2022-2023學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)講練17 矩形的性質(zhì)與判定(鞏固篇)

專題L7矩形的性質(zhì)與判定（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

—*、單選題

類型一、利用矩形的性質(zhì)求線段、角度及面積

1.如圖，在矩形48CQ中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,于點(diǎn)E,

ZDAE=2ABAE,4）=4,則。E=（）

2.如圖，。是矩形48co的對角線交點(diǎn)，4E平分NBA。，ZAOD=\20Q,NAEO的度

數(shù)為（）

A.15°B.25°C.30°D.35°

3.兩張全等的矩形紙片ABCD,AEb按如圖的方式疊放在一起，AB=AF.若AB=3,

BC=9,則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）

A.15B.14C.13D.12

類型二、利用矩形的性質(zhì)和判定證明

4.若順次連接矩形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四邊形

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm,AO=5cm,點(diǎn)￡為8c上的一點(diǎn)，ED平分ZAEC,

則8E的長為（）

C.5cmD.6cm

6.如圖所示，矩形ABC。中，AE平分NBA。交8C于E,NC4E=15。，則下面的結(jié)論:

①△OOC是等邊三角形；②BC=2AB；@SAAOE=SACOE,其中正確結(jié)論有（）

C.2個(gè)D.3個(gè)

類型三直角三角形斜邊上中線問題

7.如圖，四邊形A8C。是菱形，對角線AC、30相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作AB于

點(diǎn)〃，連接ZC4D=20°,則NDHO的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.如圖，菱形A8CO的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作DH_LAB于點(diǎn)H,連

接OH,若04=4,0/7=2,則菱形48CO的面積為（)

A.8B.16C.24D.32

9.如圖，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,3）,AB_Lx軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，0。=2,

點(diǎn)O為線段AC的中點(diǎn)，連接8D,則8。的最大值為（)

r3小

\-z.D.2舊

2

類型四、添加一個(gè)條件構(gòu)成矩形

10.如圖，在四邊形A8CO中，點(diǎn)區(qū)F,G,，分別是AO,BD.BC,CA的中點(diǎn)，若

四邊形EFGH是矩形，則四邊形A8C。需滿足的條件是（)

A.ABLDCB.AC=BDC.ACLBDD.AB=DC

11.在0A8CO中，對角線AC,80相交于點(diǎn)0,只需添加一個(gè)條件，即可證明

是矩形，這個(gè)條件可以是（）

A.AB=BCB.AC=BDC.ACLBDD.408=60。

12.如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC與BO相交于點(diǎn)。，添加一個(gè)條件使平行四

邊形48co為矩形的是（）

C.AB=ACD.CA1BD

類型五、證明四邊形是矩形

13.如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E、廠分別是48、BC、AC的中點(diǎn)，則下列四個(gè)判斷中,

不正確的是（)

D.

A.四邊形AOEF是平行四邊形B.若NA=90。，則四邊形4。燈是矩形

C.若AB=AC,則四邊形ADEr是菱形D.若四邊形人?！笆钦叫?，則AABC是等邊三角形

14.如圖，在銳角△ABC中，延長BC到點(diǎn)。，過點(diǎn)0作直線MN〃BC,MN分別交NACB、

NACO的平分線于E,連接4E、AF,在下列結(jié)論中：①0￡=0萬：②CE=CF；③若CE=

12,則0C的長為6；④當(dāng)AO=CO時(shí)，四邊形4EC尸是矩形.其中正確的是（）

A.①④B.①②C.①?@D.②?④

15.如圖，在平行四邊形A8CO中對角線AC、BD交于點(diǎn)、O,并且NOAC=60。，ZADB

=15。.點(diǎn)E是AO邊上一個(gè)動點(diǎn)，延長E0交BC于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)E從。點(diǎn)向A點(diǎn)移動過程中

（點(diǎn)E與點(diǎn)。，A不重合），則四邊形AFCE的變化是（）

A.平行四邊形一矩形一平行四邊形一菱形一平行四邊形

B.平行四邊形T菱形T平行四邊形T矩形T平行四邊形

C.平行四邊形一矩形-平行四邊形-正方形一平行四邊形

D.平行四邊形一矩形—菱形-正方形一平行四邊形

類型六、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段、角度及面積

16.將矩形ABCD繞點(diǎn)、A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<av360°）,得到矩形AEFG.當(dāng)GC=G8時(shí),

下列針對。值的說法正確的是（)

A.60?；?00。B.60?；?30。C.3（尸D.60°

17.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC.CD、OA上的動點(diǎn)（不

與端點(diǎn)重合），若四點(diǎn)運(yùn)動過程中滿足AE=CG、BF=DH,且48=10、BC=5,則四邊形EFGH

周長的最小值等于（）

C.5岳D.5"

18.如圖，在平行四邊形A8C。中，AD=3,CD=2.連接4C,過點(diǎn)3作8E//AC,

交OC的延長線于點(diǎn)E連接4￡,交8C于點(diǎn)尸.若NAFC=2ZD,則四邊形A8EC的面積

為（）

A.75B.2石C.6D.2拒

二、填空題

類型一、利用矩形的性質(zhì)求線段、角度及面積

19.如圖，在矩形A8CD中，對角線4C,8。交于點(diǎn)。，OE平分/AOC交8C于點(diǎn)區(qū)

連接0日若NBDE=15。,則/DOE=.

20.如圖，矩形ABC。中，AB=3,40=5.點(diǎn)E是BC邊上一動點(diǎn)，連接Af.將△48七

沿AE翻折得到連接OE當(dāng)AA。尸的面積為,時(shí)，線段BE的長為.

21.如圖，在矩形中,點(diǎn)E、尸分別是AB、。。的中點(diǎn),連接OE和B凡分別取

DE.8尸的中點(diǎn)M、N,連接AM、CN、MN.若A8=3,BC=2y（5,則圖中陰影部分的面

類型二、利用矩形的性質(zhì)和判定證明

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,3）,過點(diǎn)8作BA_Lx軸于點(diǎn)A,

8C_Ly軸于點(diǎn)C若直線/：y=〃次-2m（加工0）把四邊形。45c分成面積相等的兩部分，

則機(jī)的值為.

八

C-------\B

OAx

23.如圖，線段A8=10,點(diǎn)。是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），在A8上方

作以4。為腰的等腰△48，且NC4O=120。，過點(diǎn)。作射線Z）P_LCD,過。P上一動點(diǎn)G

（不與O重合）作矩形CDGH,其對角線交點(diǎn)為O,連接08,則線段OB的最小值為

H

24.如圖，矩形48co中，48=4,BC=3,矩形WG"的頂點(diǎn)E,G,〃分別在矩

形ABC。的邊AB,CD,D4上，且H4=l,則點(diǎn)尸到8C的距離的最大值為.

類型三直角三角形斜邊上中線問題

25.在IBC中，ZC=90°,ZA=30°,。是A8的中點(diǎn)，8=3,則4C=

26.如圖，在“IBC中，4。和AE分別是邊BC上的中線和高，已知

AO=3,AC=2,N8AC=90。，求高A￡：=

27.如圖，在AASC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在X軸、了軸上,

當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)8到原點(diǎn)的最大距離是

類型四、添加一個(gè)條件構(gòu)成矩形

28.如圖，連接四邊形A8CO各邊中點(diǎn)，得到四邊形￡FGH,還要添加

條件，才能保證四邊形瓦G”是矩形.

29.如圖，四邊形ABCD中，AD/7BC,ZD=90°,要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件

（寫出一種情況即可）

D

BC

30.如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接EB,EC,

DB請你添加一個(gè)條件.,使四邊形DBCE是矩形.

E

類型五、證明四邊形是矩形

31.如圖，菱形A8c。中，點(diǎn)。為對角線的交點(diǎn)，E、F、G、”是菱形A8CD的各邊

中點(diǎn)，若AC=6,80=8,則四邊形EFGH的面積為

32.如圖，AABC中，分別以A8、AC為邊在AABC外作等邊三角形A3。和等邊三角

形ACE,連接。、BE,四邊形HOPE是平行四邊形.

DF

（1）當(dāng)NB4C的度數(shù)為時(shí)，平行四邊形AOFE是矩形；

（2）當(dāng)NB4C的度數(shù)為時(shí)，平行四邊形AOFE不存在；

（3）當(dāng)AABC滿足時(shí)，平行四邊形AOFE是菱形.

33.數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)趙爽弦圖啟發(fā)設(shè)計(jì)了如圖圖形:其中四邊形ABCD為菱形,△AOH、

△CBF、△AEB、△CGD均為直角三角形.若AH=不，DH=1,CG=2,則EF的長為

類型六、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段、角度及面積

34.如圖，在平行四邊形ABCD中，ABVBC,ZB=30°,AB=2上,將AABC沿AC

翻折至/A8C,連接8D.當(dāng)8C長為時(shí)，△48。是直角三角形.

35.如圖，在AA8C中，AB=ACf直線。石垂直平分A8,把線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)A落在直線OE上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)C/、BF,線段AC、BF交于點(diǎn)、G,如果

36.如圖，等腰直角三角形4BC,4CB=90。，點(diǎn)。、E分別是A3、8c上的點(diǎn)，且

DC=DE,AD=BE=g，則圖中陰影部分的面積為

三、解答題

37.如圖，矩形A5C。的對角線AC、BD于點(diǎn)0,408=60，AB=4.

(1)求AC、4。的長；(2)求矩形ABC。的面積.

38.如圖，在矩形4BC。中，點(diǎn)M在。。上，AM=AB,KBN1AM,垂足為N.

(1)求證：△ABNGAMAO；(2)若AO=2,AN=4,求四邊形8cMN的面積.

39.如圖，在“IBC中，4。是BC邊上的中線，E是A。的中點(diǎn)，過點(diǎn)4作4/〃8c

交BE的延長線于點(diǎn)F,連接CH

⑴求證：AF=DC,

(2)若4BJ.4C,CF=2,求四邊形A。。產(chǎn)的周長.

40.如圖，四邊形4BCO對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,且NABC=90。，,

BE//AC.CE//DB,求證：四邊形O8EC是菱形.從以下三個(gè)選項(xiàng)中選兩個(gè)作為已知條件:

?AD//BCf②48=CZ),③4>BC,并完成證明.

你選擇的條件是

41.如圖，在平行四邊形ABC。中，BE平分NABC,且與A。邊相交于點(diǎn)E,NAEB=

45°.

⑴求證：平行四邊形八8c。是矩形；

(2)連接CE,若CE=4，DE=\,求AD的長.

參考答案

1.A

【分析】

設(shè)NK4E=a,貝ljNZME=2a,利用3a=90。求出進(jìn)一步得205=30。，設(shè)

A8=x,則8/5=2x,利用勾股定理求出x二生叵，再求出08,BE，利用OE=O8-跳:求解

3

即可.

解：設(shè)N84E=a,則NZi4E=2a,

/.3a=90°,得：a=30°.即N8AE=30。，

AE工BD,

/.Z4BD=60°,二30。，

,:AD=4,

設(shè)=則BZ)=2x,

???/+22=4/，解之得：“二迪，

3

工AB金B(yǎng)D巫

33

,心01.273

??BE=-ABD=---，

23

,:BO=-BD=^-,

23

/.OE=OB-BE=^~,

3

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半.解題的

關(guān)鍵是求出N5AE=30。，4仞%30。，再利用勾股定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，

求出BE,BO.

2.C

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得08=0C,AD//BC,N4BGN84O=90°,又由4E平分NBA￡>,

NAOO=120。，即可求得NOBC和44EB的度數(shù)，以及A8=B￡,AB=Q4=O8,即可得0B=BE,

/BOE=/BEO,即可求得NOEB的度數(shù)

解：???四邊形A4C0是矩形，

：?AD"BC,NABC=N8心90。，AC=BD,OB=^BD,OC=^AC,

：,OB=OC,

???NOBC=NOCB,

,/ZBOC=ZAOD=120°,

JN080300,

??NE平分NBA。，

JZBAE=ZE4D=45°,

:.ZAEB=ZEAD=ZBAE=45°,

：.AB=BE,

,:N4OD=120。，

:.ZAOB=60°,

：.AB=OA=OB,

工0B=BE,

JNBOE=NBEO,

：.NOEB=75。,

???ZAE0=ZOEB-ZA￡fl=75o-45o=30°,故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和

判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】

先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定可得四邊形AGC”是平行叫邊形，再根據(jù)三角形

全等的判定證出△ABGWACEG,根據(jù)全等二角形的性質(zhì)可得AG=CG,設(shè)AG=CG=X,

則8G=9-3，然后在RtZsABG中，利用勾股定理求出工的值，最后根據(jù)平行四邊形的面積

公式即可得.

解：?.?如圖，在兩張全等的矩形紙片A8CD,AEC尸中，AB=AF=3,

.?.CE=AB=3,ZB=ZE=90°,AD||BC,AF||CF,

四邊形AGCH是平行四邊形，

在AABG和KEG中,

Z.AGB=ZCGE

NB=NE=90°,

AB=CE

:.AABG^CEG(AAS),

:.AG=CG,

設(shè)4G=CG=x,^iBG=BC-CG=9-x,

在RtAABG中,AB2+BG2=AG2f即3?+(9-4,

解得x=5,

..CG=5,

則圖中重疊(陰影)部分的面積為CG-AB=5x3=15,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等

知識點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

4.A

【分析】

利用中位線的定理和矩形對角線的性質(zhì)證明順次連接矩形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形的

四條邊都相等即可求解.

解：如圖，四邊形A5CO是矩形，點(diǎn)E、八G、，分別是其四條邊的中點(diǎn)，順次鏈接七、

F、G、”可得四邊形EFG"一定是菱形，

證明：連接AC、BD,

??,在aAB。中，

VAH=HD^AE=EB,

：.EH=-BD

2t

同理可得：HG=-AC,FG=-BD,EF=-AC,

222

???四邊形A8CO是矩形，

???AC=BD,

:.EH=HG=FG=EF,

???四邊形EFGH是菱形,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形中位線按定理、菱形的判定，解題的關(guān)鍵是正確

解讀題意，熟練運(yùn)用菱形的判定方法.

5.B

【分析】

由。平分4EC得出NA即=N0EC,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出相應(yīng)角的度數(shù)，再由角

與角之間的關(guān)系得出NDEC=WE，從而得HINM陀=NAED,再力角相等得出邊相等,

再根據(jù)勾股定理求出5E的長.

解：；瓦>平分NAEC

ZAED=ZDEC

.??四邊形ABC。為矩形

/.ZC=90°,ZA￡>C=90°,ZB=90°

/.Z￡)EC+ZEDC=90°,ZADE+ZEDC=90°

：.ZDEC=ZADE

/.ZADE=ZAED

*，?AE=AD

AD=5cm

AE=5cm

'：AB=3cm

BE=ylAE2-^=452-32=4cm

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)和運(yùn)用勾

股定理是解答此題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】

由矩形的性質(zhì)得04=0。=0。=。&再證NACO=60。，得△ODC是等邊三角形，故

①正確；然后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得4C=2A8,則2A8>BC,故②錯(cuò)誤；最后

由。4=0。得S3OE=S4COE,故③正確；即可求解.

解：???四邊形A8CD是矩形，

:.ADIIBC,ZBAD=ZABC=ZADC=90°,OA=OC,OD=OB,AC=BD,

：.OA=OD=OC=OB,

???4E平分NBA。，

???ND4E=45。，

VZCA￡=15°,

/.ZDAC=45°-15°=30°,

JZACD=90°-ZDAC=90°-30°=60°,

VOD=OC,

???△0￡>C是等邊三角形，故①正確：

,:ADHBC,

：.N4C8=ND4C=30。，

VZABC=90°,

???AC=2AB,

：.2AB>BC,故②錯(cuò)誤；

：OA=OC,

：,SAAOE=SACOE,故③正確；

正確的結(jié)論有2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的

性質(zhì)以及三角形面積等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出OA=OD=OC是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得8=08、ABHCD、AB=AD.8O_LAC,借助NC4O=20°可

計(jì)算出ZE4D、ZA5。的值，再利用8=08可知0〃為/?公?！?的斜邊。8

上的中線，得到?！?OD，利用等腰三角形的性質(zhì)得NDHO=/BDH，進(jìn)而求出NDHO

的度數(shù).

解：???48CO是菱形，

：.OD=OB,AB!/CD,AB=AD，BDA.AC,

???ZBAD=2ZCAD=40°,

??.ZABD=(180°-ZBAD)^2=70°,

VDHLAB.OD=OB.

：.OH=OD,

???NDHO=ZBDH=90°-ZABD=20°,

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形等邊對等角求

角度等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

由RILBHD中，點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,OH=2,

則，BA4,由菱形對角線的性質(zhì)可得AC=8,應(yīng)用菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，

即可得出答案.

解：???四邊形ABCO是菱形，

：.OA=OCtOB=OD,4C_LB。，

?：DH工AB,

N3〃”=9(尸，

：,BD=2OH,

?：OH=2,

???BO=4,

???QA=4,

AAC=8,

J菱形ABCZ)的面積二^AC^BD=jx8x4=16.

故選：B.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)和面積及直角三角形的性質(zhì)，合理利用菱形的性質(zhì)及直角三

角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決木題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】

先連接AO，取其中點(diǎn)E，連接力E、BE，根據(jù)點(diǎn)。、E為線段AC、4。的中點(diǎn)求出

DE的長，再根據(jù)斜中線定理求出8E的長，當(dāng)當(dāng)8、。、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，8。值

最大，求出結(jié)果即可.

解：如下圖所示，連接A。，取其中點(diǎn)E,連接DE、BE,

???點(diǎn)。、E為線段4C、八。的中點(diǎn)，

JDE=-OC=\,

2

又???AB_Lx軸干點(diǎn)B.

AO=JAB2+OB2=5

???BE=-AO=-,

22

當(dāng)B、。、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，值最大，

57

BD=BE+DE=\+-=-；

22

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形中位線定理、斜中線定理，本題解題的關(guān)鍵是在于找到兩

點(diǎn)之間線段最短.

10.A

【分析】

利用三角形中位線定理可得四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)A8_LDC,利用所

EH/ICD可得EFJLEH即可證明四邊形EFGH是矩形.

解：???點(diǎn)E,尸，G,H分別是AD,BD,BC,CA的中點(diǎn),

/.EFIAIB,且E尸=[AB,GH〃AB且GH=gAB,

22

J四邊形EFGH是平行四邊形，

???四邊形EFGH是矩形，

；?NFEH=90°,即在:一HE,

*/EF//AB,HEUCD,

???ABVCD,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的判定定理，三角形中位線的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用三角形中

位線定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，再利用FE±HE推出A8CD.

11.B

【分析】

由矩形的判定和菱形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可；

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC,

.??平行四邊形ABC。是菱形，故A不符合題意；

???四邊形A8CO是平行四邊形，AC=BD.

??.平行四邊形A3CO是矩形，故B符合題意；

???四邊形人8C。是平行四邊形，ACLBD,

???平行四邊形ABCO是菱形，故C不符合題意：

???四邊形4BCD是平行四邊形，ZAOB=60°,

???不能判定平行四邊形ABCD是矩形，故D不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和菱形的判定，準(zhǔn)確分析判斷

是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】

根據(jù)矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

解：A、=時(shí)，平行四邊形A8CO是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、AAJ.AD時(shí)，NB40=9O。，則平行四邊形A5c。是矩形：故選項(xiàng)B符合題意；

C、A5=AC時(shí)，平行三邊形ABC￡＞不一定是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、C4_L8。時(shí)，平行四邊形ABC力是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知識；

熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

13.D

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理可知。石〃AF，DE=AF,所以四邊形AOE尸是平行四邊形；

當(dāng)44=90。，四邊形A。石尸是矩形；若"=AC,則=所以四邊形ADEF

是菱形；若四邊形AOEF是正方形，則NA=90。，AABC不是等邊三角形.

解：A.由三角形中位線定理可知：DE//AF,DE=AF,

，四邊形AOM是平行四邊形，選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.V四邊形ADEF是平行四邊形，，當(dāng)NA=90。，四邊形ADEF是矩形,選項(xiàng)正確，

不符合題意；

C「??四邊形AOE尸是平行四邊形，

/.AD=EF,DE=AF,

???AB=4C,點(diǎn)D、F分別是AB、AC的中點(diǎn)

???DE=EF,

???AD=DE=EF=AF,

???若A8=AC,則四邊形AOEF是菱形，選項(xiàng)正確，不符合題意；

D」.?若四邊形AOEF是正方形，則44=90。，

?.?若四邊形.是正方形，則“1BC是等邊二角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，

正方形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記定理及性質(zhì).

14.A

【分析】

①證明O￡=OC,OF=OC,即可證明結(jié)論①正確；

②先由角平分線性質(zhì)證/反尸=90°，若CE=CF,則NOFC=45c,48=90。，與已

知矛盾，故結(jié)論②錯(cuò)誤;

③由直角三角形斜邊中線性質(zhì)知，OC=；EF,故結(jié)論③錯(cuò)誤；

④由矩形判定方法可以證明該結(jié)論正確.

解：-MN//BC

Z.OEC=/ECB,Z.OFC=NFCD

??,EC平分角NAC8,FC平分角NACZ)

/.ZOCE=NECB,ZOCF=ZFCD

NECF=NOCE+4OCF=90°

二NOCE=NOEC,Z.OCF=Z.OFC

,.OC=OE=OF

故結(jié)論①正確；

若CE=CF.則/。巾=45。.Z4CD=2x45°=90°,與AABC是銳角匚角形矛盾,故

結(jié)論②錯(cuò)誤：

由上面分析知，尸是直角三角形，OC是斜邊中線，故。。二義七尸＞3七。=6,故

結(jié)論③錯(cuò)誤：

由OE=O￡Q4=OC,ZECF=90°,知四邊形4EC尸是矩形，故結(jié)論④正確.

綜上，正確答案為：A

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、宜角三角形中線性質(zhì)、矩形的判定

等知識點(diǎn)，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵.

15.B

【分析】

根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形、矩形、菱形的判定逐個(gè)階段進(jìn)行判斷即可.

解：點(diǎn)E從。點(diǎn)向4點(diǎn)移動過程中，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//BC,AO=CO,

:?NEAO=NFCO,ZAEO=ZCFO,

：.△40%△COR

：.AE=CFt

，四邊形AEC尸是平行四邊形；

VZAOD=\SO°-ZDAC-ZADB=\\5°,

???當(dāng)NEOO=15。時(shí)，NAOE=90。,

此時(shí)平行四邊形AECT是菱形；

當(dāng)ZEOD=45°,ZAEO=ZEOD+ZADO=45°+\5°=60°,

：.ZOAE=ZOEA,

：,OA=OEf

：.AC=EFt

此時(shí)平行四邊形4EC尸是矩形；

???NEOOV15。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

當(dāng)NEOO=15。時(shí)，ACLEF,四邊形4FCE為菱形，

當(dāng)15。〈/七0。〈45。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

當(dāng)NEOD=45。時(shí)，四邊形4尸CE為矩形，

當(dāng)45。＜/七0。＜105。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握

并應(yīng)用它們的判定定理.

16.A

【分析】

當(dāng)G8二GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)ND4G=60。，即可

得到旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

解：如圖，當(dāng)G8二GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，

分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)G在人。右側(cè)時(shí)，取8c的中點(diǎn)“，連接G"交A。于

:.GHLBC,

???四邊形是矩形,

：,AM=BH=-AD,

???GM垂直平分A￡),

：.GD=GA=DAt

???△ADG是等邊三角形，

:./D4G=60。，

???旋轉(zhuǎn)角a=60°；

②當(dāng)點(diǎn)G在A。左側(cè)時(shí)，同理可得AAOG是等邊三角形,

ND4G=60。，

，旋轉(zhuǎn)角。=360。-60。=30。。，

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意:

對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

17.A

【分析】

由矩形的性質(zhì)與線段的等量關(guān)系證明AAE”且ACG/(SAS),ABEF%DGH(SAS),則

EH=GF,EF=HG,如圖，作E關(guān)于8c的對稱點(diǎn)￡,連接EG交于尸，此時(shí)EV+PG

最小，即四邊形“6〃周長最小，作GG'_LAB于G',則四邊形8CGG是矩形，BG'=CG,

GG=BC=AD,則￡G'=AB=10,GGf=AD=5,在R〃GE*G'中，由勾股定理得

￡G=J(￡G)2+(GG)2求出名G的值,進(jìn)而可求最小的周長.

解：???四邊形A8CD是矩形，

:,AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZADC=ZBCD=ZABC=90P,

AE=CG,BF=DH

:,BE=DG,CF=AH,

在4AEH和ZGF中

AH=CF

V^EAH=ZGCF=90Q,

AE=CG

：.^AEH^CGF(SAS),

???EH=GF,

同理ABEFqADOHISAS),

???EF=HG，

如圖，作E關(guān)于8C的對稱點(diǎn)￡,連接E'G交BC于尸，此時(shí)七戶+AG最小，即四

邊形FR7萬周長最小,作GG'I4。于(7.

???四邊形8CGG是矩形，

；?BG'=CG,GG=BC=AD,

*：AE=CG,BE=BE，

：.E,G,=AB=\O,GG'=AD=5,

在RfaGEG'中，由勾股定理得EG=J(E&f+(GG)2=5石,

:.四邊形EFGH的周長=EF+FG+GH+EH=2EG=1()6,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對稱等知識.解

題的關(guān)鍵在于找出四邊形EFG"周長最小時(shí)點(diǎn)E、尸、G的位置關(guān)系.

18.B

【分析】

先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC,即可求出四邊形A8EC的面積.

解：???四邊形48CD是平行四邊形，

：,AB//CD,AB=CD=2fBC=AD=3,ZD=ZABC,

???BE//AC,

...四邊形4NEC為平行四邊形，

ZAFC=2ZD,

ZAFC=2ZABCt

???NAFC=NABF+NBAF,

:./ABF=/BAF,

:,AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

???平行四邊形ABEC是矩形，

???ZBAC=90°,

???AC=ylBC?-AB?=打力=6

:.矩形ABEC的面積為AB.AC=2石.

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相

關(guān)定理，證明四邊形ABEC為矩形是解題關(guān)鍵.

19.1350##135度

【分析】

首先得出△CQE為等腰直角三角形，即可推出△OCQ為等邊三角形，得CO=CE,進(jìn)而

求出NCOE,即可得出答案.

解：YOE平分NAOC,

???NADE=/CDE,

\'AD//CB,

JZADE=ZCEDt

:?NCDE=NCED=45。,CD=CE,

VZ5DE=15°,

???NOOC=60。，

在矩形ABC。中，OD=OC,

???△ODC為等邊三角形，

：?OC=CD=CE,NOCD=NCOO=60。，

：.ZOCE=30°,

：.ZCOE=^(180°-ZOCE)=75°,

；?NOOE=135°,

故答案為：135。.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形對角線互相平分且相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.逑

2

【分析】

過點(diǎn)尸作A。的垂線，交AD于M,交BC于N,求出AM長，再根據(jù)勾股定理列出方

程求解即可.

解：過點(diǎn)F作的垂線，交AO于M,交5c于N,

由翻折可知，AB=AF=3,BE=EF,

尸的面積為I，

22

*：AD=5t

:.FM=i,

?*-AM=JAF?-FM”=2V2,

???NABN=NBAN=NAMN=900,

???四邊形AMNB是矩形，

/.AM=BN=2a，NBNM=90。,AB=MN=3,

:?FN=MN-FM=2,

：.BE2=Q6-BE)W

解得，BE=亞,

2

故答案為：逑.

2

A/

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)面積求出線段長,

利用勾股定理列方程.

21.3亞

【分析】

利用三角形中線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出與^=S.Swc=S",、，c,

S四邊形E8ASW=S四邊形DMNF，即可得出答案.

解：???點(diǎn)￡、/分別是A3、CD的中點(diǎn)，連接OE和班分別取OE、M的中點(diǎn)M、

N,

故答案為：3忌.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中線的性質(zhì)，得出圖中陰影部分的面積

等于矩形ABC。面積的一半是解題關(guān)鍵.

22.-3

【分析】

先由B4_Lx軸，8C_Ly軸得至J四邊形OABC是矩形，然后由矩形的性質(zhì)可得宜線/過矩

形0A8C的中心點(diǎn)，再由點(diǎn)B和點(diǎn)0的坐標(biāo)求得中心點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入

直線/的解析式求得機(jī)的值.

解：：始，］軸，8C_Ly軸，

，四邊形048c是矩形，

???直線/將四邊形OABC分為面積相等的兩部分，

.??直線/過矩形OABC的中心點(diǎn)，

?1點(diǎn)B（3,3）,點(diǎn)0（0,0）,

33

???矩形。的中心點(diǎn)為（不，；），（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）

22

3333

將中心點(diǎn)（5,y）代入y=mx-2m得，—m-2m=-,

.*./??=-3,

故答案為：■3.

【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過直

線/平分四邊形OABC的面積得到直線/經(jīng)過矩形OA8C的中心點(diǎn).

23.5G

【分析】

根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：EC=ED,再根據(jù)AC=AZ）,點(diǎn)一定在NCA8的平分

線上運(yùn)動，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)￡8_LAE時(shí)，房的長最小，根據(jù)N'8AE=60。得出結(jié)論.

解：連接4E，

???四邊形COG"是矩形，

：,CG=DH,EC=^CG,ED=^DH,

:?EC;ED,

9

：AC=ADt

垂直平分CD,

；?ZDAE=ZCAE=^ZCAD=yXl20°=60°,

???點(diǎn)E在NCAB的平分線上運(yùn)動，

???當(dāng)EB_LAE,NAE8=90。時(shí)，仍的長最小，

,/ZB=90°-ZBAE=30°,

:?EB二立AB二Bx10=573,即E8的最小值為5后cm,

22

故答案為5。.

H

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形、線段垂直平分線、含30。角的直角三角形、垂線段.熟練掌

握矩形對角線相等且平分的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形邊

的性質(zhì)、垂線段最短，是解決問題的關(guān)鍵.

24.4-2上

【分析】

如圖，作交作FK_LCD于K.證明?jEZAKFG(AAS),推

出4"=產(chǎn)K=l,由四邊形。MPK是矩形，推出DM=FK=T,推出HM=AD-AH-DM=\,

在mAFMH中,FM=《FH】-HM2=《FH2一1推出當(dāng)FH的值最小時(shí),EW的值最大，F(xiàn)N

的值最大，求出府的最小值即可解決問題.

解：如圖，作網(wǎng)于M交BC于N,作尸KJ.CO于K.

???四邊形A8CO,四邊形EFGH都是矩形，

:.ZA=/D=NEHG=ZHGF=期,HE=FG.

:.ZAHE+/DHG=90。,/DHG+NDGH=90°,ZDGH+FGK=90°,

NFGK+NGFK=9(r,

ZAHE=NDGH=NGFK,

?.?NA="KG=90°,

.^AHE^^KFG(AAS),

：.AH=FK=\,

,?,四邊形DWK是矩形,

..DM=FK=I,

..HM-AD-AH-DM-I，

在Rt^FMH中，F(xiàn)M=，

?.?當(dāng)F”的值最小時(shí)，尸M的值最小，EN的值最大，

???四邊形EFGH是矩形，

:.FH=EG,

?.?當(dāng)EG_LA8時(shí)，EG的值最小，

/.FH的最小值=AD的長=3,

二?FM的最小值=732-1=2V2，

:MN=AB=4,

.?.四的最大值=〃％-尸河=4一2&，

故答案是：4-272.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會添加常用條輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

25.3G

【分析】

依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到A8的長，再根據(jù)含30。角的直角三角形

的性質(zhì)，即可得到8C的長，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出AC的長.

解：???點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，CD=3,ZACB=90°,

：.AB=2CD=6,

???在AABC中，ZACfi=90°,NA=30°,