函數(shù)的單調(diào)性三知識課件

§3.7函數(shù)的單調(diào)性yx0學習目的：1.會從幾何角度直觀了解函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系，并會靈活應用。2.通過對函數(shù)單調(diào)性的研究，加深對函數(shù)導數(shù)的理解，提高用導數(shù)解決實際問題的能力，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。復習引入：問題1：怎樣利用函數(shù)單調(diào)性的定義來討論其在定義域的單調(diào)性1．一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).2．由定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：(1)設x1、x2是給定區(qū)間的任意兩個值，且x1<x2.(2)作差f(x1)－f(x2)，并變形.(3)判斷差的符號，從而得函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：2yx00yx12-1-2單增區(qū)間：(-∞，-1)和（1，+∞）.例2討論函數(shù)y=x+的單調(diào)性。

x1單減區(qū)間：(-1，0）和（0，1）.發(fā)現(xiàn)問題：用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數(shù)圖象時.例如y=x3+2x2-x.是否有更為簡捷的方法呢？下面我們通過函數(shù)的y=x2－4x＋3圖象來考察一下：2yx0.......觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：總結(jié):該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導數(shù)為負,在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導數(shù)為正.而當x=2時其切線斜率為0,即導數(shù)為0.函數(shù)在該點單調(diào)性發(fā)生改變.結(jié)論:一般地,設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,則函數(shù)在該區(qū)間如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù).注意:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù).結(jié)論應用：由以上結(jié)論可知，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)有關(guān)，即我們可以利用導數(shù)法去探討函數(shù)的單調(diào)性。現(xiàn)舉例說明：例3求函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)區(qū)間.解:函數(shù)的定義域為R,f′(x)=6x2-12x令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，則f(x)的單增區(qū)間為（－∞，0）和（2，＋∞）.再令6x2-12x<0,解得0<x<2,則f(x)的單減區(qū)間(0,2).注:當x=0或2時,f′(x)=0,即函數(shù)在該點單調(diào)性發(fā)生改變.總結(jié)：根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性一般需兩步：1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導數(shù).3.解不等式f′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間;解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.例4求函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)的定義域為x>0,f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1.當lnx+1>0時，解得x>1/e.則f(x)的單增區(qū)間是(1/e,+∞).當lnx+1<0時，解得0<x<1/e.則f(x)的單減區(qū)間是（0，1/e).例5判定函數(shù)y=ex-x+1的單調(diào)區(qū)間.解:f’(x)=ex-1當ex-1>0時,解得x>0.則函數(shù)的單增區(qū)間為(0,+∞).當ex-1<0時,解得x<0.即函數(shù)的單減區(qū)間為(-∞,0).例6討論函數(shù)y=的單調(diào)性.2x-x2解:函數(shù)的定義域為(0,2).y′=,解不等式y(tǒng)′>0得:0<x<1,則函數(shù)的單增區(qū)間為(0,1).解不等式y(tǒng)′<0得:1<x<2,則函數(shù)的單減區(qū)間為(1,2).

2x-x21-x歸納總結(jié):1.函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系:若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù).2.本節(jié)課中,用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性是中心,能靈活應用導數(shù)解題是目的,另外應注意數(shù)形結(jié)合在解題中應用.鞏固提高：1.證明：方程x-sinx=0只有一個實根x=0.2.當x>0時，證明不等式<ln(1+x)<x