2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市六校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺(tái)州市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）1.設(shè)函數(shù)，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗∵，且，∴．故選：A．2.已知隨機(jī)變量的分布列，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)（注：素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù)）猜想一個(gè)弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)，從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，20以內(nèi)的素?cái)?shù)共有8個(gè)，從中選兩個(gè)共包含個(gè)基本事件，而20以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有共四對(duì)，包含4個(gè)基本事件，所以從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成字生素?cái)?shù)的概率為.故選：B.5.展開式中的系數(shù)為（）A.17 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，因?yàn)榈耐?xiàng)為：，令可得，令可得，所以展開式中的系數(shù)為：.故選：A.6.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由圖可得，而，故，故選：C.7.已知，，，下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，即，又，，所以，故A錯(cuò)誤；又，故B正確；，故D錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤.故選：B8.把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像．若對(duì)任意的，曲線與至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意曲線C的〖解析〗式為則方程，即，即對(duì)任意恒成立，于是的最大值，令則由此知函數(shù)在（0，2）上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即為4，于是．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.20.10.40.1若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A：由，解得，所以，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：令，可得，故A正確；對(duì)于B：令，，所以，故B正確；對(duì)于C：，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，可得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，其中，則（）．A.不等式對(duì)恒成立B.若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是C.方程恰有3個(gè)實(shí)根D.若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時(shí)，恒有成立，所以的最小值是，即，對(duì)恒成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，由A選項(xiàng)分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個(gè)根，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，直線過原點(diǎn)，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，即曲線在的圖象下方對(duì)應(yīng)的x值恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.方程的解是__________.〖答案〗1或2〖解析〗由可得：或，則：或，解得：或或，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，則成立；當(dāng)時(shí)，則成立；故或.故〖答案〗為：或.13.過原點(diǎn)的直線與相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是______.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，故直線斜率為，則直線l的方程為，將代入，得，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故〖答案〗為：14.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的圖象是開口向下的拋物線，∴，解得：.∴的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題；共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)在處取得極大值6.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.解：（1），因?yàn)樵谔幦〉脴O大值6.所以，得此時(shí)，令可得：；令可得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增所以在處取得極大值，符合題意，所以.又，所以（2），所以列表如下：0123

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1極大值6極小值510由于，故時(shí)，.16.在的展開式中，（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).解：（1），二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，所以.（2），當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即，則的取值集合為；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，所以，解得，故系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng).17.某班共有團(tuán)員12人，其中男團(tuán)員8人，女團(tuán)員4人，并且男?女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì).（用數(shù)字做答）（1）若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；（2）若至多有2名女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；（3）若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù).解：（1）方法一（直接法）：至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況：有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng)，故共有種．方法二（間接法）：至少有一名組長(zhǎng)可以采用排除法，有種．（2）至多有2名女團(tuán)員含有四種情況：有2名女團(tuán)員，有1名女團(tuán)員，沒有女團(tuán)員，故共有種（3）既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選含兩類情況：第一類：女組長(zhǎng)當(dāng)選，有種，第二類：女組長(zhǎng)不當(dāng)選，男組長(zhǎng)當(dāng)選，有種，共有種.18.有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.（1）如果從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個(gè)球的得分之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）先等可能地選擇一個(gè)盒子，再?gòu)拇撕兄忻?個(gè)球.若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)盒子的概率.解：（1）由題意，的可能值為.所以的分布列為3456所以.（2）記“摸出球的結(jié)果是一紅一白”為事件，“選擇1號(hào)盒子”為事件，“選擇2號(hào)盒子”為事件，則，，，由貝葉斯公式，若摸球的結(jié)果是一紅一白，出自1號(hào)盒子的概率為：.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求取值范圍；（ii）證明：解：（1）當(dāng)時(shí)，，.顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增.（2）（i）由題設(shè)且，若，則在上恒成立，即單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；故，又有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是的兩個(gè)不同正根，所以，可得，即的取值范圍是.（ii）由（i）且，不妨設(shè)，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上遞增，又，故，即，綜上，浙江省臺(tái)州市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）1.設(shè)函數(shù)，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗∵，且，∴．故選：A．2.已知隨機(jī)變量的分布列，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)（注：素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù)）猜想一個(gè)弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)，從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，20以內(nèi)的素?cái)?shù)共有8個(gè)，從中選兩個(gè)共包含個(gè)基本事件，而20以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有共四對(duì)，包含4個(gè)基本事件，所以從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成字生素?cái)?shù)的概率為.故選：B.5.展開式中的系數(shù)為（）A.17 B.20 C.75 D.100〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，因?yàn)榈耐?xiàng)為：，令可得，令可得，所以展開式中的系數(shù)為：.故選：A.6.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由圖可得，而，故，故選：C.7.已知，，，下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，即，又，，所以，故A錯(cuò)誤；又，故B正確；，故D錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤.故選：B8.把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像．若對(duì)任意的，曲線與至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意曲線C的〖解析〗式為則方程，即，即對(duì)任意恒成立，于是的最大值，令則由此知函數(shù)在（0，2）上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即為4，于是．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.20.10.40.1若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A：由，解得，所以，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：令，可得，故A正確；對(duì)于B：令，，所以，故B正確；對(duì)于C：，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，可得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，其中，則（）．A.不等式對(duì)恒成立B.若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是C.方程恰有3個(gè)實(shí)根D.若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時(shí)，恒有成立，所以的最小值是，即，對(duì)恒成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，由A選項(xiàng)分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個(gè)根，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，直線過原點(diǎn)，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，即曲線在的圖象下方對(duì)應(yīng)的x值恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.方程的解是__________.〖答案〗1或2〖解析〗由可得：或，則：或，解得：或或，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，則成立；當(dāng)時(shí)，則成立；故或.故〖答案〗為：或.13.過原點(diǎn)的直線與相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是______.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，故直線斜率為，則直線l的方程為，將代入，得，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故〖答案〗為：14.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的圖象是開口向下的拋物線，∴，解得：.∴的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題；共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)在處取得極大值6.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.解：（1），因?yàn)樵谔幦〉脴O大值6.所以，得此時(shí)，令可得：；令可得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增所以在處取得極大值，符合題意，所以.又，所以（2），所以列表如下：0123

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1極大值6極小值510由于，故時(shí)，.16.在的展開式中，（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).解：（1），二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，所以.（2），當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即，則的取值集合為；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，所以，解得，故系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng).17.某班共有團(tuán)員12人，其中男團(tuán)員8人，女團(tuán)員4人，并且男?女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì).（用數(shù)字做答）（1）若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；（2）若至多有2名女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；（3）若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù).解：（1）方法一（直接法）：至少有一名組長(zhǎng)含有兩種情況：有一名組長(zhǎng)和兩名組長(zhǎng)，故共