第39講、復(fù)數(shù)（教師版）

第39講復(fù)數(shù)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．3、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．（2）輻角的主值任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．必考題型全歸納題型一：復(fù)數(shù)的概念例1．（2024·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于,的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，故，故選：A例2．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋运缘奶摬繛?故選：A.例3．（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．2或 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C例4．（多選題）（2024·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B．z的實(shí)部與虛部之差為3C． D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】ACD【解析】∵，∴z的實(shí)部與虛部分別為4，，，A正確；z的實(shí)部與虛部之差為5，B錯(cuò)誤；，C正確；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，D正確．故選：ACD．例5．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）若是純虛數(shù)，，則的實(shí)部為_(kāi)_____.【答案】1【解析】是純虛數(shù)，且，則有，故，實(shí)部為1.故答案為：1.【解題方法總結(jié)】無(wú)論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠郑栽诮鉀Q復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算例6．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】依題意，，則，所以.故選：A例7．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，故.故選：B.例8．（2024·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．故選：A.例9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：由得，所以，故選．解法二：由得，所以，即，故選：．【解題方法總結(jié)】設(shè)，則（1）（2）（3）題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義例10．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由題得，即復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A．例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以．故選：B．例12．（2024·湖北·校聯(lián)考三模）如圖，正方形OABC中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：,不妨設(shè)C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則,由，得，即C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，由得：B點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A．例13．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】由題意，知，，所以，所以．故選：C.【解題方法總結(jié)】復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)例14．（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A．9 B．1 C． D．【答案】B【解析】已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則，即，即，解得，故.故選：．例15．（2024·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由已知可得，，，所以，所以有，解得或.故選：C.例16．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，且，其中a是實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，解?故選:B.例17．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】設(shè)，則，則，即，所以，解得，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.例18．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則由得：，即，故，解得：.故選：B.【解題方法總結(jié)】復(fù)數(shù)相等：共軛復(fù)數(shù)：．題型五：復(fù)數(shù)的模例19．（2024·河南·統(tǒng)考二模）若，則_______．【答案】【解析】由可得，故，則，故答案為：例20．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則__________．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，故，；當(dāng)時(shí)，，故，故答案為：-8例21．（2024·遼寧鐵嶺·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，則=__________.【答案】【解析】方法一：設(shè)，，，，又，所以，，.故答案為：.方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,由已知,∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，∴.【解題方法總結(jié)】題型六：復(fù)數(shù)的三角形式例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)出以下公式（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式，下面四個(gè)結(jié)果中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由，，所以,得出，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由C的分析得，推不出，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D．例23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，通常稱(chēng)之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱(chēng)這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i【答案】B【解析】，；故選：B．例24．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由歐拉公式知：，，，的虛部為．故選：B例25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由棣莫弗公式知，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C．【解題方法總結(jié)】一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題例26．（2024·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則的最大值與最小值的和為_(kāi)__________.【答案】【解析】由幾何意義可得：復(fù)數(shù)表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.故答案為：例27．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，為虛數(shù)單位，則的最大值為_(kāi)___________.【答案】6【解析】令且，則，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，而，即點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最大值，所以的最大值為.故答案為：例28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，.故選：C例29