廣西壯族自治區(qū)百色市德?？h德保高中2024-2025學年高二上學期開學考試 數(shù)學試題含答案

2026屆高二年級上學期開學考試數(shù)學試題9．7（試卷滿分：150分；考試時長：120分鐘）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．中，，則一定是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定3．是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（

）．A．3 B． C． D．24．已知，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．有一封閉透明的正方體形容器，裝有容積一半的有顏色溶液，當你任意旋轉(zhuǎn)正方體，靜止時液面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六邊形6．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點，且，則以下正確的是（

）A．點為的內(nèi)心 B．點為的外心C． D．為等邊三角形7．在中，，，邊上的中線，則的面積S為(

)A． B． C． D．8．如圖，在中，，，點為邊上的一動點，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多個符合題目要求，全部選對得6分．有選錯的得0分，部分選對得部分分．）9．下列說法中正確的是（

）A．若直線與平面不平行，則l與相交B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內(nèi)C．如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行D．如果是異面直線，，，則，是異面直線10．已知是虛數(shù)單位，以下說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部是1 B．C．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則11．已知內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,O為的重心，cosA=15,AO=2，則（

A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知向量，若B，C，D三點共線，則．13．已知在上的投影向量為，則的值為.14．如圖，用一邊長2為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將半徑為的雞蛋（視為球）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋最高點與蛋巢底面的距離為．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，(1)求實數(shù)的值；(2)求向量與的夾角．16．如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．17．某校為了調(diào)查學生的體育鍛煉情況，從全校學生中隨機抽取100名學生，將他們的周平均鍛煉時間（單位：小時）數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法從和兩組中抽取了6人.求從這6人中隨機選出2人，這2人不在同一組的概率；(3)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替，試估計全校學生周平均鍛煉時間的平均數(shù).18．在中，分別為角所對的邊長，．(1)證明：是等腰三角形；(2)若，求的周長．19．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點為棱的中點.

(1)求證：平面；(2)若為上的動點，則線段上是否存在點N，使得平面?若存在，請確定點N的位置，若不存在，請說明理由.1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】因為，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2．C【分析】表示出向量的點乘，結(jié)合已知條件進行判定三角形形狀【詳解】因為中，，則，即，，角為鈍角，所以三角形為鈍角三角形故選【點睛】本題考查了由向量的點乘判定三角形形狀，只需運用公式進行求解，較為簡單3．D【分析】由由A，B，D三點共線，得存在實數(shù)，使，再用表示后，由向量相等可得．【詳解】由已知，由A，B，D三點共線，故存在實數(shù)，使，即，即，解得．故選：D．4．C【分析】根據(jù)投影向量的概念求解.【詳解】因為，所以．所以向量在向量上的投影向量為．故選：C．5．A【分析】根據(jù)題意可得無論怎樣轉(zhuǎn)動，其液面總是過正方體的中心，再分別討論液面與底面平行，液面過正方體對角線的兩個頂點和液面過正方體六條棱的中點即可判斷B，C和D是正確的，進而即可得到答案．【詳解】因為正方體容器中盛有一半容積的有顏色溶液，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其液面總是過正方體的中心．對于B，當過正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，即靜止時液面如圖（1），故B正確；對于C，當過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，即靜止時液面如圖（2），故C正確；對于D，當過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，即靜止時液面如圖（3），故D正確；

故選：A．6．B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積運算律，結(jié)合向量加減計算判斷得解.【詳解】在中，由為的垂心，得，由，得，則，即，又，顯然，同理得，因此點為的外心，B正確，無判斷ACD成立的條件.故選：B7．C【分析】延長到點使，連接，根據(jù)可得面積等于的面積，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．【詳解】如圖所示，延長到點使，連接，又∵，∴(SAS)，∴的面積等于的面積．在中，由余弦定理得，又，則，∴．故選：C．8．C【解析】作輔助線，利用向量數(shù)量積公式，可求得，，再利用向量的三角形法則，將求的最小值，轉(zhuǎn)化為求得最小值，然后分類討論與O的位置關(guān)系，可知在O右側(cè)時，最小，再利用基本不等式求最值.【詳解】如圖所示，作，，，可得，即，利用向量的三角形法則，可知若與O重合，則若在O左側(cè)，即在上時,若在O右側(cè)，即在上時，，顯然此時最小，利用基本不等式（當且僅當，即為中點時取等號）故選：C.【點睛】本題考查向量的三角形法則，向量的數(shù)量積公式，及利用基本不等式求最值，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.9．BD【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯誤；對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，故直線在平面無交點或僅有個交點，故B正確；對C，若直線與平面相交，直線上仍存在兩個在平面不同側(cè)的點到平面的距離相等，則故C錯誤；對D，如果是異面直線，，則異面，則是異面直線，故D正確.故選：BD10．BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義與代數(shù)形式的運算性質(zhì)，逐項判斷即可．【詳解】對于A，復(fù)數(shù)的虛部是，選項A錯誤；對于B，，選項B正確；對于C，設(shè)，則，，，選項C錯誤；對于D，設(shè)，、，則，令，得且，所以，選項D正確．故選：BD．11．BC【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運算得，即可判斷A，此式平方后結(jié)合基本不等式，向量的數(shù)量積的定義可求得，ABAC的最大值，直接判斷B，再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．【詳解】是的重心，延長交于點，則是中點，AO=由得，所以9AO2=又AB?AC所以，所以，當且僅當AB=AC時等號成立，B正確；AB?AC=AB?S△ABC由9AO2=所以a2，當且僅當AB=AC時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．

12．【分析】求出，再利用共線向量的坐標表示求出.【詳解】依題意，，由B，C，D三點共線，得，則，所以.故答案為：13．【分析】利用投影向量的定義及平面向量的數(shù)量積公式計算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，.故答案為：14．【分析】由條件可求4個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑，結(jié)合球的截面性質(zhì)可求球心到截面圓的距離，進一步加上垂直折起的4個小直角三角形的高以及雞蛋（球）的半徑即可得解.【詳解】由已知蛋巢的底面是邊長為的正方形，所以蛋巢過原正方形的四個頂點的平面截雞蛋（球）所得的截面圓的直徑為，且蛋巢的高度為，又球的半徑為，所以球心到截面的距離為，故雞蛋最高點與蛋巢底面的距離為故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)共線向量定理，即可求解；（2）根據(jù)向量夾角公式，，再代入數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】（1）若向量與共線，則存在實數(shù)，使得，則，則；（2）由（1）知，，，，，，所以，且，所以.16．(1)證明見解析.(2)【分析】(1)由平面得，又因為，可證平面，從而證得平面平面；(2)過點作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【詳解】（1）證明：因為平面，平面,所以,又因為，即，平面，,所以平面，又因為平面,所以平面平面.（2）如圖，

過點作，垂足為.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因為平面，平面,所以,,又因為，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點，,又因為,所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．17．(1)(2)(3)7.92小時【分析】（1）由頻率分布直方圖所有矩形的面積之和為1計算可得;（2）列舉出從6人中隨機選出2人的所有情況，再求得2人不在同一組的情況，即可求得其概率；（3）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)公式代入計算即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為頻率分布直方圖所有矩形的面積之和為1，易知組距為2，所以，解得.（2）由頻率分布直方圖可知和兩組的頻數(shù)的比為所以利用分層抽樣的方法抽取6人，這兩組被抽取的人數(shù)分別為4，2，記中的4人為，，，，中的2人為，，從這6人中隨機選出2人，則樣本空間，共15個樣本點設(shè)事件：選出的2人不在同一組，，共8個樣本點，所以（3）估計全校學生周平均鍛煉時間的平均數(shù)為7.92小時18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由半角公式，誘導公式，三角恒等變換得到，故，證明出結(jié)論；（2）利用誘導公式和三角恒等變換得到，進而得到，由正弦定理求出，得到周長.【詳解】（1）由可得，為三個內(nèi)角，，，即，即，又因為，所以，即，所以，所以是等腰三角形．（2）由得，即，所以，所以，，因為，為銳角，，所以，，由正弦定理，，解得，所以的周長為．19．(1)證明見解析；(2)點為AD的中點，理由見解析.