第九章 概率與統(tǒng)計-9.1 隨機(jī)抽樣與用樣本估計總體

第九章

概率與統(tǒng)計9.1

隨機(jī)抽樣與用樣本估計總體課程標(biāo)準(zhǔn)必備知識自主評價核心考點課外閱讀課時作業(yè)

1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

2.了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.

3.通過實例，了解簡單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系.

4.通過實例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差.

5.在簡單的實際情境中，能根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.

6.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.

7.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.

8.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.

9.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.

10.結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.【教材梳理】

1.簡單隨機(jī)抽樣

（1）特點：逐個抽取，且每個個體被抽取的概率______.

（2）常用方法：________和__________.

（3）適用范圍：個體性質(zhì)相似，無明顯層次，且個體數(shù)量較少，尤其是樣本容量較少.相等抽簽法隨機(jī)數(shù)法

2.分層隨機(jī)抽樣

（1）定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行______________，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為______________，每一個子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為__________.

（2）適用范圍：總體可以分層，且層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體差異較小.

（3）平均數(shù)的計算：各層抽樣比乘____________的和.簡單隨機(jī)抽樣分層隨機(jī)抽樣比例分配各層平均數(shù)

求極差決定組距與組數(shù)列頻率分布表面積面積的總和小于或等于

平均數(shù)四等份四分位數(shù)第一四分位數(shù)上四分位數(shù)

最多平均值

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

越大越小【常用結(jié)論】

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）簡單隨機(jī)抽樣每個個體被抽到的機(jī)會不一樣，與先后有關(guān).

(

)

×（2）在分層隨機(jī)抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).

(

)

×

×（4）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.

(

)

×（5）在頻率分布直方圖中,最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù).

(

)

√

√√√

3.（教材題改編）某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)開___分.95

4.（教材題改編）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_____.14.5

考點一

隨機(jī)抽樣例1

【多選題】某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確的是

(

)

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能是按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣C.這次抽樣中，每個男生被抽到的概率一定小于每個女生被抽到的概率D.這次抽樣中，每個男生被抽到的概率不可能等于每個女生被抽到的概率√√

變式1

為響應(yīng)“強(qiáng)身健體，智慧學(xué)習(xí)”倡議，復(fù)興中學(xué)開展了一次學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測活動.已知高三（2）班有50名學(xué)生，其中男生28人，女生22人，按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為25的樣本.（1）女生應(yīng)抽取____人；11

54.5考點二

用樣本估計總體命題角度1

總體取值規(guī)律的估計

√√√

【點撥】①在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形的面積之和為1.②頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，并不是頻率，不要和條形圖混淆.

7

（2）（2021年全國甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如右頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(

)

√

命題角度2

總體百分位數(shù)的估計例3（1）

“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量/本5678910頻數(shù)/人58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是

(

)

A.8

B.8.5

C.9

D.10

√（2）某大型聯(lián)考有16

000名學(xué)生參加，已知所有學(xué)生成績的第60百分位數(shù)是515分，則成績不低于515分的人數(shù)至少有

(

)

A.6

000人

B.6

240人

C.6

300人

D.6

400人

√

變式3（1）

某學(xué)習(xí)小組共有20人，在一次數(shù)學(xué)測試中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，則這個學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是_____.92.5

A.12

B.11

C.10

D.9

√命題角度3

總體集中趨勢的估計例4

【多選題】某校舉辦了迎新年知識競賽，隨機(jī)選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是

(

)

A.中位數(shù)為70

B.眾數(shù)為75C.平均數(shù)為68.5

D.平均數(shù)為70√√√

√

命題角度4

總體離散程度的估計

6050406070807030509040605080805060208070（1）分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；

（3）果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果,分析選種哪個品種更合適?并說明理由.

12345678910545533551522575544541568596548536527543530560533522550576536

課外閱讀·社會民生中的數(shù)據(jù)分析

生活生產(chǎn)中處處有數(shù)學(xué)，高考強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)注社會民生，統(tǒng)計中體現(xiàn)得更為明顯.統(tǒng)計圖表中除了莖葉圖、散點圖、頻率分布直方圖、折線圖外，扇形統(tǒng)計圖、雷達(dá)圖、等高條形圖、柱形圖等也是近年高考熱點.難度不高，多與實際生活結(jié)合緊密，考查考生閱讀理解能力及數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，考查應(yīng)用意識.一般只要仔細(xì)讀題、分析，即可解決.

A.從2018年開始，2021年的進(jìn)出口總額增長率最大B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大D.從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長率最小√解：顯然2021年相對于2020年進(jìn)出口總額增加特別明顯，故2021年的增長率最大，A正確.統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故B正確.2020年相對于2019的進(jìn)口總額減少，故C錯誤.2021年的進(jìn)出口總額增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，且計算增長率時前者的分母更大，故2020年的增長率一定最小，D正確.故選C.2.【多選題】人均消費(fèi)支出是社會需求的主體，是拉動經(jīng)濟(jì)增長的直接因素，是體現(xiàn)居民生活水平和質(zhì)量的重要指標(biāo).2022年一季度和2023年一季度我國居民人均消費(fèi)支出分別為6

393元和6

738元，圖1、圖2分別為2022年一季度

和2023年一季度居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成分布圖，則

(

)

√√

【鞏固強(qiáng)化】1.我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專項附加扣除的享受情況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為(

)

A.8

B.10

C.12

D.18

√

√

√√

√√

5.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點到次日凌晨1點）.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如下圖，則下列說法正確的是

(

)

√

6.有5人進(jìn)行定點投籃游戲，每人投籃12次.這5人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)為10，唯一眾數(shù)為11，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是

(

)

A.9

B.10

C.10.5

D.11

√

5

8.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖.

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

【綜合運(yùn)用】9.【多選題】2022年北京某高校畢業(yè)生中，有本科生2

971人，碩士生2

527人，博士生1

467人，畢業(yè)生總體充分實現(xiàn)就業(yè)，就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.如圖，下列說法正確的是

(

)

√√√

10.如圖所示的三個統(tǒng)計圖分別是隨機(jī)抽查甲、乙、丙三地的若干個家庭教育年投入（萬元），記A表示眾數(shù)，B表示中位數(shù)，C表示平均數(shù)，則根據(jù)圖表提供的信息，下面的結(jié)論正確的是(

)

√解：由甲地的條形圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為10萬元，眾數(shù)為10萬元，平均數(shù)為10.32萬元.由乙地的折線圖，可知家庭教育年投入的中位數(shù)為10萬元，眾數(shù)為10萬元，平均數(shù)為9.7萬元.由丙地的扇形圖，可知家庭教