第三章 突破4 利用導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問題

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用突破4利用導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問題命題點(diǎn)1

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

(1)當(dāng)

a

＝0時(shí)，求

f

(

x

)的最大值；(2)若

f

(

x

)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求

a

的取值范圍.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2方法技巧已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法(1)數(shù)形結(jié)合法：先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的要求數(shù)形結(jié)合

求解；(2)分離參數(shù)法：由

f

(

x

)＝0分離出參數(shù)

a

，得

a

＝φ(

x

)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

y

＝φ(

x

)的

單調(diào)性、極值和最值，根據(jù)直線

y

＝

a

與

y

＝φ(

x

)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得參數(shù)

a

的取值

范圍；(3)分類討論法：先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合

題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)的范圍.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

所以

a

＞1且

a

≠e，即

a

的取值范圍為(1，e)∪(e，＋∞).(2)若曲線

y

＝

f

(

x

)與直線

y

＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求

a

的取值范圍.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2命題點(diǎn)2

探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例2

[全國卷Ⅰ]已知函數(shù)

f

(

x

)＝sin

x

－ln(1＋

x

)，

f

'(

x

)為

f

(

x

)的導(dǎo)數(shù)，證明：

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2(2)

f

(

x

)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

(iv)當(dāng)

x

∈(π，＋∞)時(shí)，ln(

x

＋1)＞1，所以

f

(

x

)＜0，從而

f

(

x

)在(π，＋∞)

上沒有零點(diǎn).綜上，

f

(

x

)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2方法技巧探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)圖象法：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，

確定函數(shù)

f

(

x

)的圖象草圖，

判斷圖象與橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般要結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理處理.(2)分離法：設(shè)

f

(

x

)＝

g

(

x

)－

h

(

x

)，則

f

(

x

)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?

g

(

x

)與

h

(

x

)圖

象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

[解析]

f

'(

x

)＝1＋

a

cos

x

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2

1.[命題點(diǎn)1/2022全國卷乙]已知函數(shù)

f

(

x

)＝ln(1＋

x

)＋

ax

e－

x

.(1)當(dāng)

a

＝1時(shí)，求曲線

y

＝

f

(

x

)在點(diǎn)(0，

f

(0))處的切線方程；12

(2)若

f

(

x

)在區(qū)間(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求

a

的取值范圍.

12

12

12∵

f

(0)＝0，∴

f

(

x

1)＞

f

(0)＝0，當(dāng)

x

→－1時(shí)，

f

(

x

)＜0，∴

f

(

x

)在(－1，

x

1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即

f

(

x

)在(－1，0)上存在一個(gè)零點(diǎn).∵

f

(0)＝0，當(dāng)

x

→＋∞時(shí)，

f

(

x

)＞0，∴

f

(

x

)在(

x

2，＋∞)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即

f

(

x

)在(0，＋∞)上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，

a

的取值范圍是(－∞，－1).12

12(2)設(shè)

x

0是

f

(

x

)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線

y

＝lnx

在點(diǎn)

A

(

x

0，lnx

0)處的切線也是曲線

y

＝e

x

的切線.

12

1.[2024安徽六校聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

a

e

x

－

x

(e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性；[解析]

(1)由已知，得

f

'(

x

)＝

a

e

x

－1.①當(dāng)

a

≤0時(shí)，

f

'(

x

)＜0，

f

(

x

)在R上單調(diào)遞減；1234②當(dāng)

a

＞0時(shí)，令

f

'(

x

)＝0，得

x

＝－lna

，當(dāng)

x

∈(－∞，－lna

)時(shí)，

f

'(

x

)＜0，所以

f

(

x

)在(－∞，－lna

)上單調(diào)遞減，當(dāng)

x

∈(－lna

，＋∞)時(shí)，

f

'(

x

)＞0，所以

f

(

x

)在(－lna

，＋∞)上單調(diào)遞增.

[解析]

(2)原問題等價(jià)于

g

(

x

)＝

ax

e

x

－(lnx

＋

x

)＝

ax

e

x

－ln(

x

e

x

)(

x

＞0)有兩個(gè)零點(diǎn)，令

t

＝

x

e

x

(

x

＞0)，則易得

t

＞0，

(2)若

g

(

x

)＝

a

e

x

(

x

－1)－lnx

＋

f

(

x

)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

a

的取值范圍.1234

又當(dāng)

t

→0時(shí)，

h

(

t

)→－∞，當(dāng)

t

→＋∞時(shí)，

h

(

t

)→0，所以

h

(

t

)的大致圖象如圖，

1234

1234

1234

1234

(1)若

b

＝

c

＝0，討論

f

(

x

)的單調(diào)性；

①若

a

≤0，則f'(

x

)＜0，所以

f

(

x

)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；1234

(2)已知

x

1，

x

2是

f

(

x

)的兩個(gè)零點(diǎn)，且

x

1＜

x

2，證明：

x

2(

ax

1－1)＜

b

＜

x

1(

ax

2－1).1234

綜上可得：

x

2(

ax

1－1)＜

b

＜

x

1(

ax

2－1).1234

1234(2)討論函數(shù)

f

(

x

)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

①當(dāng)

m

≤0時(shí)，因?yàn)?/p>

x

＞0，所以

mx

－1＜0，所以當(dāng)

x

∈(0，2)時(shí)，

f

'(

x

)＞0；當(dāng)

x

∈(2，＋∞)時(shí)，

f

'(

x

)＜0.所以

f

(

x

)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，此時(shí)

f

(

x

)max＝

f

(2)＝2ln2＋2

m

－2(2

m

＋1)＝2ln2－2

m

－2，當(dāng)

m

＝ln2－1時(shí)，

f

(2)＝0，函數(shù)

f

(

x

)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ln2－1＜

m

≤0時(shí)，

f

(2)＜0，函數(shù)

f

(

x

)沒有零點(diǎn)；當(dāng)

m

＜ln2－1時(shí)，因?yàn)楫?dāng)

x

→0＋或

x

→＋∞時(shí)，

f

(

x

)→－∞，且

f

(2)＞0，所以可作

出

f

(

x

)的大致圖象如圖1，圖11234

當(dāng)

x

→0＋時(shí)，

f

(

x

)→－∞，當(dāng)

x

→＋∞時(shí)，

f

(

x

)→＋∞，且

f

(2)＝2ln2－2

m

－2＜0，作出

f

(

x

)的大致

圖象如圖2，所以函數(shù)

f

(

x

)在(0，2)和(2，＋∞)上各有唯一零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)

f

(

x

)有2個(gè)零點(diǎn).圖21234

1234

1234

當(dāng)

x

→0＋時(shí)，

f

(

x

)→－∞，當(dāng)

x

→＋∞時(shí)，

f

(

x

)→＋∞，作出

f

(

x

)的大致圖象如圖3，所以函數(shù)

f

(