2022屆上海市實驗學校高三下學期4月月考數(shù)學試題解析版

2022屆上海市實驗學校高三下學期4月月考數(shù)學試題一、單選題1．下列命題正確的個數(shù)是（

）①；②若，，則；③使不等式成立的一個充分不必要條件是或；④若、、是全不為的實數(shù)，則“”是“不等式和解集相同”的充分不必要條件.A． B． C． D．【答案】A【分析】取、均為負數(shù)可判斷①的正誤；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷②的正誤；利用分式不等式的解法與充分條件、必要條件的定義可判斷③的正誤；利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷④的正誤.由此可得出合適的選項.【詳解】對于①，若、均為負數(shù)，則，①錯；對于②，若，，則，則，即，②對；對于③，由可得或，因為或或，故③錯；對于④，因為、、是全不為的實數(shù)，若，不妨設(shè)，則不等式和解集不相同，若不等式和解集相同，不妨取，，，，，，則不等式和不等式的解集均為，但不成立，所以，“”是“不等式和解集相同”的既不充分也不必要條件，④錯.故選：A.2．新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法：第一步A送錯有4種可能，然后第二步是關(guān)鍵，考慮A送錯的地方對應(yīng)的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯位置分兩類，一類是送到甲，一類是送其他三個地方，再對剩下的3個快遞分別考慮即可完成．【詳解】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯有4種方法，第二步考慮所送位置對應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯有2種可能（丁戊乙，戊乙?。诙愃偷揭叶∥熘械囊粋€地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【點睛】本題考查古典概型，快遞送錯位置與信裝錯信封（信封上已寫地址）是同一回事，屬于典型的計數(shù)問題，注意其求解方法，分類還是分步要確定好．3．如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球與相切與點，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得焦距.【詳解】設(shè)球與相切與點，作出軸截面如下圖所示，由題意知：，，，，又，，，又，，橢圓的焦距為.故選：C.4．已知實數(shù)，，滿足：對任意都成立，則（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式及進行分析.【詳解】因為，，，所以，當恒成立時，，則，，所以，，故選：D.【點睛】本題考查基本不等式、絕對值不等式的應(yīng)用，難度一般，合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.二、填空題5．已知，，則___________.【答案】【分析】由方程組可求得交點坐標，由此可得交集.【詳解】由得：，.故答案為：.6．拋物線的準線方程是___________________.【答案】【分析】將化成拋物線的標準方程，利用拋物線的性質(zhì)求解即可．【詳解】由得：，所以，即：所以拋物線的準線方程為：．【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．已知樣本的平均數(shù)和方差分別是1和4，若的平均數(shù)和方差也是1和4，則__________.【答案】1【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的線性變換先去計算的值，然后計算的值.【詳解】因為的平均數(shù)為，所以的平均數(shù)為；因為的方差為，所以的方差為；所以，解得：或，所以.【點睛】本題考查平均數(shù)與方差的線性變換，難度一般.已知的平均數(shù)與方差為：，那么的平均數(shù)與方差為：.8．已知復數(shù)滿足，若，則的值為___________.【答案】2或【分析】先由求出，再由列方程可求出的值【詳解】由，得，因為，所以，解得或，故答案為：2或9．某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是，第三年比第二年的增長率是，而這兩年的平均增長率為，在為定值的情況下，的最大值為___________（用?表示）【答案】【分析】根據(jù)題意列出，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)第一年的產(chǎn)值為，則第二年的產(chǎn)值為，第三年的產(chǎn)值為，又這兩年的平均增長率為，所以，因為為定值，所以，當且僅當時，等號成立，所以，所以，所以的最大值為.故答案為：10．設(shè)?為兩個隨機事件，給出以下命題：（1）若?為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則?為相互獨立事件；（3）若，，，則?為相互獨立事件；（4）若，，，則?為相互獨立事件；（5）若，，，則?為相互獨立事件；其中正確命題的個數(shù)為___________.【答案】3【分析】根據(jù)互斥事件的加法公式，易判斷（1）的正誤；根據(jù)相互對立事件的概率和為1，結(jié)合相互獨立事件的概率滿足，可判斷（2）、（3）、（4）、（5）的正誤.【詳解】若為互斥事件，且，，則，故（1）錯誤；若，則由相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（2）正確；若，則，由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（3）正確；若，當為相互獨立事件時，，故（4）錯誤；若，則由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（5）正確.故正確命題的個數(shù)為3.故答案為：3.11．若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過點，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及所過的點求出，再根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得，又其圖象過點，所以，所以，則，則，解得或，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，又因函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.12．在中，內(nèi)角成等差數(shù)列，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，再由正余弦定理可知，即可求目標式的值.【詳解】由內(nèi)角成等差數(shù)列，知：，而，∴，而由余弦定理知：，由正弦定理邊角關(guān)系，得：.故答案為：.13．有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，圓錐的母線長是底面半徑的2倍，若圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的6倍，則圓柱的高是底面半徑的__________倍．【答案】【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，圓柱的外接球的半徑為，則.母線長，∴圓錐的高為，∴圓錐的側(cè)面積為，∴，∴，整理得，∴.答案：點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是幾何體的內(nèi)切球，一種是幾何體的外接球．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．14．已知二次函數(shù)，當時，其拋物線在軸上截得的線段長依次為，則的值是___________.【答案】1【分析】當時，，設(shè)二次函數(shù)圖象與軸交于，則結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而，進而可求得答案【詳解】當時，，設(shè)二次函數(shù)圖象與軸交于，則，所以，所以，所以，所以，故答案為：115．如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個點，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】連接，，設(shè)是線段的中點，連接，則有.設(shè)為和的夾角.求出,利用二次函數(shù)即得解.【詳解】解：連接，，設(shè)是線段的中點，連接，則有.設(shè)為和的夾角.則，，（當即時取等）因為，所以當時，有最小值.，（當即時取等）當時，有最大值為3，即有最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用向量的運算建立函數(shù)模型，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.16．已知，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得時，都有，則的最大值為___________.【答案】【分析】二次函數(shù)配方得到的含有參數(shù)的最大值，研究二次函數(shù)最值與5的大小關(guān)系，分類討論，求出的最大值.【詳解】，當，即時，要使在上恒成立，要使取得最大值，則只能是的較小的根，即；當，即時，要使取得最大值，則只能是的較大的根，即當時，，當時，，所以的最大值為.故答案為：【點睛】對于含有參數(shù)的二次函數(shù)綜合性質(zhì)問題，通常要進行分類討論，數(shù)形結(jié)合來進行求解.三、解答題17．如圖①，在棱長為的正方體，設(shè)是的中點.(1)過點、且與平面平行的平面與此正方體的面相交，交線圍成一個三角形，在圖②中畫出這個三角形（說明畫法和理由）；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)作圖見解析，證明見解析(2)【分析】（1）取線段的中點，連接、、，則平面即為所求作的平面，然后利用面面平行的判定定理證明出平面平面；（2）利用錐體體積公式可求得四棱錐的體積.【詳解】(1)解：取線段的中點，連接、、，則平面即為所求作的平面，連接，下面證明平面平面：因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因為且，故且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，故平面，同理可證平面，所以，平面平面，即平面平面.(2)解：因為且，則四邊形為平行四邊形，則，，故.18．已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出，將用表示，然后再把分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案；（2）利用反證法證明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）與互為相反數(shù)，不合題意；若不為0，由，解得，代入中，求出二次函數(shù)的對稱軸，假設(shè)對稱軸小于或大于2，即可得到對稱軸在區(qū)間的左外側(cè)或右外側(cè)，得到為單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的最值在，取到，把2和代入得到最值互為相反數(shù)，不合題意，所以假設(shè)錯誤，綜上，得證；【詳解】(1)解：因為，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；(2)解：若，則，，當時，則無解，所以；若時，由，得，對稱軸為，假設(shè)，，，區(qū)間，在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以在，上是單調(diào)函數(shù)，則的最值必在，處取到，，，，所以假設(shè)錯誤，則，綜上，得到.19．如圖，在矩形中，點為的中點，分別為線段上的點，且．（1）若的周長為，求的解析式及的取值范圍；（2）求的最值．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)根據(jù)給定條件解直角三角形可得EF，EG，再借助勾股定理求出FG即可得，由點F與G的位置探求的最大、最小值得解；(2)利用(1)的結(jié)論，令結(jié)合同角公式變形成關(guān)于t的分式函數(shù)，再借助單調(diào)性求解即得.【詳解】(1)在中，則，又，即有，同理有，顯然為銳角，因此，，因為分別為線段上的點，當與點重合時，最大，此時，而為銳角，則，當點與重合時，最大，此時最小，同理可得最大值為，則，于是得的取值范圍為，所以；(2)由(1)知，令，則，因，則，，于是得，又，則，因在上單調(diào)遞減，當，即時，，當，即或時，，所以.【點睛】思路點睛：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中，使用平方關(guān)系時注意方程思想的應(yīng)用，對于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二．20．已知動點P到定點的距離比P點到直線的距離小2，設(shè)動點P的軌跡為曲線C.過定點的直線與曲線C交于A?B兩點.(1)求曲線C的方程；(2)若點E的坐標為，求證：；(3)是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓截直線：所得弦長為定值？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出曲線的方程．（2）當直線與軸垂直時，根據(jù)拋物線性質(zhì)得，當直線與軸不垂直時，依題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線，消元、列出韋達定理，設(shè)直線，的斜率分別為，，則，即可證明．（3）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，的中點為，直線與為直徑的圓交于，，的中點為，則，即可得到點的坐標，由此利用弦長公式能求出，從而當時，滿足條件的實數(shù)，當時，滿足條件的實數(shù)不存在．【詳解】(1)解：依題意動點到定點的距離等于動點到直線的距離，由拋物線的定義可知，動點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線C的方程為；(2)證明：當直線與軸垂直時，根據(jù)拋物線性質(zhì)得，當直線與軸不垂直時，依題意設(shè)直線的方程為，，，，則，兩點坐標滿足方程組，消去整理得：，，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則，，，，，，綜上．(3)解：假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，的中點為，直線與為直徑的圓相交于點，，的中點為，則，點坐標為，，，，，，與的取值無關(guān)，，解得，此時，，當，即時，，（定值），當時，滿足條件的實數(shù)，當時，滿足條件的實數(shù)不存在．21．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(2)求使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值；(3)當時，求證：.【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，證明等于一個定值，即可得證，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)