第82講、圓錐曲線題型拓展二（學生版）

第82講圓錐曲線題型拓展（二）知識梳理一、仿射變換問題仿射變換有如下性質(zhì)：1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；3、其它不變關系．我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應關系：（1）點變?yōu)?；?）直線斜率變?yōu)?，對應直線的斜率比不變；（3）圖形面積變?yōu)?，對應圖形面積比不變；（4）點、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；（5）弦長關系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標縱坐標斜率面積弦長不變量平行關系；共線線段比例關系；點分線段的比二、非對稱韋達問題在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數(shù)關系：，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理之類的結(jié)構，但在有些問題時，我們會遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應算，比如求或之類的結(jié)構，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應用韋達定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構，稱為“非對稱韋達”．三、光學性質(zhì)問題1、橢圓的光學性質(zhì)從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如圖1）．【引理1】若點在直線的同側(cè)，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．【引理2】若點在直線的兩側(cè)，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．【引理3】設橢圓方程為，分別是其左、右焦點，若點在橢圓外，則．2、雙曲線的光學性質(zhì)從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點（如圖）．【引理4】若點在直線的同側(cè)，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．【引理5】若點在直線的兩側(cè)，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．【引理6】設雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．3、拋物線的光學性質(zhì)從拋物線的焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點．【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點，入射光線從點發(fā)出射到拋物線上的點，求證：反射光線平行于軸．四、三點共線問題證明三點共線問題常用方法是斜率法和向量法必考題型全歸納題型一：仿射變換問題例1．（2024·全國·模擬預測）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，其體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系．最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與相交于、兩點且，過橢圓外一點作橢圓的兩條切線、且，切點分別為、．(1)求證：點的軌跡方程為；(2)若原點到、的距離分別為、，延長表示距離、的兩條直線，與橢圓交于、兩點，試求：原點在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．例2．（2024·河北邯鄲·高二?？计谀┓律渥儞Q是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關系，具體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與相交于兩點且，過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，且，切點分別為．(1)求證：點的軌跡方程為；(2)若原點到，的距離分別為，，延長表示距離，的兩條直線，與橢圓交于兩點，過作交于，試求：點所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．例3．（2024·全國·高三專題練習）MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標軸的弦，P是MN的中點，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點，Q是橢圓上不與A，B重合的點，則_________．CD是該橢圓過原點O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．變式1．（2024·全國·高三專題練習）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．變式2．（2024·全國·高三專題練習）Р是橢圓上任意一點，O為坐標原點，，過點Q的直線交橢圓于A，B兩點，并且，則面積為______________．變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l與橢圓交于M，N兩點，當______，面積最大，并且最大值為______.記，當面積最大時，_____﹐_______.Р是橢圓上一點，，當面積最大時，______.變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實數(shù)），求______________.題型二：非對稱韋達問題例4．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，直線與交于點M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．例5．（2024·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知點A，B分別為橢圓的左、右頂點，，為橢圓的左、右焦點，，P為橢圓上異于A，B的一個動點，的周長為12．(1)求橢圓E的方程；(2)已知點，直線PM與橢圓另外一個公共點為Q，直線AP與BQ交于點N，求證：當點P變化時，點N恒在一條定直線上．例6．（2024·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的左?右焦點分別為，，離心率，為上一動點，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)若過且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，，分別為橢圓的左?右頂點，直線，分別與直線：交于，兩點，證明：四邊形為菱形.變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．變式6．（2024·吉林四平·高二?？茧A段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的長軸長為4，且經(jīng)過點，其中為橢圓的離心率．(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓的左、右頂點分別為，直線過的右焦點，且交于兩點，若直線與交于點，求證：點在定直線上．變式8．（2024·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎獧E圓：的離心率為，是上一點.(1)求的方程.(2)設，分別為橢圓的左、右頂點，過點作斜率不為0的直線，與交于，兩點，直線與直線交于點，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點在定直線上.變式9．（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點分別是，點P是橢圓C上任一點，若面積的最大值為，且離心率．(1)求C的方程；(2)A，B為C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，證明：直線與的交點在一條定直線上．變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學?？计谥校┮阎獧E圓：的左?右頂點分別為，，離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由.題型三：橢圓的光學性質(zhì)例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學性質(zhì)，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點現(xiàn)橢圓C的焦點在x軸上，中心在坐標原點，從左焦點射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．(1)求橢圓C的方程；(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．例8．（2024·全國·高三專題練習）橢圓的光學性質(zhì)，從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．M是C上的動點，點，若的最大值為6.動直線l為此橢圓C的切線，右焦點關于直線l的對稱點，，則橢圓C的離心率為；S的取值范圍為．例9．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與交于點、，直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質(zhì)知，、、三點共線.若，，則.變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為．變式12．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）歐幾里得生活的時期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學性質(zhì)：由橢圓一焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點現(xiàn)有一橢圓，長軸長為，從一個焦點發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為該橢圓的左頂點，若斜率為且不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，且滿足．①證明：直線過定點；②若，求的值．變式13．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓C：上、下頂點分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點．(1)求橢圓C的方程．(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號．在“天眼”的建設中，用到了大量的圓錐曲線的光學性質(zhì)，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光線必經(jīng)過另一焦點．（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切線）變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與交于點，.直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質(zhì)知，三點共線.若，，則（

）A． B． C． D．變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）橢圓有一條光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個焦點．假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發(fā)，到首次回到該焦點所經(jīng)過的路程可能為（

）A．2 B．8 C．10 D．12變式16．（2024·全國·高三專題練習）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡?系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點為，，若由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.對于橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為，在上的射影為，其中.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點（點在軸上方）.點，是橢圓上異于，的兩點，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.變式17．（2024·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點．現(xiàn)有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個焦點發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢圓內(nèi)壁上一點反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為坐標原點，A為橢圓的左頂點，若斜率為且不經(jīng)過點A的直線與橢圓交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.變式18．（2024·四川成都·川大附中?？级＃E圓的光學性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.現(xiàn)有一橢圓，長軸長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且.(1)求橢圓C的標準方程；(2)點Q為直線上一點，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設，的面積分別為，，求的最大值.變式19．（2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）班級物理社團在做光學實驗時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（

）

A． B． C． D．題型四：雙曲線的光學性質(zhì)例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習）圓錐曲線都具有光學性質(zhì)，如雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，F(xiàn)是它的一個焦點，一光線從焦點F發(fā)出，射到鏡面上點B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于．例11．（2024·全國·高二專題練習）雙曲線的光學性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當時，求雙曲線的標準方程；(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.例12．（2024·山東煙臺·?？寄M預測）圓錐曲線的光學性質(zhì)被人們廣泛地應用于各種設計中，例如從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點．如圖，從雙曲線的右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點），則雙曲線的漸近線方程為．變式20．（2024·江蘇南京·高二?？计谀﹫A錐曲線具有光學性質(zhì)，如雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個焦點，一光線從焦點發(fā)出，射到鏡面上點，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（

）

A． B． C． D．變式21．（多選題）（2024·高二單元測試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當時，C．當過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點坐標為，直線與相切，則變式22．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線具有光學性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（

）A．的漸近線方程為 B．C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.已知為坐標原點，，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且在第一象限，，的內(nèi)心分別為，，其內(nèi)切圓半徑分別為，，的內(nèi)心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（

）A．點、均在直線上 B．直線的方程為C． D．變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學?？既＃┮阎p曲線C的左?右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線C的方程為B．若，則C．若射線n所在直線的斜率為k，則D．當n過點M（8，5）時，光由所經(jīng)過的路程為10變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當時，C．當過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為5D．若點坐標為，直線與相切，則變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，可以推導出雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點處的切線l交x軸于點Q，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的方程為C．過點作，垂足為K，則 D．點Q的坐標為題型五：拋物線的光學性質(zhì)例13．（2024·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學考試）拋物線的光學性質(zhì)：經(jīng)焦點的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點處反射等效于在這點處切線的反射），過拋物線上一點作其切線交準線于點，，垂足為，拋物線的焦點為，射線交于點，若．則，．

例14．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學考試）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則．例15．（2024·全國·高二專題練習）根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經(jīng)A點反射后交拋物線于B點，則.變式28．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預測）拋物線有一條重要的光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線：，一條光線從點沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點，經(jīng)點反射后與交于另一點，則的面積為.變式29．（2024·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學?？计谥校佄锞€有光學性質(zhì)，即由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線（），一光源在點處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，反射后又射向拋物線上的點Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：上的點N，再反射后又射回點M，設P，Q兩點的坐標分別是，．(1)證明：；(2)求拋物線方程．變式30．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預測）拋物線有一條重要的光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點M，經(jīng)點M反射后與C交于另一點N．若，則的面積為（

）A． B． C． D．變式31．（2024·湖南長沙·高三長郡中學校聯(lián)考階段練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16變式32．（2024·全國·高二專題練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．變式33．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預測）用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（

）

A．6 B．8 C． D．29變式34．（多選題）（2024·遼寧沈陽·東北育才學校?？家荒＃┤鐖D，拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點反射，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．與之間的距離為5變式35．（多選題）（2024·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）拋物線有如下光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（

）

A．若的方程為，則B．若的方程為，且，則C．分別延長交于點，則點在的準線上D．拋物線在點處的切線分別與直線，所成角相等變式36．（多選題）（2024·湖南長沙·長沙一中?？寄M預測）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．點關于x軸的對稱點在直線上C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線D．直線與間的距離最小值為4變式37．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動點，焦點，，下列說法正確的是（

）

A．的方程為 B．的方程為C．的最小值為 D．的最小值為題型六：三點共