線性代數(shù)-課件-1

主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數(shù)普通高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)試用教材大連理工大學(xué)出版社行列式起源于解線性方程組，是線性代數(shù)中的一個(gè)重要研究對(duì)象，它是學(xué)習(xí)矩陣、線性方程組等時(shí)要用到的一個(gè)有力工具。行列式在數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。克拉默法則是一類線性方程組的一個(gè)重要解法。本文主要介紹行列式的定義、性質(zhì)和計(jì)算，以及它在解線性方程組中的應(yīng)用———克拉默法則。1.1.1二階和三階行列式在中學(xué)階段曾學(xué)過(guò)解兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)的線性方程組用消元法求解時(shí),第一個(gè)等式兩邊同乘以a22,第二個(gè)等式兩邊同乘以a12,然后兩式相減消去x2

得(a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12;類似地,消去x1

得

(a11a22-a12a21)x2=b2a11-b1a21.當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí),求得方程組(1)的解為注意到式(2)中的分子和分母都是由四個(gè)數(shù)分兩對(duì)相乘再相減而得.為了便于記憶這些解的公式,我們把表達(dá)式a11a22-a12a21記為并把式(3)稱為二階行列式,稱a11a22-a12a21為式(3)的行列式展開式,即二階行列式含有兩行兩列(橫排叫行，豎排叫列)，稱aij(i=1,2;j=1,2)為行列式的元素或元，aij

的兩個(gè)下標(biāo)表示其在行列式中的位置，第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，表示元素aij

所在的行；第二個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，表示元素aij

所在的列.容易看出，二階行列式表示一個(gè)數(shù)，它等于(如圖1-1)實(shí)連線(主對(duì)角線)兩數(shù)之積減去虛連線(次對(duì)角線)兩數(shù)之積.圖1-1根據(jù)二階行列式的定義,式(2)的分子也可以寫成行列式從而式(2)可寫成若記則二元線性方程組(1)的解是兩個(gè)二階行列式的除法注意到,解式(4)、式(5)的分母行列式D由未知數(shù)x1

和x2

前系數(shù)按照原來(lái)的位置排列而成,稱D

為二元線性方程組(1)的系數(shù)行列式,bi

稱為第i

個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)(i=1,2).解x1對(duì)應(yīng)的分子D1,由b1,b2

按照方程中位置排為一列替換掉D

的第一列而得,解x2

對(duì)應(yīng)的分子D2,由其替換掉D

的第二列而得.進(jìn)一步考察三元線性方程組類似前面的討論,先分別通過(guò)前兩式和后兩式消去一個(gè)未知數(shù)x3,得到含x1和x2的兩個(gè)二元線性方程組,再?gòu)拇硕€性方程組中消去x2,最終可得到下面一元線性方程若對(duì)xi

前面系數(shù)引入下面記號(hào)稱式(7)表示的數(shù)為三階行列式，并稱D為三元線性方程組(6)的系數(shù)行列式.同理式(3)為二元線性方程組(1)的系數(shù)行列式.三階行列式由三行三列共9個(gè)元素組成,它的展開式(式(7)右端)可按下面對(duì)角線法則給出(如圖1-2):圖1-2由三階行列式的對(duì)角線法則得于是,當(dāng)D≠0時(shí),x1

可表示為同理可得其中容易看出,當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時(shí),三元線性方程組(6)有唯一解.注意到式(8)中xj(j=1,2,3)的分母是三元線性方程組(6)的系數(shù)行列式,Dj(j=1,2,3)分別是在系數(shù)行列式D

中把第j

列元素?fù)Q成右端常數(shù)項(xiàng)b1,b2,b3

而得到.這和二元線性方程組的解式(4)、式(5)有同樣的規(guī)律性,像式(5)、式(8)這樣求解線性方程組的方法稱為克拉默法則.計(jì)算下列行列式例１計(jì)算下列行列式1.1.2克拉默法則

定理1(克拉默法則)對(duì)含有n

個(gè)未知數(shù)x1,x2,…,xn

和n

個(gè)線性方程的如下方程組(注意方程的個(gè)數(shù)要等于未知數(shù)的個(gè)數(shù))若其系數(shù)行列式不等于0,即則n

元線性方程組(9)有唯一解:其中Dj

是將系數(shù)行列式D

中第j

列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn

代替后所得到的行列式,即形如定理1中D

和Dj

由n

行n

列元素排成的行列式,稱為n

階行列式.

注意：關(guān)于n

個(gè)線性方程的方程組的系數(shù)行列式的定義在本章1.3節(jié)給出.解下列方程組例２

解法1

可以用消元法求解(略).由于系數(shù)行列式

解法2

利用克拉默法則求解由克拉默法則得原方程組有唯一解

注意：只有當(dāng)D≠0時(shí),才能用克拉默法則求出唯一解,且克拉默法則只適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形.若D=0或者方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不相等,則方程組可能無(wú)解或者有多于一個(gè)解.當(dāng)λ取何值時(shí),線性方程組例３

解由克拉默法則可知,當(dāng)系數(shù)行列式不等于零時(shí),原線性方程組有唯一解.由有唯一解?令D=0解得λ=5或λ=2或λ=8故當(dāng)λ≠5,λ≠2且λ≠8時(shí),原線性方程組有唯一解.A組

答案1.求下列二、三階行列式的值.(1)-2;(2)0;(3)-4;(4)2;(5)-24.A組2.用克拉默法則求解下列方程組.

答案B組1.當(dāng)λ,μ

取何值時(shí),線性方程組

答案只有唯一解?λ≠1且μ≠0.B組2.求三階行列式的值.

答案(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2).為了引入n

階行列式的定義,在本節(jié)中介紹排列和逆序數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì).在中學(xué)階段,我們學(xué)習(xí)了排列的概念,把n(n≥2)個(gè)不同的元素按一定順序排成一行,稱為這n個(gè)元素的一個(gè)排列.下面只討論由前n

個(gè)自然數(shù)1,2,…,n

構(gòu)成的排列.

定義1

由1,2,…,n

這n

個(gè)數(shù)排成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n

階排列.稱123…n

為自然排列.如132是一個(gè)3階排列,由1,2,3三個(gè)自然數(shù)組成的3階排列還有

123,213,231,312,321,其中123為自然排列.

3級(jí)排列共有6個(gè),易得n階排列的總數(shù)是An=n·(n-1)…2·1=n!個(gè).n

定義2

對(duì)于n

個(gè)不同的元素,先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序(例如n

個(gè)不同的自然數(shù),可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序),在這n

個(gè)不同元素的任一排列中,當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí),就說(shuō)該排列有一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫作這個(gè)排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫奇排列,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫偶排列.下面說(shuō)明逆序數(shù)的計(jì)算方法.對(duì)于排列p1p2…pn,其逆序數(shù)為每個(gè)元素的逆序數(shù)之和.即對(duì)于排列p1p2…pn

中的元素pi(i=1,2,…n),如果排在pi

前面比pi大的元素有ti

個(gè),就說(shuō)pi

的逆序數(shù)為ti

個(gè),p1p2…pn全體元素的逆序數(shù)之和t1+t2+…+tn=即是這個(gè)排列的逆序數(shù),通常記為τ(p1p2…pn).即求τ(32541),τ(42531),并指出這兩個(gè)排列的奇偶性.例１解在排列32541中,3排首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)有一個(gè)(3),故其逆序數(shù)為1;5是最大數(shù),逆序數(shù)為0;4的前面比4大的數(shù)有一個(gè)(5),故逆序數(shù)為1;1的前面比1大的數(shù)有4個(gè)(3、2、5、4),故逆序數(shù)為4.于是這個(gè)排列的逆序數(shù)為

τ(32541)=0+1+0+1+4=6.6是偶數(shù),故排列32541是偶排列.同理,τ(42531)=0+1+0+2+4=7,從而排列42531是奇排列.容易發(fā)現(xiàn)以上兩個(gè)排列僅僅是對(duì)換了3和4的位置,排列的奇偶性改變了.

定義3

在一個(gè)排列中,任意對(duì)調(diào)兩個(gè)元素,其余元素保持原位置不變,這一過(guò)程稱為對(duì)換.相鄰兩個(gè)元素的對(duì)換叫作相鄰對(duì)換.定理1

一個(gè)排列每經(jīng)過(guò)一次對(duì)換都會(huì)改變排列的奇偶性.證明

(1)先證相鄰對(duì)換的情形設(shè)排列為a1…akabb1…bm,對(duì)換a

和b

變?yōu)閍1…akbab1…bm.顯然a1,…,ak;b1,…,bm這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變,同時(shí),a,b與a1,…,ak

或b1,…,bm

所構(gòu)成的逆序數(shù)也沒(méi)有改變.所以,當(dāng)a<b時(shí),新排列比原排列逆序數(shù)加1;當(dāng)a>b

時(shí),新排列比原排列逆序數(shù)減1;不管哪種情形,對(duì)換都改變了排列的奇偶性.定理2

在全部n(n≥2)階排列中,奇排列與偶排列個(gè)數(shù)相等,都等于個(gè).

證明設(shè)全部n

階排列中有s

個(gè)不同的奇排列和t個(gè)不同的偶排列,需證s=t.將每個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換,即可得s個(gè)不同的偶排列,故s≤t;同理可得,t≤s,即奇、偶排列各一半.

(2)再證一般對(duì)換的情形設(shè)排列為a1…akac1…csbb1…bm,把它作s次相鄰對(duì)換,變?yōu)閍1…akabc1…csb1…bm

;再作s+1次相鄰對(duì)換,變?yōu)閍1…akbc1…csab1…bm

.總之,進(jìn)行了2s+1(奇數(shù))次相鄰對(duì)換,a1…akac1…csbb1…bm

變成a1…akbc1…csab1…bm

,所以這兩個(gè)排列奇偶性相反.A組

答案1.求下列排列的逆序數(shù).(1)5;(2)8;(3)(1)42153;(2)3712465;(3)n(n-1)…321.2.確定i,j的值,使得213i76j9為偶排列.

答案i=4,j=5.B組

答案1.寫出排列25431變成排列12345的相應(yīng)對(duì)換.2?1;5?2;4?3.2.已知τ(i1i2,…,in)=m,求τ(inin-1,…,i1)

答案1.3.1二階及三階行列式的構(gòu)造容易看出,式(1)的每一項(xiàng)都是位于不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積,除去符號(hào),每項(xiàng)的三個(gè)元素按它們?cè)谛辛惺街械男械捻樞蚺懦蒩1j1a2j2a3j3,其中j1j2j3

是1,2,3的某一個(gè)排列.這樣的排列共有6種,對(duì)應(yīng)式(1)右端共6項(xiàng).觀察各項(xiàng)前的符號(hào),可以看出,當(dāng)j1j2j3

是偶排列時(shí),對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在式(1)中帶有正號(hào),當(dāng)j1j2j3

是奇排列時(shí)帶有負(fù)號(hào).因此各項(xiàng)所帶符號(hào)可以用排列j1j2j3

的逆序數(shù)來(lái)表示,即(-1)τ(j1j2j3).上述規(guī)律顯然也適用于二階行列式,由此可將二階和三階行列式表示為表示對(duì)1,2兩個(gè)數(shù)的所有排列求和.表示對(duì)1,2,3三個(gè)數(shù)的所有排列求和.1.3.2n

階行列式的定義定義1將n2

個(gè)數(shù)排成n

行n

列:稱式(2)為n

階行列式,記為Dn

或者|(aij)|n,也寫作

D=det(aij),i=1,2,…,n;j=1,2,…,n.它的值是一個(gè)代數(shù)和,即其中(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn

稱為n階行列式的一般項(xiàng),這里j1j2…jn

是1,2,…,n的一個(gè)排列,當(dāng)j1j2…jn

是偶排列時(shí),該項(xiàng)前帶有正號(hào),當(dāng)j1j2…jn

是奇排列時(shí),該項(xiàng)前帶有負(fù)號(hào).這里表示對(duì)1,2,…,n的所有n

階排列求和.當(dāng)n=1時(shí),一階行列式|a|就等于數(shù)a.

注意不要把行列式的符號(hào)和絕對(duì)值的符號(hào)混淆(要根據(jù)上下文內(nèi)容判斷是哪一種).定義1表明,用定義計(jì)算n

階行列式,首先做出位于不同行不同列元素乘積的所有項(xiàng),共有n!項(xiàng).再把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序,然后由列指標(biāo)排成的排列的奇偶性來(lái)決定這一項(xiàng)的符號(hào).計(jì)算行列式例１解(1)由行列式的定義,而除了(-1)τ(4321)1×2×3×4這一項(xiàng)外,其他項(xiàng)均為0,故計(jì)算n

階上三角形行列式例２

解根據(jù)n

階行列式的定義,只需考慮非零一般項(xiàng)的和即可,D

的一般項(xiàng)為在第n行中,除了ann

外,其余元素為0,故只需考慮jn=n的項(xiàng)ann;在第n-1行中,當(dāng)jn-1<n-1時(shí),an-1,jn-1=0,即除了an-1,n,an-1,n-1外,其余元素為0,因已經(jīng)選定jn=n,故只有jn-1=n-1;依此類推,D

的可能不為零的一般項(xiàng)只有一項(xiàng)(-1)τ(12…n)a11a22…ann=a11a22…ann.故

即上三角形行列式的值等于其主對(duì)角線上的元素的乘積.形如的行列式稱為n

階下三角形行列式.容易驗(yàn)證下三角形行列式的值也等于其主對(duì)角線上的元素的乘積.即特別地,稱為對(duì)角形行列式,顯然其值為a11a22…ann.計(jì)算行列式例3解類似例2的分析,Dn

的非零一般項(xiàng)只有一項(xiàng)故同理可得求n

階行列式例4

定理1

n

階行列式的項(xiàng)

前的符號(hào)為

,其中i1i2…in

和j1j2…jn

是兩個(gè)n

階排列.

證明略,請(qǐng)讀者自行證明.定理1′

n

階行列式也可定義為

證明由定理1,n階行列式的一般項(xiàng)可以寫為通過(guò)若干次對(duì)換,將列標(biāo)排列變?yōu)樽匀慌帕?即有一般項(xiàng)為問(wèn)題得證.A組

答案1.寫出四階行列式中含有a11a23

的項(xiàng).2.計(jì)算行列式

答案2bc-2adA組

答案3.若a13a2ia32a4k,a11a22a3ia4k,ai2a31a43ak4

為四階行列式的項(xiàng),試確定i和k,使得前兩項(xiàng)帶負(fù)號(hào),后一項(xiàng)帶正號(hào).(1)i=4,k=1;

(2)i=4,k=3;(3)i=2,k=1;B組

答案1.計(jì)算行列式2.設(shè)f(x)=求x3

的系數(shù).

答案８用定義來(lái)計(jì)算行列式一般是比較麻煩的,本節(jié)介紹行列式的基本性質(zhì),運(yùn)用這些性質(zhì),可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.將n階行列式D

的第1,2,…,n行依次變?yōu)榈?,2,…,n列,得到的新行列式稱為D

的轉(zhuǎn)置行列式,記為DT.即

性質(zhì)1

D

與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即D=DT.

D=det(aij),記DT

中第i行j列的元素為bij,則bij=aji.由1.3節(jié)中定理1′根據(jù)定義,故D=DT.此性質(zhì)說(shuō)明行列式的行和列地位相當(dāng),凡是適合行的性質(zhì),同樣也適合列.反之亦然.下面的性質(zhì)證明僅以行為例說(shuō)明,列的情況類似可證明.證明設(shè)交換行列式D

的第s

行和第t行(s<t),設(shè)

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).注意到式(2)的右端而τ(j1j2…,jt,…js…jn),τ(j1j2…,js,…jt…jn)分別為一奇數(shù)、一偶數(shù),故即D=-D1.性質(zhì)3行列式中某行(列)的公因子提到行列式外面來(lái).即

推論1若一個(gè)行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相等,則此行列式為零.此性質(zhì)也可敘述為:用數(shù)k乘行列式某一行(列)中所有元素,等于用k乘此行列式.

推論2

若一個(gè)行列式中有一行(列)的元素全部為0,則此行列式為零.

推論3

若一個(gè)行列式中有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例,則此行列式為零.

性質(zhì)4

若一個(gè)行列式的某行(列)元素都可寫成兩個(gè)元素的和,則此行列式可寫成兩個(gè)行列式的和.即證明因?yàn)?/p>

性質(zhì)5

用行列式的某行(列)的元素乘以k加到其他行(列)的對(duì)應(yīng)元素上去,行列式的值不變.即此性質(zhì)容易由推論3和性質(zhì)4推出,它是在行列式計(jì)算中經(jīng)常用到的化簡(jiǎn)方法.行列式的計(jì)算通常是先通過(guò)相關(guān)性質(zhì)將其化為上(下)三角形行列式,再得出計(jì)算結(jié)果.為了表示的方便,交換第i行(列)與第j行(列),記為ri?rj(ci?cj);將用數(shù)k乘以第i行(列)記為k×ri(或k×ci);從第i行(列)提出公因子k記為ri÷k(或ci÷k);以數(shù)k乘以第j行(列)加到第i行(列)上,記為ri+krj(ci+kcj).如-2r1+r2

表示第一行乘以-2加到第二行;c2+c1+c3+c4

表示將第1,3,4列都加到第二列上去.計(jì)算例１解此行列式特點(diǎn)是各行(列)元素相加和都等于7,將第2,3,4行元素加到第一行對(duì)應(yīng)元素上,再提取第一行的公因式7,然后第一行乘以-2分別加到第2,3,4行可得上三角形行列式,即:計(jì)算D=例２計(jì)算例３計(jì)算Dn=例４

解本行列式從倒數(shù)第二行開始,前行乘以-1加到后一行得:計(jì)算D=例５

證明因?yàn)?a11M11,其中M11=每一項(xiàng)都含有第一行的元素,而D

的第一行中僅有a11≠0,故D

僅含下面形式的項(xiàng)注意到等式右端中括號(hào)內(nèi)正是M11的一般項(xiàng),所以D=a11M11.A組

答案1.計(jì)算下列行列式(1)0;(2)0;A組

答案2.計(jì)算行列式D=-2(x3+y3).A組

答案3.計(jì)算行列式Dn=[x+(n-1)b](x-b)n-1.B組

答案1.證明:提示:根據(jù)行列式的加法拆分.B組

答案2.證明行列式D=略在上一節(jié)中,我們利用行列式的性質(zhì)可以使得某些行列式的計(jì)算大為簡(jiǎn)化.本節(jié)我們首先介紹行列式計(jì)算的另一個(gè)重要方法———按某一行(列)展開的降階處理法,然后再介紹幾種特殊行列式的計(jì)算.1.5.1行列式按某一行(列)展開定義1在n階行列式|(aij)|n中,將元素aij

所在的第i行和第j

列劃去,剩下的元素按原排列構(gòu)成的n-1階行列式,稱為aij

的余子式,記為Mij;記Aij=(-1)i+jMij,稱Aij

為元素aij

的代數(shù)余子式.例如四階行列式中由得元素a23的余子式為M23=

a23的代數(shù)余子式為A23=(-1)2+3M23=-M23.求D=的第一行元素的代數(shù)余子式.為了給出行列式按行(列)展開定理,先給出以下引理.例１

引理1

若n

階行列式D=|(aij)|n的第i

行元素中,除了aij

以外,其余元素均為零,則D=aijAij.

證明

(1)首先討論D

的第一行元素中除了a11≠0外,其余元素均為零的特殊情況.即由1.4節(jié)例5知,D=a11M11.又A11=(-1)1+1M11,從而D=a11A11.

(2)再討論D

的第i

行元素中除了aij≠0外,其余元素均為零的情況.即將D

的第i

行依次與第i-1,…,2,1各行交換后,再將第j列依次與第j-1,…,2,1各列交換,共經(jīng)過(guò)i+j-2次交換D

的行和列,得此時(shí),上式右端行列式即為(1)中討論的類型,故

定理1

n

階行列式的值等于它的任意一行(列)各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.即或根據(jù)引理1得同理可證將D按列展開的情形.定理1叫作行列式的按行(列)展開法則,利用這一法則可將行列式降階,再結(jié)合行列式的性質(zhì),可以更好地簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.在計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)殛P(guān)于低一階的行列式的計(jì)算,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式,計(jì)算出結(jié)果.計(jì)算行列式例２

(2)觀察第二列有一個(gè)零元素,利用性質(zhì)可將此列變換為只含一個(gè)非零元素.

推論1

行列式D的某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或

證明用D

的第i

行元素替換其第j

行元素得新的行列式注意到D1

有兩行元素對(duì)應(yīng)相等,根據(jù)性質(zhì)2的推論1,D1=0.另一方面,將D1

按照第j行元素展開得:所以同理可證:上述定理1及其推論1可總結(jié)為或證明范德蒙(Vandermonde)行列式

證明利用數(shù)學(xué)歸納法1.5.2*行列式的計(jì)算例３(2)假設(shè)對(duì)于n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立,從第n-1行開始,自上往下,每行都乘以-x1

加到下一行得按第一列展開,并提取公因式(xi-x1)(i=2,…,n)得注意到式(1)右端行列式為一個(gè)n-1階范德蒙行列式,由歸納假設(shè),它等于所有(xi-xj)(2≤j<i≤n)因子的乘積.即有注意:本例可作為范德蒙行列式計(jì)算的公式,容易看出范德蒙行列式不為零當(dāng)且僅當(dāng)x1,…,xn

兩兩不相等.上例中,這種把計(jì)算行列式Dn

轉(zhuǎn)換為計(jì)算同類型的行列式Dn-1的方法,稱為遞推法.遞推法在大部分情況下需要借助于數(shù)學(xué)歸納法來(lái)完成.算行列式D2n=例４

解按第一行展開,依此遞推得計(jì)算箭形行列式Dn=例５計(jì)算行列式例６