2022-2023學(xué)年江西省鷹潭市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省鷹潭市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列說法正確的是（）A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺C.底面是矩形的四棱柱是長方體D.三棱臺有8個(gè)頂點(diǎn)〖答案〗B〖解析〗各個(gè)面都是三角形的幾何體如下圖所示：該幾何體不是三棱錐，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由圓臺的性質(zhì)可知，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故選項(xiàng)B正確；若四棱柱的底面是矩形，側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如圖，三棱臺有6個(gè)頂點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，且，所以，所以，所以，，所?故選：D.3.已知角，且角θ的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)，則x的值為（）A.±2 B.2 C.-2 D.-4〖答案〗B〖解析〗，所以.故選：B.4.北極閣位于鷹潭公園的東側(cè)，前門是大碼頭，舊時(shí)為鷹潭最繁華的街市．某同學(xué)為測量北極閣的高度MN，在北極閣的正北方向找到一座建筑物AB，高約為30m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，北極閣頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得北極閣頂部M的仰角為15°，北極閣的高度約為（）A.45m B.52m C.60m D.65m〖答案〗C〖解析〗由題意得：在中，，在中，，，，由正弦定理得，，得，故MN=60．故選：C.5.將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)的三角形式是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故選：A.6.關(guān)于，對于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲：是第三象限角，乙：.丙：，丁：不小于2，若這人只有一人判斷錯(cuò)誤，則此人是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗由，所以乙和丁的判斷只有一個(gè)正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時(shí)丙的判斷錯(cuò)誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時(shí)滿足，且，此時(shí)甲、丙都正確，符合題意.故選：D.7.一個(gè)球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個(gè)半徑為R的球體被平面所截獲得兩個(gè)球缺，其高之比為，則表面積（包括底面）之比=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，.故選：D.8.在銳角中，角的對邊分別為，且滿足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可知，①，又因?yàn)椋寓?，將②式代入①式可得，整理得，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，即可得，又有恒成立恒成立，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，解得，所以，故，設(shè)，則易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，故，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分9.已知復(fù)數(shù)滿足，，x，，，所對應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的共軛復(fù)數(shù)為B.當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)：由于，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故選項(xiàng)A正確，B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，若，則為為實(shí)數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：易知，，又，則，即，故選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)：由于，則，，，故，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.10.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為反射坐標(biāo)系．在反射坐標(biāo)系中，若，則把有序數(shù)對稱為向量的反射坐標(biāo)，記為．在的反射坐標(biāo)系中，，，其中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗A選項(xiàng)，由題意可知，故，故，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故不垂直，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.點(diǎn)是的一個(gè)對稱中心D.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對稱〖答案〗AC〖解析〗由圖可知，，所以，即，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，所以點(diǎn)是的一個(gè)對稱中心，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，顯然函數(shù)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在棱長為4的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），則下列說法中正確的是（）A.直線與直線AC夾角60°B.平面截正方體所得截面的面積為18C.若，則動點(diǎn)F的軌跡長度為πD.若平面，則動點(diǎn)F的軌跡長度為〖答案〗ABD〖解析〗對A，連接，可得正，根據(jù)正方體的性質(zhì)，，故直線與直線夾角為直線與直線的夾角為，故A正確；對B，因?yàn)槊婷?，平面面，根?jù)面面平行的性質(zhì)可得平面截的交線，故平面截的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，故截面為等腰梯形，在等腰梯形中，高，故截面的面積為，故B正確；對C，若，則，故動點(diǎn)的軌跡為以為圓心的四分之一圓弧，其長度為，故C錯(cuò)誤；對D，取中點(diǎn)，連接如圖，由B知截面為等腰梯形，由四邊形為平行四邊形得，又面面，所以面，由四邊形為平行四邊形得，面面，所以面，由平面，得平面平面，又平面，所以平面，故的軌跡為線段，其長度為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.復(fù)數(shù)，則__________.〖答案〗〖解析〗，，則.故〖答案〗為：.14.已知點(diǎn)，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．〖答案〗〖解析〗，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.15.若時(shí)，函數(shù)取得最小值，則____．〖答案〗〖解析〗（），時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，則，則，解之得.故〖答案〗：.16.三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，已知P到平面的距離為7，，.記與平面所成的角為，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，則為的中點(diǎn)，平面，過點(diǎn)作平面，為垂足，則，，作，垂足為，則四邊形為矩形，，得，，則，所以，故，所以，則，即，則，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位.（1）若是實(shí)數(shù)，求b的值；（2）在①點(diǎn)P在實(shí)軸上，②點(diǎn)P在虛軸上，③點(diǎn)P在一?三象限的角平分線上，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.問題：若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P，且___________，求實(shí)數(shù)m的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別求解，按第一個(gè)解答記分.解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.（2），，選①：因?yàn)镻在實(shí)軸上，所以，解得；選②：因?yàn)辄c(diǎn)P在虛軸上，所以，解得；選③：因?yàn)辄c(diǎn)P在一?三象限的角平分線上，所以，即，解得.18.設(shè)a為常數(shù)，函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期T；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，令，此函數(shù)的值域．解：（1）因?yàn)?，所以，令，解得，即函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為；令，解得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的周期為.（2）函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，即，由于，則，故，則，由于，故．19.在中，，，，D是線段BC上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為線段AB上一點(diǎn).（1）設(shè)，，.求；（2）若F為線段AB的中點(diǎn)，求的值.解：（1），，由平面向量基本定理可得且，所以.（2）因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，又，因?yàn)樵谥校?，，，可得，∴，綜上，，.20.如圖，是等腰直角三角形，，四邊形ABCM是直角梯形，，，且，平面ADM⊥平面ABCM．（1）求證：；（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐的體積為？解：（1）∵四邊形ABCM是直角梯形，，，，∴，，則，∴，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）由（1）可知平面，，設(shè)，則E到平面的距離為到平面的距離的倍，即E到平面的距離，∵是等腰直角三角形，，，∴，∴，即，∴，∴E為線段BD上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．21.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求b和的值．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即．又，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以．?）在中，由余弦定理及，，，得，故，所以，又，所以，，又，所以，所以．22.向量是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，我們可以利用向量探究的面積問題：（1）已知，，，求的面積；（2）已知不共線的兩個(gè)向量，，探究的面積表達(dá)式；（3）已知，若拋物線上兩點(diǎn)、滿足，求面積的最小值．解：（1）由平面向量的數(shù)量積可得，則為銳角，故，因此，.（2）.（3）由已知可得，，，故當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值.江西省鷹潭市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列說法正確的是（）A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺C.底面是矩形的四棱柱是長方體D.三棱臺有8個(gè)頂點(diǎn)〖答案〗B〖解析〗各個(gè)面都是三角形的幾何體如下圖所示：該幾何體不是三棱錐，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由圓臺的性質(zhì)可知，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故選項(xiàng)B正確；若四棱柱的底面是矩形，側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如圖，三棱臺有6個(gè)頂點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，且，所以，所以，所以，，所?故選：D.3.已知角，且角θ的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)，則x的值為（）A.±2 B.2 C.-2 D.-4〖答案〗B〖解析〗，所以.故選：B.4.北極閣位于鷹潭公園的東側(cè)，前門是大碼頭，舊時(shí)為鷹潭最繁華的街市．某同學(xué)為測量北極閣的高度MN，在北極閣的正北方向找到一座建筑物AB，高約為30m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，北極閣頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得北極閣頂部M的仰角為15°，北極閣的高度約為（）A.45m B.52m C.60m D.65m〖答案〗C〖解析〗由題意得：在中，，在中，，，，由正弦定理得，，得，故MN=60．故選：C.5.將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗復(fù)數(shù)的三角形式是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故選：A.6.關(guān)于，對于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲：是第三象限角，乙：.丙：，?。翰恍∮?，若這人只有一人判斷錯(cuò)誤，則此人是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗由，所以乙和丁的判斷只有一個(gè)正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時(shí)丙的判斷錯(cuò)誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時(shí)滿足，且，此時(shí)甲、丙都正確，符合題意.故選：D.7.一個(gè)球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個(gè)半徑為R的球體被平面所截獲得兩個(gè)球缺，其高之比為，則表面積（包括底面）之比=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，.故選：D.8.在銳角中，角的對邊分別為，且滿足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可知，①，又因?yàn)?，所以②，將②式代入①式可得，整理得，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，即可得，又有恒成立恒成立，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，解得，所以，故，設(shè)，則易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，故，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分9.已知復(fù)數(shù)滿足，，x，，，所對應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的共軛復(fù)數(shù)為B.當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)：由于，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故選項(xiàng)A正確，B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，若，則為為實(shí)數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：易知，，又，則，即，故選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)：由于，則，，，故，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.10.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為反射坐標(biāo)系．在反射坐標(biāo)系中，若，則把有序數(shù)對稱為向量的反射坐標(biāo)，記為．在的反射坐標(biāo)系中，，，其中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗A選項(xiàng)，由題意可知，故，故，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故不垂直，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.點(diǎn)是的一個(gè)對稱中心D.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對稱〖答案〗AC〖解析〗由圖可知，，所以，即，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，所以點(diǎn)是的一個(gè)對稱中心，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，顯然函數(shù)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在棱長為4的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），則下列說法中正確的是（）A.直線與直線AC夾角60°B.平面截正方體所得截面的面積為18C.若，則動點(diǎn)F的軌跡長度為πD.若平面，則動點(diǎn)F的軌跡長度為〖答案〗ABD〖解析〗對A，連接，可得正，根據(jù)正方體的性質(zhì)，，故直線與直線夾角為直線與直線的夾角為，故A正確；對B，因?yàn)槊婷?，平面面，根?jù)面面平行的性質(zhì)可得平面截的交線，故平面截的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，故截面為等腰梯形，在等腰梯形中，高，故截面的面積為，故B正確；對C，若，則，故動點(diǎn)的軌跡為以為圓心的四分之一圓弧，其長度為，故C錯(cuò)誤；對D，取中點(diǎn)，連接如圖，由B知截面為等腰梯形，由四邊形為平行四邊形得，又面面，所以面，由四邊形為平行四邊形得，面面，所以面，由平面，得平面平面，又平面，所以平面，故的軌跡為線段，其長度為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.復(fù)數(shù)，則__________.〖答案〗〖解析〗，，則.故〖答案〗為：.14.已知點(diǎn)，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．〖答案〗〖解析〗，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.15.若時(shí)，函數(shù)取得最小值，則____．〖答案〗〖解析〗（），時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，則，則，解之得.故〖答案〗：.16.三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，已知P到平面的距離為7，，.記與平面所成的角為，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，則為的中點(diǎn)，平面，過點(diǎn)作平面，為垂足，則，，作，垂足為，則四邊形為矩形，，得，，則，所以，故，所以，則，即，則，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位.（1）若是實(shí)數(shù)，求b的值；（2）在①點(diǎn)P在實(shí)軸上，②點(diǎn)P在虛軸上，③點(diǎn)P在一?三象限的角平分線上，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.問題：若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P，且___________，求實(shí)數(shù)m的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別求解，按第一個(gè)解答記分.解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.（2），，選①：因?yàn)镻在實(shí)軸上，所以，解得；選②：因?yàn)辄c(diǎn)P在虛軸上，所以，解得；選③：因?yàn)辄c(diǎn)P在一?三象限的角平分線上，所以，