第82講、圓錐曲線題型拓展二（學(xué)生版）

第82講圓錐曲線題型拓展（二）知識(shí)梳理一、仿射變換問(wèn)題仿射變換有如下性質(zhì)：1、同素性：在經(jīng)過(guò)變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；2、結(jié)合性：在經(jīng)過(guò)變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；3、其它不變關(guān)系．我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．橢圓，經(jīng)過(guò)仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過(guò)程有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）點(diǎn)變?yōu)椋唬?）直線斜率變?yōu)?，?duì)應(yīng)直線的斜率比不變；（3）圖形面積變?yōu)?，?duì)應(yīng)圖形面積比不變；（4）點(diǎn)、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）；（5）弦長(zhǎng)關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比不變總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)斜率面積弦長(zhǎng)不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比二、非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)處理了．特別是在圓錐曲線問(wèn)題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子是非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”．三、光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）．【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線和直線的交點(diǎn)．【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓外，則．2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．【引理4】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．【引理5】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線和直線的交點(diǎn)．【引理6】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過(guò)焦點(diǎn)．【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點(diǎn)，是過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)，求證：反射光線平行于軸．四、三點(diǎn)共線問(wèn)題證明三點(diǎn)共線問(wèn)題常用方法是斜率法和向量法必考題型全歸納題型一：仿射變換問(wèn)題例1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問(wèn)題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過(guò)計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系．最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于、兩點(diǎn)且，過(guò)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線、且，切點(diǎn)分別為、．(1)求證：點(diǎn)的軌跡方程為；(2)若原點(diǎn)到、的距離分別為、，延長(zhǎng)表示距離、的兩條直線，與橢圓交于、兩點(diǎn)，試求：原點(diǎn)在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù)．例2．（2024·河北邯鄲·高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問(wèn)題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過(guò)計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)且，過(guò)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，且，切點(diǎn)分別為．(1)求證：點(diǎn)的軌跡方程為；(2)若原點(diǎn)到，的距離分別為，，延長(zhǎng)表示距離，的兩條直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)作交于，試求：點(diǎn)所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù)．例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）MN是橢圓上一條不過(guò)原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點(diǎn)，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點(diǎn)，Q是橢圓上不與A，B重合的點(diǎn)，則_________．CD是該橢圓過(guò)原點(diǎn)O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）Р是橢圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，并且，則面積為______________．變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)______，面積最大，并且最大值為______.記，當(dāng)面積最大時(shí)，_____﹐_______.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，______.變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實(shí)數(shù)），求______________.題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長(zhǎng)是，直線與交于點(diǎn)M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．例5．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，P為橢圓上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為12．(1)求橢圓E的方程；(2)已知點(diǎn)，直線PM與橢圓另外一個(gè)公共點(diǎn)為Q，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，求證：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)N恒在一條定直線上．例6．（2024·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率，為上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)若過(guò)且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線，分別與直線：交于，兩點(diǎn)，證明：四邊形為菱形.變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．變式6．（2024·吉林四平·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)上的點(diǎn)滿足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，記直線、交于點(diǎn)．探究：點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中為橢圓的離心率．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線過(guò)的右焦點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．變式8．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中?？计谀┮阎獧E圓：的離心率為，是上一點(diǎn).(1)求的方程.(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上.變式9．（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若面積的最大值為，且離心率．(1)求C的方程；(2)A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上．變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學(xué)校考期中）已知橢圓：的左?右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射到右焦點(diǎn)，這束光線的總長(zhǎng)度為4，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B．(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段的長(zhǎng)度的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：，為其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6.動(dòng)直線l為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為；S的取值范圍為．例9．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與交于點(diǎn)、，直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線.若，，則.變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為．變式12．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)現(xiàn)有一橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，且滿足．①證明：直線過(guò)定點(diǎn)；②若，求的值．變式13．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：上、下頂點(diǎn)分別為，且短軸長(zhǎng)為，T為橢圓上（除外）任意一點(diǎn)，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程．(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號(hào)．在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光線必經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)．（提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線）變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與交于點(diǎn)，.直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，三點(diǎn)共線.若，，則（

）A． B． C． D．變式15．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，一定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過(guò)程中不會(huì)衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程可能為（

）A．2 B．8 C．10 D．12變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡?系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，若由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過(guò)的路程為.對(duì)于橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線為，在上的射影為，其中.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過(guò)作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）.點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.變式17．（2024·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過(guò)該橢圓的另一焦點(diǎn)．現(xiàn)有橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.變式18．（2024·四川成都·川大附中校考二模）橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)Q為直線上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.變式19．（2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問(wèn)題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)Q，則（

）

A． B． C． D．題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于．例11．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.例12．（2024·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，從雙曲線的右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為．變式20．（2024·江蘇南京·高二校考期末）圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（

）

A． B． C． D．變式21．（多選題）（2024·高二單元測(cè)試）我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為13D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右支上一點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（

）A．的漸近線方程為 B．C．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且在第一象限，，的內(nèi)心分別為，，其內(nèi)切圓半徑分別為，，的內(nèi)心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．點(diǎn)、均在直線上 B．直線的方程為C． D．變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學(xué)?？既＃┮阎p曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線C的方程為B．若，則C．若射線n所在直線的斜率為k，則D．當(dāng)n過(guò)點(diǎn)M（8，5）時(shí)，光由所經(jīng)過(guò)的路程為10變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為5D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過(guò)點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)處的切線l交x軸于點(diǎn)Q，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．雙曲線C的方程為C．過(guò)點(diǎn)作，垂足為K，則 D．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)例13．（2024·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過(guò)拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則，．

例14．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則．例15．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則.變式28．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線：，一條光線從點(diǎn)沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后與交于另一點(diǎn)，則的面積為.變式29．（2024·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校佄锞€有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線（），一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：上的點(diǎn)N，再反射后又射回點(diǎn)M，設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，．(1)證明：；(2)求拋物線方程．變式30．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點(diǎn)沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)M，經(jīng)點(diǎn)M反射后與C交于另一點(diǎn)N．若，則的面積為（

）A． B． C． D．變式31．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16變式32．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．變式33．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）用于加熱水和食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點(diǎn)．用一過(guò)拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再?gòu)纳系牧硪稽c(diǎn)射出，則（

）

A．6 B．8 C． D．29變式34．（多選題）（2024·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點(diǎn)反射，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．與之間的距離為5變式35．（多選題）（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過(guò)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）

A．若的方程為，則B．若的方程為，且，則C．分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)在的準(zhǔn)線上D．拋物線在點(diǎn)處的切線分別與直線，所成角相等變式36．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上C．直線與直線相交于點(diǎn)D，則A，O，D三點(diǎn)共線D．直線與間的距離最小值為4變式37．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問(wèn)題，已知拋物線，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)，，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．的方程為 B．的方程為C．的最小值為 D．的最小值為題型六：三點(diǎn)共