08中考數(shù)學(xué)幾何輔助線-截長(zhǎng)補(bǔ)短法

PAGE截長(zhǎng)補(bǔ)短法【典例引領(lǐng)】例題：正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F。（1）如圖1，點(diǎn)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE（不需證明）（2）當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明?！緩?qiáng)化訓(xùn)練】1、如圖，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上，且BA=BC，點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上移動(dòng)時(shí)，如圖（1）所示，求證：BC﹣DE=22當(dāng)點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)時(shí)，如圖（2）、圖（3）所示。線段BC、DE和DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明.2．如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FN⊥BC.（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y。①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值.3．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形內(nèi)取一點(diǎn)D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，這樣就具備了一邊一角的圖形特征，他果斷延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接EB，造出全等三角形，使問(wèn)題得到解決．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）參考小明思考問(wèn)題的方法，解答下列問(wèn)題：如圖2，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AC、AB上一點(diǎn)，連接DE，延長(zhǎng)FE、DF分別交BC、CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在圖中找出與∠DEC相等的角，并加以證明；②若BG＝kCD，猜想DE與DG的數(shù)量關(guān)系并證明．4．【問(wèn)題情境】在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1），求證：PD+PE=CF．圖①圖②圖③證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．（不要證明）【變式探究】當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：【結(jié)論運(yùn)用】如圖4，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；截長(zhǎng)補(bǔ)短法（解析）【典例引領(lǐng)】例題：正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F。（1）如圖1，點(diǎn)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE（不需證明）（2）當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明?！敬鸢浮繄D2結(jié)論：AF﹣BF=2OE，圖3結(jié)論：BF-AF=2OE【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；（2）選擇圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長(zhǎng)線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證．【解答】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE于G，則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；（2）圖2結(jié)論：AF﹣BF=2OE，圖3結(jié)論：AF﹣BF=2OE．對(duì)圖2證明：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長(zhǎng)線于G，則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；若選圖3，其證明方法同上．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、如圖，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上，且BA=BC，點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上移動(dòng)時(shí)，如圖（1）所示，求證：BC﹣DE=22當(dāng)點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)時(shí)，如圖（2）、圖（3）所示。線段BC、DE和DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明.【答案】(1)答案見(jiàn)解答（2）圖（2）DE﹣BC=22DF．圖（3）BC+DE=22【分析】為了證明圖（2）的結(jié)論，需要構(gòu)造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.連接EH，再證△AHE≌△EDF，即可得出結(jié)論．圖（3）同理可證．【解答】（1）證明：如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴EH=DF，∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=22∵EH=DF．∴BC﹣DE=22DF．解：如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證：DF=EH．可得：DE﹣BC=22DF．如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可證：DF=HE，可得BC+DE=22DF．2．如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FN⊥BC.（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y。①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-12x2+2x（0＜x＜4)，②當(dāng)x=2,y最大值【分析】（1）在AB上取一點(diǎn)G，使AG=EC，連接GE，利用ASA，易證得：△AGE≌△ECF，則可證得：AE=EF；（2）同（1）可證明AE=EF，利用AAS證明△ABE≌△ENF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y，然后整理再根據(jù)二次函數(shù)求解最值問(wèn)題．【解答】（1）如圖，在AB上取AG=EC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，有∵AG=EC，∴BG=BE，又∵∠B=90°，∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，∴∠ECF=135°，∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△AGE和△ECF中，∠AGE=∠ECFAG=EC∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF；(2)①∵由（1）證明可知當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)同理可證AE=EF，∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，∴△ABE≌△ENF，∴FN=BE=x，∴S△ECF=12(BC-BE)·FN即y=12x(4-x∴y=-12x2+2x（0＜x＜4)②y=?3．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形內(nèi)取一點(diǎn)D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，這樣就具備了一邊一角的圖形特征，他果斷延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接EB，造出全等三角形，使問(wèn)題得到解決．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）參考小明思考問(wèn)題的方法，解答下列問(wèn)題：如圖2，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AC、AB上一點(diǎn)，連接DE，延長(zhǎng)FE、DF分別交BC、CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在圖中找出與∠DEC相等的角，并加以證明；②若BG＝kCD，猜想DE與DG的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1）135°;（2）①∠HDC＝∠DEC;②猜想DG＝kDE.【分析】（1）根據(jù)輔助線證得△DAB≌△BCE，則∠ADB＝∠CBE（還不能直接求得，考慮全等的其他等邊等角），∠ABD＝∠E，BD＝BE，得到∠BDE＝∠E＝∠ABD．考慮引入未知數(shù)，設(shè)∠CBD＝x，則∠E＝∠ABD＝∠BDE＝x+15°，利用∠ABC＝∠ABD+∠CBD求得x，再由周角求得結(jié)果．（2）①∠DEC是△DEH的外角，等于∠DHC+∠HDE，而∠DHC＝∠EDG，等量代換得∠DEC＝∠EDG+∠HDE＝∠HDC．②由條件DHC＝∠EDG＝2∠G，在FG上方構(gòu)造2∠G即∠FGM＝∠FGD，則∠EDG＝∠MGD，令M落在BA延長(zhǎng)線上，加上∠B＝∠ACB，即得△BGM∽△CDE，有MGDE=BGCD=k．又通過(guò)三角形內(nèi)角和求得∠M＝∠HDC，證得△MFG≌△DFG，有【解答】（1）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接EB∵，∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵AD＝AC，∠CAD＝30°∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝180°?∠CAD2＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°即∠DAB＝∠BCD在△DAB與△BCE中，AD=BC∴△DAB≌△BCE（SAS）∴∠ADB＝∠CBE，∠ABD＝∠E，BD＝BE∴∠BDE＝∠E設(shè)∠CBD＝x，則∠ABD＝45°﹣x，∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝15°+x∴∠ABD＝∠E＝∠BDE＝15°+x∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD∴45°＝15°+x+x，得：x＝15°∴∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝180°﹣15°﹣15°＝150°∴∠ADB＝360°﹣∠ADC﹣∠CDB＝360°﹣75°﹣150°＝135°（2）①∠HDC＝∠DEC，證明如下：∵∠DHC＝∠EDG∴∠HDC＝∠HDE+∠EDG＝∠HDE+∠DHC＝∠DEC∴∠HDC＝∠DEC②猜想DG＝kDE，證明如下：在FG的上方作∠FGM＝∠FGD，使∠FGM的一邊與BA延長(zhǎng)線交于M∵∠DHC＝∠EDG＝2∠FGD∴∠DHC＝∠EDG＝∠MGD∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠M＝180°﹣∠B﹣∠MGD＝180°﹣∠ACB﹣∠EDC＝∠DEC∴∠M＝∠HDC在△MFG與△DFG中，∠M=∠HDC∴△MFG≌△DFG（AAS）∴MG＝DG∵∠B＝∠ACB，∠EDG＝∠MGD∴△BGM∽△CDE∴BG∵BG＝kCD∴MGDE∴DG＝MG＝kDE4．【問(wèn)題情境】在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1），求證：PD+PE=CF．圖①圖②圖③證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．（不要證明）【變式探究】當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：【結(jié)論運(yùn)用】如圖4，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使