：將方程變形為方程的通解為，將條件y|x－1＝1代入，得，所以所求特解為．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)f(x，y)＝4(x－y)－x2－2y2的極值．標準答案：而△＝B2－AC＝－8＜0且A＝－2＜0∴f(x，y)在點(2，－1)處取得極大值為f(2，－1)＝6．知識點解析：暫無解析24、設平面薄板所占Oxy平面上區(qū)域D，其中D是由曲線，y＝x，x＝2所圍，薄板上每一點的密度等于該點的縱坐標，求該薄板的質(zhì)量．標準答案：由于D＝{(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x)，所以知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)＝xarctanx展開為x，的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第8套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程y"＝ex的通解是（）A、ex＋C1x＋C2B、exC、ex＋C1xD、ex＋C1標準答案：A知識點解析：y〞＝ex，兩邊同時積分yˊ＝ex＋C1，兩邊再同時積分y＝ex＋C1x＋C2．2、微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的通解y＝（）A、C1ex。B、(C1cosx＋C2sinx)exC、(C1＋C1x)exD、C1sinxex標準答案：C知識點解析：微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的張、特征方程為r3－2r＋1＝0，故微分方程的特征根r1＝r2＝1，故微分方程的通解為y＝（C1＋C2x）ex．3、設B是圓形區(qū)域x2+y2≤4，則二重積分()A、4πB、πC、D、標準答案：C知識點解析：令x=rcosθ，y=rsinθ，則0≤θ≤2π，0≤r≤2，故4、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：可用排除法，A選項對于交錯級數(shù)不成立；對于B選項，若un=，vn=，則與vn都發(fā)散，但(un+vn)=0收斂，故B選項錯誤；對于D選項，當收斂時，有可能為1，故D選項錯誤；則選C．5、交換積分順序，則f(x，y)dy=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由二重積分f(x，y)dy可知，積分區(qū)域D：0＜x＜1，0＜y＜，如下圖所示，故原積分=f(x，y)dx．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設區(qū)域D：0≤x≤1，｜y｜≤2，則二重積分(x＋ysinx)dxdy的值等于________．FORMTEXT標準答案：2知識點解析：先畫出D區(qū)域7、設f(x)=則f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在處的值為_______.FORMTEXT標準答案：知識點解析：將f(x)作以2π為周期的延拓且f(x)按段光滑．而是f(x)的間斷點，故f(x)收斂于即f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在8、計算＝_______，其中∑為z＝x2＋y2上z≤1的部分．FORMTEXT標準答案：3π知識點解析：曲面∑的方程為z＝x2＋y2(0≤z≤1)上圖所示，∑在xOy平面上的投影區(qū)域為Dxy：x2＋y2≤1．此時注意到9、微分方程y"＋2y’＋5y＝0的通解為________．FORMTEXT標準答案：y＝e－x(C1cos2x＋C2sin2x)知識點解析：本題考查二階常系數(shù)齊次微分方程的通解．對應于微分方程y"＋2y’＋5y＝0的特征方程為λ2＋2λ＋5＝0，所以特征根為λ＝－1±2i，所以微分方程的通解為y＝e－x(C1cos2x＋C2sin2x)．10、設函數(shù)＝_______.FORMTEXT標準答案：知識點解析：三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)應用通項求導或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標準答案：設un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標準答案：設an＝n，R＝＝1，當x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析13、求函數(shù)f(x，y)＝x2－xy＋y2的梯度gardf(1，－1)標準答案：fx＝2x－y，fy＝－x＋2y，則＝－1－2＝－3．故gradf(1，1)＝(3，－3)知識點解析：暫無解析14、將坐標的曲線積分轉(zhuǎn)換成對弧長的曲線積分，其中L為沿拋物線y=x2+2從點A(0，2)到B(1，3)．標準答案：ds=dx=dx，cosα==，則cosβ=sinα==故知識點解析：暫無解析15、求方程y"一4y’+4y=0的通解．標準答案：y"一4y’+4y=0的特征方程為r2一4r+4=0，其特征根為r1=r2=2，故所求通解為y=(C1+C1x)e2x．知識點解析：暫無解析16、計算對弧長的曲線積分∫L(2x－y＋1)ds,其中L是直線y＝x－1上點(0，－1)到點(1，0)的直線段．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求微分方程的通解．標準答案：由一階線性微分方程的通解公式有知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)求全微分dz．標準答案：知識點解析：暫無解析19、計算zdxdy＋zdydz，其中∑是圓柱面x2＋y2＝1被z＝0和z＝3所截得部分的外側(cè)．標準答案：原積分＝由于曲面∑(如下圖所示)與xOy面垂直，所以∑在xOy面上投影的面積為零，故zdxdy＝0．下面計算曲面積分xdydz．將∑分成前后兩片：∑＝∑1＋∑2，由∑的方程x2＋y2＝1(0≤x≤3)得，∑1的方程為x＝(－1≤y≤1)；∑2的方程為x＝－(－1≤y≤1)．∑1和∑2在yOz面上的投影均為矩形區(qū)域Dyz：－1≤y≤1，0≤z≤3．由于∑1和∑2的法向量分別指向其投影坐標面yOz面的上、下方，故化為二重積分時分別取正號和負號．于是其中由定積分的幾何意義得．知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為求系數(shù)a3．標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算三重積分I＝(y2＋z2)dv，其中Ω是由Oxy平面上的曲線y2＝2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x＝5所圍成的閉區(qū)域．標準答案：本題考查三重積分的計算．如下圖所示，Oxy平面上曲線y2＝2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程為y2＋z2＝2x，故Ω是由曲面y2＋z2＝2x及平面x＝5所圍成的閉區(qū)域．當0≤x≤5時，平面X＝x與Ω相交的區(qū)域為y2＋z2≤2x．知識點解析：暫無解析22、求函數(shù)u=xyz在點(3，1，2)處，沿A(3，1，2)到B(7，4，14)的方向l的方向?qū)?shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求點M(2，1，4)到直線L：（x－1）／3＝（y＋1）／－2＝（z－3）／1的距離標準答案：設點M到直線L的垂足為N，則就是點M到直線L的距離，因點N在直線L上，故設N對應的參變量為t，則N(3t＋1，－2t－1，t＋3)，又因直線L的方向向量為v＝{3，－2，1}，由題意可知v⊥＝{3t－1，－2t－2，t－1}，則v·＝0，即3(3t－1)＋(－2)·(－2t－2)＋(t－1)＝0，解得t＝0，從而＝{－1，－2，－1}，則有于是點M到直線L的距離為．知識點解析：暫無解析24、求函數(shù)f(x，y)＝x3＋y3－3xy的極值．標準答案：∵∴得駐點為(0，0)，(1，1)而fxx＝6x，fxy＝－3，fyy＝6y，對于(0，0)點，B2－AC＝9＞0，所以(0，0)不是極值點；對于(1，1)點，B2－AC＝－27＜0，A＝6＞0，所以f(x，y)在(1，1)點處取得極小值為f(1，1)＝－1．知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=arctanx展開為x的冪級數(shù)．標準答案：因為所以知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學（工本）模擬試卷第9套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、點(－1，2，3)關(guān)于y軸的對稱點的坐標是()A、(1，－2，－3)B、(－1，－2，－3)C、(1，2，－3)D、(1，－2，3)標準答案：C知識點解析：點(x，y，z)關(guān)于y軸的對稱點坐標為(－x，y，－z)．答案為C．2、設函數(shù)f(x，y)＝(4x—x2)(6y—y2)，則f(x，y)的一個駐點是()A、(2，6)B、(4，3)C、(0，6)D、(0，3)標準答案：C知識點解析：f(x，y)＝(4x－x2)(6y－y2)，則，則選項A、B、C、D依次代入只有選項C使得fx(0，6)＝fy(0，6)＝0．答案為C．3、設D＝{(x，y)｜1≤x≤2，1≤y≤2)，則二重積分＝()A、B、C、D、4標準答案：B知識點解析：本題考查二重積分的計算．由題意知積分區(qū)域如下圖所示．答案為B．4、微分方程y"一5y’＋6y＝x2e3x的一個特解y*可設為()A、(b0x2＋b1x)e3xB、(b0x2＋b1x)xe3xC、(b0x2＋b1x＋b2)e3xD、(b0x2＋b1x＋b2)xe3x標準答案：D知識點解析：先求y－5y’＋6y＝0的解，其特征方程為r2－5r＋6＝0r1＝2，r2＝3．由e3x知r2＝3為齊次方程的一個單根，則其特解形式設為y*＝xQm(x)e3x，由x2可知m＝2，∴Qm(x)＝b0x2＋b1x＋b2，∴最終特解形式為y*＝(b0x2＋b1x＋b2)xe3x．答案為D．5、設為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A、若級數(shù)B、若級數(shù)C、若級數(shù)D、若級數(shù)發(fā)散，則存在非