2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它位于第二象限.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知圓臺(tái)的上?下底面的面積分別為和，其母線的長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓臺(tái)的上、下底面面積分別為和，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為6和7，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，如圖為圓臺(tái)的軸截面，分別為的中點(diǎn)，過作于，則，所以，圓臺(tái)的高，圓臺(tái)的體積．故選：A．4.要得到的圖象，只要將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗D〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D正確.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：.故選：C.6.已知直線平面，直線平面，給出下列四個(gè)命題：①；②；③；④其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€平面，直線平面，對(duì)于①，若，則，從而，故①對(duì)；對(duì)于②，若，則或，則與的位置關(guān)系不確定，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若，則，因?yàn)槠矫?，則，故③對(duì)；對(duì)于④，因?yàn)椋?，則或，則或、相交、重合，故④錯(cuò).故選：B.7.已知函數(shù)，且，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榍遥?，即，所以，即，所以，，則，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，結(jié)合各選項(xiàng)可知只有D正確.故選：D.8.在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，，所以為等腰直角三角形，則其外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且，所以三棱錐外接球的球心在經(jīng)過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，連接、、，則外接球的半徑，設(shè)（或其延長(zhǎng)線）與平面交于，連接，，則，，所以球心在平面的外部，設(shè)，則，，所以，解得，所以，則三棱錐外接球的表面積.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在復(fù)平面內(nèi)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（）A.的虛部為 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋缘奶摬繛?，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)是銳角三角形時(shí)，角的取值范圍為C.外接圓的半徑為2D.周長(zhǎng)的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗A中，因?yàn)?，由正弦定理可得，再由大邊?duì)大角可知正確；B中，因?yàn)槭卿J角三角形，則，解得，即，所以B正確；C中，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，則C不正確；D中，，，由余弦定理可得，即，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又在三角形中，，所以，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為，故D正確．故選：ABD．11.在菱形中，是的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)槭橇庑?，所以，，所以，所以A正確；對(duì)于D，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過作于，因?yàn)?，所以∥，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的四等分點(diǎn)，所以，所以D正確.故選：ABD.12.在正四棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則（）A.是等腰三角形B.三棱錐的體積為C.∥平面D.平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為3〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：，顯然互不相等，所以不是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：三棱錐的體積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，連接，可知：分別為的中點(diǎn)，則∥，且平面，平面，所以∥平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，，且∥，，可得∥，，可得為平行四邊形，則∥，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，，可得為平行四邊形，則∥，所以∥，同理可證：∥，所以平面截該長(zhǎng)方體所得截面為平行四邊形，在中，由選項(xiàng)A可知：，則，可得鈍角，且，所以截面面積為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖所示的圖象是的一部分，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，的周期為：，解得，根據(jù)正切函數(shù)的定義域可知，，即，結(jié)合可得，則，此時(shí)，又，于是.故〖答案〗為：.14.已知中，角的對(duì)邊分別為，，則角__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，即，可得，且，所以.故〖答案〗：.15.已知，且是第三象限的角，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，解得，又因?yàn)?，且是第三象限的角，則，所以.故〖答案〗為：.16.“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形?六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為__________，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，由題意可知，三角形為等邊三角形，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成角，因?yàn)槿切螢榈冗吶切?，所以，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為；設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意可得點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以，則，則直線AB與平面BCD所成角的正弦值為.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知向量.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．解：（1）由題意可得：，因?yàn)椋獾?，所以，?（2）令，解得，若與共線，則，解得，因?yàn)榕c的夾角為銳角，則，且與不共線，所以的取值范圍為.18.如圖，一條河的對(duì)岸有兩點(diǎn)，在這條河的一側(cè)有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，分別測(cè)得，已知在同一個(gè)水平面上，求的長(zhǎng)．解：在中，可得，，所以，在中，可得，，由正弦定理，所以，在中，由余弦定理可得：，所以.19.如圖所示多面體中，是等邊三角形，平面平面，平面平面．（1）求證：//平面；（2）若，求多面體的體積．解：（1）過在平面內(nèi)作，垂足為，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的判定，則平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，同理可推出平面，垂直于同一平面的兩條直線平行，故.由題意，，故是全等的等邊三角形，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)高，于是四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故//平面.（2）連接，則該幾何體的體積，由（1）知，為棱錐的高，易得，，故，連接交于，由（1）得，為中位線，故//，故，又，根據(jù)和相似可得，，故到平面的距離是到平面距離的一半，故，于是.20.在中，角的對(duì)邊分別為．（1）求證：；（2）若是上一點(diǎn)，平分，求．解：（1），，在中，由正弦定理得.（2）設(shè)，則，由（1）知，，所以，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，即，所以，由余弦定理知，化簡(jiǎn)整理得，，所以.21.如圖（1）所示，，，，如圖（2）所示，把沿折起，使平面平面，為的中點(diǎn)，連接，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以是二面角的平面角，又，，，所以，，所以，在直角中，，，，所以，即二面角的正弦值為?2.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求：①的最小正周期；②方程的所有根之和．解：（1）由題意，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，即的值域?yàn)?（2）①因?yàn)?，因?yàn)榍以趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以過點(diǎn)，即，，所以，，又，，解得，，又，所以，且，解得，綜上所述可得，所以函數(shù)的最小正周期為.②由①可得，由，解得或，由于，所以，令，即，令，則，當(dāng)時(shí)方程在上有兩個(gè)根，記作，，且兩根關(guān)于對(duì)稱，所以，設(shè)方程的兩根為，，則，所以，令，即，則當(dāng)時(shí)，方程在上有三個(gè)根，，，則，，，設(shè)方程的三根為，，，則，所以，所以的所有根之和為．遼寧省丹東市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它位于第二象限.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知圓臺(tái)的上?下底面的面積分別為和，其母線的長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓臺(tái)的上、下底面面積分別為和，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為6和7，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，如圖為圓臺(tái)的軸截面，分別為的中點(diǎn)，過作于，則，所以，圓臺(tái)的高，圓臺(tái)的體積．故選：A．4.要得到的圖象，只要將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗D〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D正確.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：.故選：C.6.已知直線平面，直線平面，給出下列四個(gè)命題：①；②；③；④其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€平面，直線平面，對(duì)于①，若，則，從而，故①對(duì)；對(duì)于②，若，則或，則與的位置關(guān)系不確定，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若，則，因?yàn)槠矫?，則，故③對(duì)；對(duì)于④，因?yàn)?，，則或，則或、相交、重合，故④錯(cuò).故選：B.7.已知函數(shù)，且，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榍?，所以，即，所以，即，所以，，則，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，結(jié)合各選項(xiàng)可知只有D正確.故選：D.8.在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，，，所以為等腰直角三角形，則其外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且，所以三棱錐外接球的球心在經(jīng)過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，連接、、，則外接球的半徑，設(shè)（或其延長(zhǎng)線）與平面交于，連接，，則，，所以球心在平面的外部，設(shè)，則，，所以，解得，所以，則三棱錐外接球的表面積.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在復(fù)平面內(nèi)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（）A.的虛部為 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?，所以的虛部為，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)是銳角三角形時(shí)，角的取值范圍為C.外接圓的半徑為2D.周長(zhǎng)的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗A中，因?yàn)?，由正弦定理可得，再由大邊?duì)大角可知正確；B中，因?yàn)槭卿J角三角形，則，解得，即，所以B正確；C中，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，則C不正確；D中，，，由余弦定理可得，即，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又在三角形中，，所以，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為，故D正確．故選：ABD．11.在菱形中，是的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)槭橇庑?，所以，，所以，所以A正確；對(duì)于D，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過作于，因?yàn)椋浴?，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的四等分點(diǎn)，所以，所以D正確.故選：ABD.12.在正四棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則（）A.是等腰三角形B.三棱錐的體積為C.∥平面D.平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為3〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：，顯然互不相等，所以不是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：三棱錐的體積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，連接，可知：分別為的中點(diǎn)，則∥，且平面，平面，所以∥平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，，且∥，，可得∥，，可得為平行四邊形，則∥，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，，可得為平行四邊形，則∥，所以∥，同理可證：∥，所以平面截該長(zhǎng)方體所得截面為平行四邊形，在中，由選項(xiàng)A可知：，則，可得鈍角，且，所以截面面積為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖所示的圖象是的一部分，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，的周期為：，解得，根據(jù)正切函數(shù)的定義域可知，，即，結(jié)合可得，則，此時(shí)，又，于是.故〖答案〗為：.14.已知中，角的對(duì)邊分別為，，則角__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，即，可得，且，所以.故〖答案〗：.15.已知，且是第三象限的角，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，解得，又因?yàn)?，且是第三象限的角，則，所以.故〖答案〗為：.16.“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形?六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為__________，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，由題意可知，三角形為等邊三角形，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成角，因?yàn)槿切螢榈冗吶切?，所以，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為；設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意可得點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以，則，則直線AB與平面BCD所成角的正弦值為.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知向量.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．解：（1）由題意可得：，因?yàn)椋獾?，所以，?（2）令，解得，若與共線，則，解得，因?yàn)榕c的夾角為銳角，則，且與不共線，所以的取值范圍為.18.如圖，一條河的對(duì)岸有兩點(diǎn)，在這條河的一側(cè)有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，分別測(cè)得，已知在同一個(gè)水平面上，求的長(zhǎng)．解：在中，可得，，所以，在中，可得，，由正弦定理，所以，在中，由余弦定理可得：，所以.19.如圖所示多面體中，是等邊三角形，平面平面，平面平面．（1）求證：//平面；（2）若，求多面體的體積．解：（1）過在平面內(nèi)作，垂足為，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的判定，則平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，同理可推出平面，垂直于同一平面的兩條直線平行，故.