2023-2024學(xué)年浙江省強基聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省強基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B．2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C．3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因為，可得，解得.故選：A.4.為虛數(shù)單位，則（）A. B.i C. D.1〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D．5.已知正數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，當且僅當時等號成立，所以．故選：C．6.圓臺的上底面面積為，下底面面積為，母線長為4，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．7.對于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙充要條件.故選：C．8.袋子中裝有5張編號分別為1，2，3，4，5的卡片，從袋子中隨機選擇3張卡片，記抽到的3張卡片編號之和為，編號之積為，則下列說法正確的是（）A.是3的倍數(shù)的概率為0.4 B.是3的倍數(shù)的概率為0.6C.是3的倍數(shù)的概率為0.2 D.是3的倍數(shù)的概率為0.8〖答案〗A〖解析〗樣本空間：個樣本點，是3的倍數(shù)的情況包括，共4個樣本點，所以其概率為0.4．T是3的倍數(shù)的情況數(shù)為，所以其概率為0.6．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若直線與圓相交于兩點，則的長度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過原點，且，故，又，即，故選：BCD．10.已知，則下列等式成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對于AB，，故A錯誤，B正確；對于CD，故C錯誤，D正確；故選：BD．11.下列定義在上的函數(shù)中，滿足的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對A：，則，當且僅當時，等號成立，故A正確；對B：，則，當且僅當時，等號成立，不滿足條件，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：，，當且僅當時，等號成立，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗40

〖解析〗展開式的通項公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：40.13.已知過橢圓的右頂點作直線交軸于點，交橢圓于點，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由題意，由橢圓對稱性不妨設(shè)，且，因為，可得，可得，可得，解得，即，代入橢圓的方程，可得，解得，所以．故〖答案〗為：.14.若不等式對任意滿足的正實數(shù)x，y，z均成立，則實數(shù)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗因為x，y，z為正實數(shù)，所以，因為，所以，即，又，所以.當且僅當時上式最右側(cè)等號成立.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，所以在處切線的斜率為，切點的縱坐標為，所以切點為，所以切線方程為，即；（2）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，由得，得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以極大值為，極小值為.16.已知盒中有2個黑球和2個白球，每次從盒中不放回地隨機摸取1個球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后剛好停止摸球的概率；（2）記摸球的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望．解：（1）摸球三次后剛好停止摸球，則前兩次摸到黑球第三次一定摸到白球，則．（2）分析得，，所以的分布列為123．17.如圖，在正三棱柱中，為側(cè)棱的中點．（1）求證：平面平面．（2）若，求平面與平面所成二面角的大?。猓海?）連接，交于點，再連接、、,根據(jù)題意得，四邊形是矩形，則M為的中點．因為為側(cè)棱的中點，所以,在和中，兩組直角邊相等，根據(jù)勾股定理得兩條斜邊相等，即，所以，同理可證．因為與交于點M，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）當時，三個側(cè)面均為正方形，由，同（1）易證，且都在面內(nèi)，所以面，故是面的一個法向量，由題設(shè)知：是面的一個法向量，且平面與平面所成二面角是銳角，由圖知：所成二面角的大小為18.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點與拋物線相交于點，，當恰好為線段的中點時，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．解：（1）解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因為是的中點，所以，又，代入化簡得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標都為，代入拋物線方程得，化簡得．則，，因為是的中點，所以，即．又因為，將代入化簡得，即，所以拋物線的方程為．（2）解法一：，由（1）可得，，因為，同理，所以，當且僅當時，等號成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當且僅當或時，等號成立，即所求最小值為．19.對于正整數(shù)m，n，存在唯一的自然數(shù)a，b，使得，其中，我們記．對任意正整數(shù)，定義的生成數(shù)列為，其中．（1）求和．（2）求的前3項．（3）存在，使得，且對任意成立．考慮的值：當時，定義數(shù)列的變換數(shù)列的通項公式為當時，定義數(shù)列的變換數(shù)列的通項公式為若數(shù)列和數(shù)列相同，則定義函數(shù)，其中函數(shù)的定義域為正整數(shù)集．（?。┣笞C：函數(shù)是增函數(shù)．（ⅱ）求證：．解：（1），所以．（2），，．（3）（?。θ我庹麛?shù)，總有，且一定存，使得，此時有，即當時，．因為，所以，又，所以，所以．因為．若和的變換數(shù)列分別為和，且，數(shù)列滿足，且當時，，數(shù)列滿足，且當時，．當時，，則．當時，若，則．若，則，所以是增函數(shù)．若，則，與矛盾，所以這種情況不存在．若，則，所以是增函數(shù)．（ⅱ）若數(shù)列的變換數(shù)列為，數(shù)列的變換數(shù)列為，即證．數(shù)列滿足，且當時，．若，則，若，則，，．綜上，.浙江省強基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B．2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C．3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因為，可得，解得.故選：A.4.為虛數(shù)單位，則（）A. B.i C. D.1〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D．5.已知正數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，當且僅當時等號成立，所以．故選：C．6.圓臺的上底面面積為，下底面面積為，母線長為4，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．7.對于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙充要條件.故選：C．8.袋子中裝有5張編號分別為1，2，3，4，5的卡片，從袋子中隨機選擇3張卡片，記抽到的3張卡片編號之和為，編號之積為，則下列說法正確的是（）A.是3的倍數(shù)的概率為0.4 B.是3的倍數(shù)的概率為0.6C.是3的倍數(shù)的概率為0.2 D.是3的倍數(shù)的概率為0.8〖答案〗A〖解析〗樣本空間：個樣本點，是3的倍數(shù)的情況包括，共4個樣本點，所以其概率為0.4．T是3的倍數(shù)的情況數(shù)為，所以其概率為0.6．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若直線與圓相交于兩點，則的長度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過原點，且，故，又，即，故選：BCD．10.已知，則下列等式成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對于AB，，故A錯誤，B正確；對于CD，故C錯誤，D正確；故選：BD．11.下列定義在上的函數(shù)中，滿足的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對A：，則，當且僅當時，等號成立，故A正確；對B：，則，當且僅當時，等號成立，不滿足條件，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：，，當且僅當時，等號成立，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗40

〖解析〗展開式的通項公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：40.13.已知過橢圓的右頂點作直線交軸于點，交橢圓于點，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由題意，由橢圓對稱性不妨設(shè)，且，因為，可得，可得，可得，解得，即，代入橢圓的方程，可得，解得，所以．故〖答案〗為：.14.若不等式對任意滿足的正實數(shù)x，y，z均成立，則實數(shù)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗因為x，y，z為正實數(shù)，所以，因為，所以，即，又，所以.當且僅當時上式最右側(cè)等號成立.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，所以在處切線的斜率為，切點的縱坐標為，所以切點為，所以切線方程為，即；（2）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，由得，得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以極大值為，極小值為.16.已知盒中有2個黑球和2個白球，每次從盒中不放回地隨機摸取1個球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后剛好停止摸球的概率；（2）記摸球的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望．解：（1）摸球三次后剛好停止摸球，則前兩次摸到黑球第三次一定摸到白球，則．（2）分析得，，所以的分布列為123．17.如圖，在正三棱柱中，為側(cè)棱的中點．（1）求證：平面平面．（2）若，求平面與平面所成二面角的大?。猓海?）連接，交于點，再連接、、,根據(jù)題意得，四邊形是矩形，則M為的中點．因為為側(cè)棱的中點，所以,在和中，兩組直角邊相等，根據(jù)勾股定理得兩條斜邊相等，即，所以，同理可證．因為與交于點M，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）當時，三個側(cè)面均為正方形，由，同（1）易證，且都在面內(nèi)，所以面，故是面的一個法向量，由題設(shè)知：是面的一個法向量，且平面與平面所成二面角是銳角，由圖知：所成二面角的大小為18.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點與拋物線相交于點，，當恰好為線段的中點時，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．解：（1）解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因為是的中點，所以，又，代入化簡得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標都為，代入拋物線方程得，化簡得．則，，因為是的中點，所以，即．又因為，將代入化簡得，即，所以拋物線的方程為．（2）解法一：，由（1）可得，，因為，同理，所以，當且僅當時，等號成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當且僅當或時，等號成立，即所求最小值為．19.對于正整數(shù)m，n，存在唯一的自然數(shù)a，b，使得，其中，我們記．對任意正整數(shù)，定義的生成數(shù)列為，其中．（1）求和．（2）求的前3項．（3）存在，使得