2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，不是中心對稱圖形有(

)A. B. C. D.2.方程x2?3x+3=0的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為(

)A.?3，3 B.?1，?3 C.1，3 D.1，?33.下列運算正確的是(

)A.a+b=a+b B.4.一組數(shù)據(jù)：3，4，4，4，5，若去掉一個數(shù)據(jù)4，則下列統(tǒng)計量中發(fā)生變化的是(

)A.眾數(shù) B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.方差5.用配方法解方程x2+8x+9=0，變形后的結(jié)果正確的是(

)A.(x+4)2=?7 B.(x+4)2=?96.關(guān)于一次函數(shù)y=?3x+2，下列說法正確的是(

)A.圖象過點(1,1)

B.其圖象可由y=3x的圖象向下平移2個單位長度得到

C.y隨著x的增大而增大

D.圖象經(jīng)過第一、二、四象限7.如圖，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AED的位置，使得DC//AB，則∠BAE等于(

)A.30°

B.40°

C.50°

D.60°8.為增強學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生足球運動競技水平，我市開展“健身杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩個隊之間賽一場)，現(xiàn)計劃安排21場比賽，則邀請的參賽隊數(shù)是(

)A.5 B.6 C.7 D.89.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上的一點，ED⊥AB，垂足為D，若AD=4，則BE的長為(

)A.35

B.36

C.10.如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BO′，下列結(jié)論，①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O′的距離為5；③∠AOB=150°；④四邊形AOBO′面積=6+43；⑤S△AOCA.①④⑤ B.①③④ C.①③④⑤ D.①③⑤二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.點(?3,5)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．12.若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是

．13.如圖，甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以30海里/時的速度沿北偏東35°方向航行，乙船沿南偏東55°方向航行，2小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C，B兩島相距100海里，乙船的速度是______海里/時．14.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2.將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△AB1C1的位置，點B1恰好落在邊BC的中點處，則C15.已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+mx?1=0的兩個實數(shù)根，且(x16.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，點D在邊BC上，BD=2CD，把△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)m(0<m<180)度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，則m=______．三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題4分)

用適當(dāng)方法解下列方程：x2?5x=?418.(本小題4分)

如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點B作BP//AC，過點C作CP//BD，BP與CP相交于點P，求證：四邊形BPCO是矩形．19.(本小題6分)

利用圖中的網(wǎng)格線(最小的正方形的邊長為1)畫圖．

(1)作出△ABC關(guān)于原點O對稱的中心對稱圖形△A1B1C1．

(2)若△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°20.(本小題6分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2(m+1)x+m(m+2)=0．

(1)試說明不論實數(shù)m取何值，方程總有實數(shù)根；

(2)如果當(dāng)m=2時，α、β為方程的兩個根，求α21.(本小題8分)

數(shù)學(xué)中的軸對稱就像鏡子一樣，可以展現(xiàn)出圖形對稱的美，初中常見的軸對稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等．

如圖，在等腰△ABC中，AB=BC．

(1)尺規(guī)作圖：作△ABC關(guān)于直線AC對稱的△ADC(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)連接BD，交AC于點O，若BD=2，四邊形ABCD周長為45，求四邊形ABCD的面積．22.(本小題10分)

一家水果店以每斤3元的價格購進“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的價格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種甜瓜每斤的售價每降低1元，每天可多售出200斤．

(1)若將“官地洼”甜瓜每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是多少斤(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)銷售這批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保證每天至少售出280斤，那么水果店需將每斤的售價降低多少元？23.(本小題10分)

如圖①，一次函數(shù)y=?12x+6的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，正比例函數(shù)y=kx的圖象與直線AB交于點C(m,3)．

(1)求m的值并直接寫出正比例函數(shù)的解析式；

(2)如圖②，點D在線段OC上，且與點O，C不重合，過點D作DE⊥x軸于點E，交線段CB于點F.若點D的橫坐標(biāo)為4，解答下列問題：

①DF的長：

②若P是直線OC上的一點，△PDF的面積為△CDF面積的3倍，求點24.(本小題12分)

給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．

(1)以下四邊形中，是勾股四邊形的為______(填序號即可)；

①平行四邊形；②矩形；③有一個角為直角的任意凸四邊形；④有一個角為60°的菱形．

(2)如圖1，將△ABC繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n°得到△EDC．

①連接AD，當(dāng)n=60，∠BAD=30°時，求證：四邊形ABCD是勾股四邊形．

②如圖2，將DE繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)得到EF，連接BF，BF與AE交于點P，連接CP，若∠DEF=(180?n)°，CP=2，AE=8，求AC的長度．

25.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點A(a,0)，與y軸交于點B(0,b)，a、b滿足(4+a)2+b?2=0，直線AC經(jīng)過y軸負半軸上的點C，且∠ACO=45°．

(1)求直線AC的函數(shù)表達式；

(2)平移直線AC，平移后的直線與直線AB交于點D，與y軸交于點F(0,t)．

①已知平面內(nèi)有一點M(5,6)，連接CD、MD，當(dāng)CD+MD的值最小時，求t的值；

②若平移后的直線與x軸交于點E，是否存在點F，使以點A、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點參考答案1.D

2.C

3.D

4.D

5.C

6.D

7.C

8.C

9.A

10.C

11.(3,?5)

12.k<1

13.40

14.215.?1

16.100°或120°

17.解：x2?5x+4=0

(x?1)(x?4)=0，

x?1=0，x?4=0，

解得：x1=118.證明：∵BP//AC，CP//BD，

∴BP//OC，CP//OB，

∴四邊形BPCO是平行四邊形，

∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴∠BOC=90°，

∴平行四邊形BPCO是矩形．

19.解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求．

(2)如圖，

∵AB=22+42=25，

20.解：(1)∵x2?2(m+1)x+m(m+2)=0，

∴Δ=[?2(m+1)]2?4m(m+2)=4>0，

∴不論實數(shù)m取何值，方程總有實數(shù)根；

(2)當(dāng)m=2時，其方程為x2?6x+8=0，

∵α、β為方程的兩個根，

21.解：(1)如圖，△ADC即為所求；

(2)∵△ABC與△ADC關(guān)于直線AC對稱，

∴AB=AD，BC=CD，

又AB=BC，

∴AB=BC=CD=AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，且BO=OD=12BD=1，

又四邊形ABCD周長為45，

∴AB=5，

∴OA=AB2?OB22.解：(1)∵以每斤5元的價格出售，每天可售出100斤，這種甜瓜每斤的售價每降低1元，每天可多售出200斤，

∴當(dāng)將“官地洼”甜瓜每斤的售價降低x元時，每天的銷售量是(100+200x)斤．

(2)依題意得：(5?x?3)(100+200x)=300，

整理得：2x2?3x+1=0，

解得：x1=12，x2=1．

當(dāng)x=12時，100+200x=100+200×123.解：(1)將C(m,3)代入y=?12x+6得：?12m+6=3，

解得：m=6，

∴C(6,3)，

∵3=6k，

∴k=12，

∴正比例函數(shù)的解析式為y=12x；

(2)①∵點D在線段OC上，點D的橫坐標(biāo)為4，

∴在y=12x中，當(dāng)x=4時，y=12×4=2，

∴D(4,2)，

∵DE⊥x軸于點E，交線段CB于點F，

∴點F的橫坐標(biāo)與點D的橫坐標(biāo)相同為4，

在y=?12x+6中，當(dāng)x=4時，y=?12×4+6=4，

∴F(4,4)，

∴DF=4?2=2；

②∵D(4,2)，C(6,3)，

∴S△CDF=12DF?|xC?4|=12×2×2=2，

∵△PDF的面積為△CDF面積的3倍，

∴S△PDF=2×3=6，

∵DE⊥x軸于點E，點24.(1)②③；

(2)①證明：如圖1中，連接AE．

∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)了60°到△DCE，

∴AC=BC，∠ACE=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴AE=AC，∠ACE=60°，

∵∠DCB=60°，∠BAD=30°，

∴∠ABC+∠ADC=270°，

∴∠ADC+∠CDE=170°，

∴∠ADE=90°，

在Rt△DAE中，AD2+DE2=AE2，

∵DE=AB，AC=AE，

∴AD2+AB2=AC2，

∴四邊形ABCD是勾股四邊形；

②解：如圖2中，延長BC交FE的延長線于H．

∵∠DCH=180°?n°=(180?n)°∠DEF=(180?n)°，

∴∠DEF=∠DCH，

∵∠DEF+∠DEH=180°，

∴∠DEH+∠DCH=180°，

∴∠CDE+∠H=180°，

∵∠ABC=∠CDE，

∴∠ABC+∠H=180°，

∴AB//FH，

∴∠F=∠ABP，

∵DE=EF=AB，∠EPF=∠APB，

∴△FPE≌△BPA(AAS)，

∴PE=PA，

∵AE=PE+PA=8，

25.解：(1)∵(4+a)2+b?2=0，

∴4+a=0，b?2=0，

∴a=?4，b=2，

∴A(?4,0)，B(0,2)，

∴AO=4，

∵∠AOC=90°，∠ACO=45°，

∴OA=OC=4，

∴C(0,?4)，

設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b，

∴?4k+b=0b=?4，

∴k=?1b=?4；

∴直線AC的函數(shù)表達式為y=?x?4；

(2)∵A(?4,0)，B(0,2)，

∴直線AB的解析式為y=12x+2，

∴設(shè)D(m,12m+2)，

∵平移直線AC，平移后的直線與直線AB交于點D，與y軸交于點F(0,t)．

∴直線EF的解析式為y=?x+t，

當(dāng)CD+MD的值最小時，點C，D，M三點共線，

設(shè)直線CM的解析式為y=ax+c，

∴c=?45a+c=6，

∴c=?4a=2，

∴直線CM的解析式為y=2x?4，

把D(m,12m+2)代入得