2-2基本不等式-2022-2023學年高一數(shù)學上學期講與練人教A版2019必修第一冊解析版

2.2基本不等式一、基本不等式的概念1、兩個不等式重要不等式：,（當且僅當時取號）.常見變形公式：、基本不等式：,（當且僅當時取到等號）.常見變形公式：；【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.（3）我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、由公式和引申出的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或二、基本不等式的證明1、法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有.得到結(jié)論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當且僅當時取等號“=”）2、法二：代數(shù)法∵，當時，；當時，.所以，（當且僅當時取等號“=”）.三、基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，過點作交圓于點D，連接、.易證，那么，即.這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立.四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.①一正：各項均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.2、積定和最小，和定積最大（1）設x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4).（2）設x，y為正實數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2eq\r(p).題型一對基本不等式的理解【例1】若，且，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取滿足，且，此時，A錯誤；取滿足，且，此時，B錯誤；可得，C正確；取滿足，且，此時，D錯誤.故選：C.【變式1-1】設，，下列不等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，，，由均值不等式，，當且僅當，即時取“”，A錯誤；對于B，，所以，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，由，，，得，當且僅當時，取“”，D正確.故選：D【變式1-2】若，有下面四個不等式：（1）；（2），（3），（4）.則不正確的不等式的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因為，所以，成立，所以（1）不正確，（4）不正確；因為，所以（3）正確；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正確．故選：C【變式1-3】已知且，下列各式中最大的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，，所以，，由均值不等式可知，所以，由上可知：，所以四個式子中最大，故選：D.【變式1-4】（多選）設a＞0，b＞0，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A.，當且僅當時，等號成立，故正確；B.因為，正負不定，故錯誤；C.，當且僅當，時，等號成立，故正確；D.，故正確；故選：ACD題型二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：>8.【答案】證明見解析【解析】由于為互不相等的正實數(shù)，且，所以，所以.【變式2-1】設，為正實數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【解析】因為，為正實數(shù)，所以，，，當且僅當時取等號，所以，即，當且僅當時取等號；【變式2-2】設a，b為正數(shù)，且．證明：（1）：（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1），，當且僅當“”時取“＝”，，當且僅當“”時取“=”，所以，所以．（2）因為，所以所以，因為a，b為正數(shù)，且，所以，所以，所以．【變式2-3】設a，b，c均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以，即，即，當且僅當時，等號成立.（2）因為,所以，當且僅當時，等號成立，即，即，所以，當且僅當時，等號成立.題型三利用基本不等式求最值【例3】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，則xy的最大值為________．【答案】【解析】，當且僅當時取等號．【變式3-1】（1）已知，則取得最大值時的值為________．（2）已知，則的最大值為________．【答案】（1）；（2）1【解析】（1），當且僅當，即時，取等號．（2）因為，所以，則,當且僅當，即時，取等號．故的最大值為1.【變式3-2】已知，，，求的最小值；【答案】2【解析】，，當且僅當時，等號成立當時，的最小值為【變式3-3】已知正數(shù)a，b滿足，求的最小值．【答案】【解析】因為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以當時，的最小值.【變式3-4】設x，y是正實數(shù)，且x+y=1，則的最小值是________．【答案】【解析】設x=2=s，y+1=t，則s+t=x+y+3=4，因為所以。題型四基本不等式的恒成立問題【例4】當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵當時，不等式恒成立，∴對均成立．由于，當且僅當時取等號，故的最小值等于3，，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．【變式4-1】已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，若不等式恒成立，恒成立，當且僅當時取等號．，即的最大值為．故選：B．【變式4-2】若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式對任意恒成立轉(zhuǎn)化為，其中,即可.，當且僅當，即時，等號成立，即，所以實數(shù)的取值范圍是.【變式4-3】（多選）若，恒成立，則的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由，可知，，則，，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以，所以，因為，則.故選：BCD.【變式4-4】若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設，則，再設，則，當且僅當時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.題型五利用基本不等式解應用題【例5】如圖，公園的管理員計劃在一面墻的同側(cè)，用彩帶圍成四個相同的長方形區(qū)域.若每個區(qū)域的面積為m，要使圍成四個區(qū)域的彩帶總長最小，則每個區(qū)域的長和寬分別是多少米？求彩帶總長的最小值.【答案】每個區(qū)域的長和寬分別是m和m時，彩帶總長最小，最小值為m【解析】設每個區(qū)域的長為，寬為，由題意得，，，則彩帶總長==，當且僅當，即且等號成立，所以每個區(qū)域的長和寬分別是和時，彩帶總長最小，最小值為.【變式5-1】為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設直角梯形的高為.（1）當時，求海報紙的面積；（2）為節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？【答案】（1）；（2）當海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．【解析】（1）宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，直角梯形的高為，則梯形長的底邊，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，，，故海報面積為．（2）直角梯形的高為，宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，海報寬，海報長，故，當且僅當，即，故當海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．【變式5-2】2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=4?.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元/萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件(產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.（1）將2022年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？【答案】（1）；（2）3萬元【解析】（1）由題意知，每萬件產(chǎn)品的銷售價格為（萬元），x=4?則2022年的利潤．（2）∵當時，，∴，（當且僅當時等號成立）∴，當且僅當萬元時，（萬元）．故該廠家2022年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．【變式5-3】第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進博會共有58個國家和3個國際組織參加國家展（國家展今年首次線上舉辦），來自127個國家和地區(qū)的近3000家參展商亮相企業(yè)展．更多新產(chǎn)品、新技術(shù)、新服務“全球首發(fā)，中國首展”專（業(yè)）精（品）尖（端）特（色）產(chǎn)品精華薈萃，某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)計劃在2022年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào)．生產(chǎn)此款空調(diào)預計全年需投入固定成本260萬元，每生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且經(jīng)測算，當生產(chǎn)10千臺空調(diào)需另投入的資金R＝4000萬元．現(xiàn)每臺空調(diào)售價為0.9萬元時，當年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當年能全部銷售完．（1）求2022年企業(yè)年利潤W（萬元）關于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少（千臺）時