理論力學(xué)-課件第12章

第十二章碰撞01碰撞問題的基本特征和基本概念02用于碰撞過程的基本定理03物體的正碰撞動(dòng)能損失04碰撞沖量對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用撞擊中心目錄第一節(jié)碰撞問題的基本特征和基本概念第一節(jié)物體由于運(yùn)動(dòng)受到阻礙或沖擊，在極短的時(shí)間內(nèi)其速度發(fā)生有限的變化，這種現(xiàn)象稱為碰撞。

如射擊、敲釘、球的彈跳、錘鍛、飛機(jī)著陸等都是碰撞的實(shí)例。了解碰撞的基本特征，掌握它的規(guī)律，正是為了更好地利用碰撞的有利因素，避免它的不利影響設(shè)在敲擊時(shí)，釘給手錘的力為F，手錘重為G，可寫出手錘的動(dòng)力學(xué)基本方程為由方程解得可見，碰撞力F遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于手錘的重量G。如果碰撞時(shí)間再短一些或碰撞前后的速度變化更大一些，則碰撞力將更大。碰撞力的作用時(shí)間極短，而數(shù)值極大，這是碰撞力的重要特點(diǎn)，所以碰撞力又稱瞬時(shí)力。

在研究碰撞過程中，通常用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的積累效應(yīng)即碰撞沖量來度量碰撞的強(qiáng)度若以I表示碰撞沖量，F(xiàn)表示變化的碰撞力，則有（12-1）根據(jù)上述碰撞的特點(diǎn)，為使問題簡(jiǎn)化，對(duì)于碰撞問題作如下基本假設(shè)。（1）在碰撞過程中，和碰撞力相比，非碰撞力，如重力、彈性力、空氣阻力等普通力均略去不計(jì)。但應(yīng)當(dāng)注意，在碰撞前和碰撞后，普通力對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化起主要作用，不可不計(jì)。（2）由于碰撞過程非常短促，物體在碰撞開始和碰撞結(jié)束時(shí)的位置基本上沒有改變，因此，在碰撞過程中物體的位移可以忽略不計(jì)。第二節(jié)用于碰撞過程的基本定理第二節(jié)一、碰撞過程的動(dòng)量定理——沖量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，碰撞過程開始瞬時(shí)的速度為v，結(jié)束時(shí)的速度為u。則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式為（12-2）式中，I為碰撞沖量，普通力的沖量不計(jì)。對(duì)于碰撞的質(zhì)點(diǎn)系，作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的碰撞沖量可分為外碰撞沖量

和內(nèi)碰撞沖量

，按照式（12-2）有設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可列出如上的方程，將n個(gè)方程相加，得因?yàn)閮?nèi)碰撞沖量總是大小相等、方向相反且成對(duì)的存在，因此

，于是得（12-3）式（12-3）與用于非碰撞過程的動(dòng)量定理一樣，但在此不計(jì)普通力的沖量，稱為沖量定理。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可用總質(zhì)量M與質(zhì)心速度的乘積計(jì)算。于是式（12-3）又可寫成式中，

和

分別是碰撞開始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心的速度。二、用于碰撞過程的動(dòng)量矩定理——沖量矩定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的微分形式為對(duì)上式積分，得或式中，

為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢；

為作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)O點(diǎn)的主矩。上式可改寫為

前面已經(jīng)假設(shè)，在碰撞過程中，各質(zhì)點(diǎn)位置不變，因此，碰撞力作用點(diǎn)的矢徑

為恒量，于是有

或（12-5）即質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開始和結(jié)束時(shí)對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量矩的變化，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量對(duì)同一點(diǎn)的主矩，稱為沖量矩定理。式中，不計(jì)普通力的沖量矩。第三節(jié)物體的正碰撞動(dòng)能損失第三節(jié)設(shè)兩物體做平動(dòng)，若兩物體質(zhì)心的連線與接觸點(diǎn)的公切線垂直，碰撞開始時(shí)的速度沿此連線，如圖12-1所示。這種碰撞稱為對(duì)心正碰撞。圖12-1一、兩物體正碰撞結(jié)束時(shí)的速度首先，分析整個(gè)碰撞過程。碰撞過程可分為兩個(gè)階段：第一階段，從兩球開始發(fā)生碰撞的瞬時(shí)開始，到兩球具有相同的速度u，如圖12-2（b）所示，即變形達(dá)到最大時(shí)為止，此為變形階段；第二階段，從第一階段結(jié)束時(shí)開始，兩球的變形逐漸恢復(fù)，到兩球各自獲得不同的速度，即碰撞結(jié)束時(shí)為止，稱為恢復(fù)階段。

（a）

（b）

（c）

圖12-2實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于兩個(gè)具有確定材料的球，碰撞后兩球的分離速度

，與碰撞前兩球趨近速度力

（即碰撞后與碰撞前兩物體的質(zhì)心相對(duì)速度大?。┑谋戎凳遣蛔兊?，以k表示，則（12-6）式中，比值k稱為恢復(fù)因數(shù)。它表明碰撞時(shí)變形恢復(fù)的程度，其大小由材料的性質(zhì)所決定。表12-1給出了幾種常見材料的恢復(fù)因數(shù)?；謴?fù)因數(shù)k恒為正值，其數(shù)值范圍為0到1碰撞物體的材料鐵對(duì)鉛木對(duì)膠木木對(duì)木鋼對(duì)鋼象牙對(duì)象牙玻璃對(duì)玻璃恢復(fù)因數(shù)0.140.260.500.560.890.94由于兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系不受外碰撞沖量作用，則由動(dòng)量守恒方程在質(zhì)心連線上的投影式，可得（12-7）聯(lián)立式（12-6）和（12-7），解得（12-8）由此可見，當(dāng)

時(shí)，

，再單獨(dú)分析質(zhì)量為

的球。應(yīng)用沖量定理，求得在整個(gè)碰撞過程中，兩球相互作用的碰撞沖量為（12-9）若球自由下落，則可通過球距離固定面的高度H和回跳的高度h來表示k。由自由落體公式可知于是得（12-10）圖12-3將式（12-8）中的

值代入上式，解得如果平動(dòng)物體與固定面碰撞，碰撞開始瞬時(shí)的質(zhì)心速度v與接觸點(diǎn)法線的夾角為α（稱為入射角），碰撞結(jié)束時(shí)返跳速度為u與接觸點(diǎn)法線的夾角為β（稱為反射角），如圖12-4所示。這種碰撞稱為斜碰撞。設(shè)不計(jì)摩擦，兩物體只在法線方向發(fā)生碰撞，于是材料的恢復(fù)因數(shù)為法線方向的投影，則有測(cè)出球的降落高度H和回跳高度h，即可計(jì)算出球和固定面兩種材料碰撞時(shí)的恢復(fù)因數(shù)k。這也就是測(cè)定恢復(fù)因數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法。圖12-4于是

由動(dòng)量定理在切線上的投影式有（12-11）例12-1圖12-5首先研究?jī)汕虻呐鲎策^程。（1）取兩球A，B為所研究的系統(tǒng)。（2）系統(tǒng)的速度由

與

（）變成為

與（3）在碰撞時(shí)間內(nèi)無外碰撞沖量，則由系統(tǒng)動(dòng)量守恒，得所以

（a）解由式（12-6）得

（b）由式（a）、式（b）消去

，則有得

（d）對(duì)球B，應(yīng)用動(dòng)能定理，則有得

將式（d）、（e）代入式（c）中，解得（e）二、正碰撞過程中的動(dòng)能損失以T1和T2分別表示兩物體組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過程開始和結(jié)束時(shí)的動(dòng)能，則有在碰撞過程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為（12-12）由式（12-8），得 （12-13）（12-14）將式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得由式（12-6），得

于是（12-15）在塑性碰撞時(shí)，

，動(dòng)能損失為如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止，即

，則動(dòng)能損失為

注意到

，則上式可改寫為（12-16）圖12-6例12-2

物塊A自高h(yuǎn)處落下與B塊接觸時(shí)碰撞開始，此后A的速度減小，B的速度增大，兩者速度相等時(shí)；碰撞結(jié)束后A，B一起做減速運(yùn)動(dòng)，直到速度等于零為止，這時(shí)彈簧壓縮量達(dá)最大值。由于這時(shí)彈簧力大于重力，物塊將朝上運(yùn)動(dòng)，并將持續(xù)地往復(fù)運(yùn)動(dòng)。在碰撞開始時(shí)，A，B的速度分別為在碰撞結(jié)束時(shí)

解

應(yīng)用動(dòng)能定理求彈簧的最大壓縮量將上式整理成標(biāo)準(zhǔn)的二次式注意到

，解得另一解無意義。汽錘與鍛件在碰撞過程中損失的動(dòng)能與鍛錘在碰撞開始時(shí)具有的動(dòng)能的比值，定義為汽錘的效率，即例12-3

于是

如果將鍛件燒到赤熱，近似的認(rèn)為

，于是即減小k值，可提高錘鍛的效率。解

第四節(jié)碰撞沖量對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用撞擊中心一、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角速度的變化即或?qū)懗桑?2-17）式（12-17）表明，碰撞時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角速度的變化，等于作用于剛體的外碰撞沖量對(duì)轉(zhuǎn)軸的主矩除以對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。二、支座的反碰撞沖量

撞擊中心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到外碰撞沖量I作用時(shí)，不僅剛體的角速度會(huì)發(fā)生變化，軸承和軸也會(huì)發(fā)生碰撞。圖12-7取坐標(biāo)軸Oy通過質(zhì)心C，x軸與y軸垂直。由沖量定理，可知（12-18）（12-19）（12-20）這就是說，如果外碰撞沖量I作用在物體的對(duì)稱平面內(nèi)，并且滿足以上兩個(gè)條件，則軸承反碰撞沖量等于零，即軸承處不發(fā)生碰撞。將式（12-17）代入式（12-120），就可求出碰撞沖量I的作用點(diǎn)K到x軸的距離h，即（12-21）滿足式（12-21）的K點(diǎn)稱為撞擊中心于是得出結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于物體的對(duì)稱平面內(nèi)的撞擊中心，且垂直于轉(zhuǎn)軸與質(zhì)心的連線時(shí)，在轉(zhuǎn)軸處不引起碰撞沖量。根據(jù)上述結(jié)論，設(shè)計(jì)材料撞擊試驗(yàn)機(jī)的擺錘時(shí)，必須把撞擊試件的刃口設(shè)在擺錘的撞擊中心，這樣可以使軸承避免承受撞擊載荷。同樣，用球棒擊壘球時(shí)，如果擊球點(diǎn)選的合適，手不會(huì)感到震動(dòng)，則此擊球點(diǎn)就是球棒的撞擊中心。均質(zhì)桿質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l，其上端由圓柱鉸鏈固定，如圖12-8所示。桿由水平位置無初速地落下，在鉛垂位置撞在一固定物塊上。設(shè)恢復(fù)因數(shù)為k，求：（1）軸承的碰撞沖量；（2）撞擊中心的位置。取桿為研究對(duì)象，其碰撞前后的角速度分別為