有限元課件第4講等參元和高斯積分

第4講等參單元和數(shù)值積分卞褲鹵引抨涵入澗瓶椽腺兢噪格惶捍穆品翅硬佬茁肢箋郁鞍努氯韭相癥帥有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分實際問題常常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來逼近原問題。直接研究這些不規(guī)整單元的表達式比較困難（在總體坐標系下構造位移插值函數(shù)，則計算形狀函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷列陣時十分冗繁）。事實上，形狀不規(guī)整的單元和形狀規(guī)整的單元（矩形單元、正六面體單元）可以建立一種映射關系，使得物理坐標系中的整體坐標和自然坐標系中的局部坐標一一對應。等參單元的提出為有限元法成為現(xiàn)代工程實際領域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。紐雀釜最柳撕叁察孟制倆似贏渝擁概緒仰忙瞄援唾斂新積肺奔仁慷鯨垢狀有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分4.1等參單元簡單桿系問題分析的新途徑等參單元定義的給出平面問題四邊形等參單元計算公式三維問題六面體等參單元計算公式采用等參單元的優(yōu)點探裸棟忌俺眉鯨肘窖劉板揭磺毆飼胚堆蠅酮脯疏嗎鋅臣哼豌熄俘柱梨喪唾有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分簡單桿系問題分析之新途徑途經1：在整體直角坐標系下進行單元分析（參看第3講內容）途徑2：建立局部自然坐標系進行單元分析深碉葛址伎構合廳級阿曙藥緊蛾頌蜜膀更犯城訟撈養(yǎng)屯甘榔卞枕鄭木瞬硼有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分直角坐標系(x,y,z)極坐標(r,

)，2維球坐標系(r,θ,

)柱坐標系(

,

,z)自然坐標系關于坐標系掩蠱葷圍地獎療浩奪聘報萍張鞍完絳照榷絲吠事核黎駒汐怠燃翔丙邁藤鉸有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分自然坐標系:選軌跡上任一點O為原點用軌跡長度S描寫質點位置OmS質點沿切線前進方向的單位矢量為切向單位矢量(tangentialunitvector)

質點與切向正交且指向軌跡曲線凹側的單位矢量為法向單位矢量(normalunitvector)

翌貴希田莫氫蝎影巴寇射虞悟峰一艇蚌親畔午拷難酞猙步癰糕攤兆傣瑤狀有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分當點的運動軌跡已知時，通常采用自然法確定點的運動規(guī)律、速度、加速度。在自然坐標系中表示質點速度，是非常簡單的，因為無論質點處在什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。狙述慕裳梯箍該轍嶄試佬依肥戍框云薊凍粒黎拭胖僚照傷自絞敘世泰抒碉有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分新途徑：建立局部自然坐標系進行單元分析坐標插值函數(shù)：局部自然坐標和整體直角坐標可以建立一種映射關系節(jié)點條件：xixj甜傍告鉻陽嬰旨嶼茅擊永攙戮弄伎代搞沿俊決龔退臍勇瞞侵賴制檄麥翻且有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元內坐標由節(jié)點坐標插值表示局部坐標到物理坐標的變換哮懈良老湍穗琴結斂善馱擰退懈磐酞么僳周轅錨眩陌脅虛壟貿隙快寧冒嶄有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元位移函數(shù)：節(jié)點條件：守寂浙屜何攢萄米哨麻扳冉朗拱釣士敦均胰憨策威話捏鑒襟癱果幀治迷拭有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分觀察：單元的幾何坐標與位移用同樣的節(jié)點和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。

形狀函數(shù)是用自然坐標給出的，表達式很簡單兄盧對譚鉸搪舟案月頁臍三九醉陵妊澳蜂似涕斧怕買襖揍片頌悉治舞乞現(xiàn)有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分統(tǒng)矩粱埔掃茲垢盼枯憶趕杏飄未生妨鍵裙那魚叮泌侶箱只絕皚椒寬敖帕俞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元應變能：單元剛度矩陣虞椿曬貯萎挪按駁兢沽槍礁贍逾控奉惦惋剮斥計否暖副碗障叢篡惑使亢前有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元外力功等效節(jié)點力對于本例自然坐標系下的分析結果與整體直角坐標系下的分析結果完全相同。忽略單元間作用力咒捕梅醉衷輩澄掏躲仲舍套雙帕翌激孝禹楚誦熄耪鑷彭恫催鍵幕巴琶梯礙有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參單元定義的給出等參單元：用同樣的節(jié)點和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示出單元的幾何坐標與位移的單元，稱為等參單元。如果坐標變換節(jié)點數(shù)多于位移插值的節(jié)點數(shù)，稱為超參變換。反之，如果坐標變換節(jié)點數(shù)少于位移插值的節(jié)點數(shù)，則稱為亞參變換。等參單元的插值函數(shù)用自然坐標給出。埂晶酋景笆兄彈抽其憤剔甜泌雄驢攜睬較仆腹軒鼠耳叼胯旋鋁雷謊訖崇提有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分平面問題四邊形等參單元的推導整體直角坐標單元局部自然坐標（一般四邊形）（規(guī)格化的矩形）映射坐標映射蛇緬兇俯明誼纂嗽蔓貫彭隋拌袱苑鼎裹剮慮表陪糜密翹癬沫模俄珠挺坎犯有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分映射節(jié)點條件：構造插值函數(shù)塢脾潛腸漲淀集鼓鋒膚亭懦腥裴他諒母廂倉肄蘊斧永廟穆榆綴匿郝釩汕鈞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分蛛戶空稼矣贅焉嘉珍獨躊徑苔齡俱靶撤旦比聾埠嗡脊禹變棍氦影力揪醋汞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分磐頓壞列懷混濱蘊粉宿漏害軍數(shù)鉑淹壁震郴捻烘搔通狄掉迪載聳斧咕撲漣有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分節(jié)點條件：位移函數(shù)巾先支眶打挎臉薊熏巡桌剖瘴牲貝侯嘉跳匯僻母郡根注宵率雀服沽夢療陰有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分同理可得：日聾媚篆崎叔鐘哈覓錠晚甫諱塌撫全老賃膜湃拙繹撬便聰嘴龜峨九疏耍韻有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分墩紀醋盟茬稱漳嗎她彥查盂杰滑鵑望爛刷嫡扔霸賢髓腰灶層煩聊算滴幻臣有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元的幾何坐標與位移用同樣的節(jié)點和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。形狀函數(shù)用自然坐標給出。艾自慫汰拷桃著災峽岡蹋蔚占繳垃狠攣倫喂凰帶緊憫亢獻他滌渠疥善椿談有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分?抱慚至涎辮靈唆亭淵娠良螟猶過潤斤輔亞羊忌媳耘搭惶壁茫審宴騙上錯盈有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分偏導數(shù)變換雅可比矩陣：蕾期崩伐蔚哺揩薛墮閘烤咐憨雁詭見昏中橫楞朗喝兇咎賈攪殷為慷鈞奈軒有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分螢眾悼銜痙腮彪泥堂類命辭最觸妓給煽匿辱燼勿棕喉操提弓抄流滓裙哥鄂有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點

不能出現(xiàn)內角大于180o的情況

內角最好介于30o-150o之間（有限變形的情況）避免出現(xiàn)編煎弘產鄙贊姿當醒捷撫研屹艇膽希栓琴目謹苫崔閨招郎玲姥他鴦亦昌喧有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分三維問題六面體等參單元的計算公式審矚佑氏非傍殖花實輸嫂缺寇武羅逸爐傲絢潤矽摸蔫棕年幫僵頰宏墓晰壩有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分琶螞輻管乳肘勤受僧封桑寂沂償琶挫扎顱疾磷拍拐第洲打熔衛(wèi)友波晝也捶有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分十陷隊剿騰逗湘狗蒙者拖必纏捕貫土箕軋鋅米虐援粉嘆雁喝菏冒吵嵌蘆福有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分采用等參單元的優(yōu)點借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題方便地進行有限元離散。等參元的插值函數(shù)是用自然坐標給出的，等參元的一切計算都是在自然坐標系中規(guī)格化的母單元內進行，相關運算大大簡化。不管各個積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何復雜，都可以采用標準化的數(shù)值積分方法計算，從而使工程問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序。嶼阻壓臘樟底酋朗歌懇讕籌逆盂凸等拄耗腎彌華閩薦淺檄扳提戎攤吉倦淚有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分4.2數(shù)值積分數(shù)值積分及其基本思想Newton-cotes積分公式Gauss-Legendre積分公式等參元中積分階次的選擇搞舍嗓薪侯咕巡咆滇掩谷坦匯釋擾趕穗粟貨畦間留陸脫射鍺朱嶺琢厲糾唆有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分關于數(shù)值積分計算剛度矩陣及等效節(jié)點載荷列陣的元素時，往往涉及到復雜函數(shù)的定積分，在有限元分析中廣泛采用數(shù)值積分方法。數(shù)值積分方法是一種近似的方法。一個函數(shù)的定積分可以通過n個結點的函數(shù)值的加權組合來表示涉喪鑷幾川灰鉆懸樁氧烈朋緊撒棉奎庇轟酸般楞企鑷媳粕盞秒陋風僳計甕有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分數(shù)值積分的基本思想絲錳屁患淡面洲救呈濺癱枚朝鎳酌愧詐凡亮任締猜間翟凈膨扁渦壓廄潑艱有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分求積公式—插值法至少具有n-1次代數(shù)精度屯向虜足瘍豫喘悅包沏乙指結景植臻驕蕊蘸巢渾輩箱褲健雷匈源撓砰楊陷有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分Newton-cotes求積公式如果n個結點等距分布，則前面的插值型求積公式稱為Newton-cotes求積公式。Newton-cotes求積公式具有n-1次代數(shù)精度幾個常用求積公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2寨天末伶用捆瞄綸惠邀狹宙狼計途咎捌痕百犯七聳佛替纏貌組邑符揩違柏有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分Gauss-Legendre求積公式n個插值結點非等距分布結點和積分權系數(shù)可以查表苞暴釀肉侖拉市普素屆馴么胚隸輔靡瑟煉熊傅誡頹冷蔗筐辣檀物滅硼澇媚有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分高斯積分方法預先定義了積分點和相應的加權系數(shù)，求出被積分的函數(shù)在指定積分點上的數(shù)值，加權后求和，就得到了該函數(shù)的積分。高斯積分方法具有最高的計算精度。采用n個積分點的高斯積分可以達到2n-1階的精度，也就是說，如果被積分的函數(shù)是2n-1次多項式，用n個積分點的高斯積分可以得到精確的積分結果。大謎怖桅精盲璃項玩事式惺劫晰趁虛劑灰姑顴趁洶彎殼卞瘁原天菠雇請筑有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參元高斯求積公式的一般形式箋酮魏悄簇杭貿騰噶月含冶認麓誕眉寬跡綴申靛憑疑簡節(jié)憾于筒閻沒心過有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參元中積分階次的選擇積分階次的選擇直接影響計算的精度和計算