初中自主招生研討-函數(shù)

初中自主招生研討

——函數(shù)

【涉及知識點(diǎn)、思想、方法等】

1、函數(shù)初步（正比例、反比例、一次、概念等）

（1）函數(shù)概念、應(yīng)用題等

（2）正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)等

（3）一次函數(shù)、直線（高中解析幾何）

2、二次函數(shù)

（1）思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論

（2）基礎(chǔ)問題（求方程、增減性、定點(diǎn)、圖像平移、判別式、韋達(dá)定理等）

（3）三個“二次”（函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系）

（4）二次函數(shù)的值域問題（定軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間、動軸定區(qū)間等）

（5）一元二次方程根的分布定理（8常3特）

3、函數(shù)綜合題（二次函數(shù)背景下的幾何問題，例面積問題、將軍飲馬等）

4、絕對值問題與高斯函數(shù)

（1）絕對值函數(shù)（分類討論、數(shù)軸分析、中位數(shù)定理等）

（2）圖像翻折（內(nèi)翻、外翻）

（3）高斯函數(shù)（不等式、分類討論結(jié)合）

5、解析幾何問題（坐標(biāo)系定義、對稱問題等）

【題型一】函數(shù)初步（正比例、反比例、一次、概念等）

1、向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,

A、m=lB、m=2C、機(jī)=1或2D、m=2

3、如果（3,4）是反比例函數(shù)y=＞+I圖像上的一點(diǎn),那么此函數(shù)必定經(jīng)過點(diǎn)（）

A、（2,6）B、（2,-6）C、（4,-3）D、（3,-4）

4、直線=l與反比例函數(shù)＞=人的圖像如果恰有一個交點(diǎn)，則該交點(diǎn)必定在第象限。

X

5、如圖是雙曲線y=X（%＞0）上的點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是a,2a,線段的延長線

X

6、已知函數(shù)f（x）"+￡（cWO）的對稱中心為（a,。），試回答：〃幻=手，的對稱中心

為?

7、若函數(shù)丁="（左＞0）與函數(shù)y=L的圖像相交于A,C兩點(diǎn)，垂直于x軸，垂足為B,

則AABC的面積為.

8、已知一次函數(shù)y=Ax+b經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,且攵＞2,則該函數(shù)不經(jīng)過第象限.

_,.C%EQ+〃b+cc+aFIT/士八、

9、已知必cwO,并且----=-----=-----=p,那么，直線y=px+p一定通過（）

cab

A、第一、二象限B、第二、三象限。、第三、四象限D(zhuǎn)、第一、四象限

10、若，_=_2_=_J=f,則一次函數(shù)y=fx+產(chǎn)的圖象必定經(jīng)過的象限是（）

b+cc+aa+b

（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限（D）第三、四象限

例題3對于任意實(shí)數(shù)%,一次方程（2戈一1）工一柒+3）y—@—所表示

的直線恒經(jīng)過點(diǎn)D,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

【題型二】二次函數(shù)（1）

2

I、在平面直角坐標(biāo)系中，有一條拋物線，它的方程是y=x-4x+3,則第象限內(nèi)的

O

任何點(diǎn)都不在該拋物線上.將此拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180,所得新拋物線的方程是。

2、設(shè)方程/一％-1=0的兩個根為a,p,求滿足/（a）=￡,/（/7）=a"⑴=1的二次函數(shù)/（幻。

3、設(shè)=f一2004x+2004,（“X）表示關(guān)于x的函數(shù)，如/⑼="-20040+2004

"租）=那一2004加+2004,若/（〃?）=/（〃），則/（〃?+〃）=（）

A、0B、2004C、-2004D、1002

4、已知二次函數(shù)y=2f—四+5,當(dāng)xN—2時，y的值隨x的值增加而增加，那么x=p

對應(yīng)的y值的取值范圍是.

5、給出下列四個函數(shù)：①'二一X；②>二%；③y=2；④y=*2,y隨x的增大而減小的有（）.

X

A.1個8.2個C.3個￡>.4個

6、已知兩點(diǎn)4一5,%）,5（3,%）均在拋物線y=加+法+或"0）上，點(diǎn)。（%凡）是該拋物線的

頂點(diǎn)，若%>為2%，則%的取值范圍是（）

A.XQ>—5B.x0>—1C.-5<%o<—ID.-2<x0<3

7、二次函數(shù)丁=一2/+4》+1的圖象如何移動就得到）；=一2/的圖象（）

A.向左移動1個單位，向上移動3個單位。B.向右移動1個單位，向上移動3個單位。

C.向左移動1個單位，向下移動3個單位。D.向右移動1個單位，向下移動3個單位。

8、若函數(shù)y=af+x+l的圖像與x軸只有一個公共點(diǎn)，則。=—

3

9、在直角坐標(biāo)系中，拋物線yuf+jnr-一機(jī)2（〃2>0）與x軸交于A、B兩點(diǎn),若A、B兩點(diǎn)

4

到原點(diǎn)的距離分別為。4、OB,且滿足—!——-=則加=.

OBOA3

10、把拋物線y=-3（x—2）-向上平移左個單位，所得拋物線與X軸交于點(diǎn)4（石,0）,8仇，0）

如果x：+x；=10,那么k的值為o

11、已知拋物線＞=@一。）（工一（:一4）一2與》軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為。、b（a、6為常數(shù)）,

且.＜力，則,一（?|+|。-4的值為.

12、二次函數(shù)y=o?+/；x+c的圖像與x軸有兩個交點(diǎn)M、N,頂點(diǎn)為R,若ANINR恰好是

等邊三角形，貝4ac=。

13、二次函數(shù)丫=〃2+法+。的圖象如圖所示，Q（〃，2）是圖象上的一點(diǎn)，且AQ_LBQ,

則。的值為（）.

（A）—（B）（C）—1（D）—2

32

必已知。是正常數(shù)’且關(guān)于'的方程為+白=點(diǎn)逅僅有一個實(shí)數(shù)根’求實(shí)數(shù)"的

取值范圍.

【題型三】二次函數(shù)（2）

例3：（1）求函數(shù)y=/_2a+3在0號《］上的最大值;

（2）求函數(shù)y=xl-2x-\-3在上的最大值；

⑶求函數(shù)、=一工（工一。）在一上的最大值.

10.函數(shù)/(x)=x2-2az+1在區(qū)間［—1?1］上的最小值記為g(a)

(1)求g(a)的解析式；

(2)求g(a)的最大值。

例4：已知關(guān)于x的方程下一(2m-3)工+加一4=0的兩實(shí)根為a,0若

(1)兩根都為正數(shù)；

(2)兩根異號；

(3)兩根都大于1；

(4)一根不大于1,另一根不小于1.

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例5：關(guān)于1的方程"一面+。-1=0在有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1、己知方程/+(。-3卜+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，并且恰有一個解大于1小于2,

則a的取值范圍是?

2、二次函數(shù)y=/(x)=pf+qx+r,若r=一(一；.

求證：(1)<0；(2)方程，(無)=0在(0,1)內(nèi)恒有解.

(a+l)x~+(a+3)x+2?！?

3、/(x)定義域?yàn)镈,/(X)〉。在定義域D內(nèi)恒成立,

(2Q—I,?+(Q++Q—4

求〃的取值范圍？

)

(2)若有拋物線y=-x2+a{a<13),求它與〃帽子函數(shù)〃圖像的交點(diǎn)個數(shù)，

57

(3)請?jiān)噷懗鲆粋€拋物線解析式，使它與〃帽子函數(shù)〃圖像有且只有2個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為一,一

22

【題型四】函數(shù)綜合題

3

1、如圖，已知一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=二的圖像交于4、8兩點(diǎn)。

X

3

(1)求A、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)對于不等式工-2<一,請直接寫出使之成立的x的取值范圍.

x

2、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個定點(diǎn)A(x，y),B(x2,y2),C(x3,y3),。(幾，”)，

其中％+Z+馬+/=8,乂+必+%+%=%,試確定一點(diǎn)P的坐標(biāo)，使點(diǎn)P

到A,B,C,。四個點(diǎn)的距離的平方和最小.

3、y=ax2+fex+ciiA(—3>0),8(1,0),頂點(diǎn)M(t,4),

(1)求a、b、c的值，

(2)C(T,—6),0(1,—1)，尸在拋物線上位于x軸上方，求當(dāng)鼠口》最大時，P點(diǎn)坐標(biāo).

(59

4、如圖，拋物線過點(diǎn)A(8,14),頂點(diǎn)為:，求

128

(1)拋物線解析式；

(2)B、C、。點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若P為x軸上任意一點(diǎn)，比較B4+PB與BC+4c.的大小.

5、如圖，已知點(diǎn)P是拋物線丁=工/+1上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到*軸距離為&,點(diǎn)P與點(diǎn)尸(0,2)

的距離為4.

(1)證明d}=d2；

(2)若直線P尸交此拋物線于另一點(diǎn)。(異于P點(diǎn))，

試判斷以PQ為直徑的圓與工軸的位置關(guān)系，并說明理由.

1,

6、已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(0,1),(0,-1),點(diǎn)P是拋物線y=上的一個動點(diǎn).

(1)求證：以點(diǎn)P為圓心，9為半徑的圓與直線y=-l的相切；

1

(2)設(shè)直線與拋物線y=9的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)。，連接痔，NQ,求證：4PNM=NQNM.

r~]、

RN

7、已知直線丁=履一4(A>0)與x軸和y軸分別交于AC兩點(diǎn)，開口向上的拋物線

ynor2+Z?x+c過A,C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)8。

(1)如果A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)。的距離A。、3。滿足A0=330,點(diǎn)5到直線AC的距離等于當(dāng),

求這條直線和拋物線的解析式；

8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點(diǎn)5,聯(lián)結(jié)。4,

拋物線y=f從點(diǎn)。沿Q4方向平移，與直線％=2交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動。

(1)求線段0A所在直線的函數(shù)解析式

(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是m,

①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P得坐標(biāo)

②當(dāng)初為何值時，線段PB最短

x=2

9、如圖，拋物線y=o%2+bx+c經(jīng)過a(_3,o),8(0,3),C(1,O)

(1)求此拋物線的解析式

(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn)，(不與A、B重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F,

交直線A6于點(diǎn)E,作PD_LAB于點(diǎn)。

①動點(diǎn)P在什么位置時，的周長最大，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②連接R4,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨之

改變，當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)(結(jié)果保留根號)

10.二次函數(shù)/（X）的圖像開口向上，與X軸交于48兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,以。為頂點(diǎn),

若三角形小的外接圓與,軸相切，且3=5。。，則"。時，當(dāng)?shù)淖钚≈凳?/p>

8、（2013交附）如圖，有半徑為2的口才,4（0/），直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)4,與醐相交于點(diǎn)

P（xt,yt）,。（》2，力），且乂＞0

⑴求P、。的坐標(biāo)：

（2）以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)X，求解析式：

⑶在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)A1,使△4?枇的周長最小，求M的坐標(biāo).

6

【題型五】絕對值問題、高斯函數(shù)

1、已知為實(shí)數(shù)，滿足acewO,已知/+目+|以+《="+/對于任意力都成立,

貝ijcid-bc=.

2、若函數(shù)y=g（x2-ioox+196+k2-io（）x+196|）,則當(dāng)自變量x取值1,2,3,,100,這100

個自然數(shù)時，函數(shù)值的和是.

例題3若關(guān)于1的方程|/-2z-3|m=0有四個解,求雌利的取值范圍。

例題4若關(guān)于z的方程/一2|—3—機(jī)=0有三個解，求實(shí)數(shù)機(jī)的值。

5、當(dāng)a=時，方程|2x+l|=x+a恰有兩解，且兩解只差為3.

6、若方程1=x+z恰有三解（相等實(shí)根算一解），則k的值是—

例題2作出函數(shù)y=|2—31+12—1I的圖像。

求函數(shù)|%—1|+|)+2|=2的圖像所圍成的圖形的面積.

例題1若表示實(shí)數(shù)。的整數(shù)部分，求片六方的值。

例3：解方程高一㈤-2=0.

【題型六】解析幾何問題

I、在如圖所示的28個點(diǎn)形成的點(diǎn)陣中，每個點(diǎn)與它最鄰近的點(diǎn)相距1個單位.線段A3與線段CD

相交于點(diǎn)E，則線段AE的長度是。

2、定義：平面內(nèi)的直線4與4相交于點(diǎn)。，對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,點(diǎn)M到直線/r4的距離

分別為a、b,則稱有序非實(shí)數(shù)對（。1）是點(diǎn)用的"距離坐標(biāo)”，根據(jù)以上定義，距離坐標(biāo)為（2,3）的

點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3、在直角坐標(biāo)系中，有一個半徑為2的圓。和一個半徑為1的圓。2,它們的圓心坐標(biāo)分別為

4（2,0）和。2（5,0），一條直線丁=丘+力與這兩個圓相切，且切點(diǎn)都在第一象限，則

k+b=.

4、在平面直角坐標(biāo)系中，以直線y=x—2向上的方向?yàn)榱溯S的正方向，

過點(diǎn)（一2,0）作一條與x軸垂直的直線，垂足是點(diǎn)?！?，該直線向上的方向?yàn)閥軸的正方向，

由此建立新的坐標(biāo)系xOy,則y'軸所在直線在xOy坐標(biāo)系中的方程是

點(diǎn)P在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是（3,10）,在％0'y坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是。

5、設(shè)A（0,-2）,B（4,2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，尸是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)，如果P

與點(diǎn)C（l,5）的距離等于2痣，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

6、坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于執(zhí)行y=x+4翻折后的點(diǎn)的坐標(biāo)為

7、已知點(diǎn)A(l,3),8(5,—2),在x軸上找一點(diǎn)P,使|AP—研最大，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

是.

【題型七】應(yīng)用題

1、寒山寺每隔9秒敲一次鐘，第一次敲鐘時，甲、乙兩船分別向上、下游駛?cè)?，速度分別

為3帆/s,9m/s,當(dāng)甲船聽到第108聲時，乙船只能聽見第聲.(％=3()()m/S)

2、甲、乙兩人分兩次在同一糧店內(nèi)買糧食，兩次的單價(jià)不同，甲每次購糧100千克，乙每次

購糧100元。若規(guī)定：誰兩次購糧的平均單價(jià)低，誰的購糧方式就合算。那么這兩次購糧()

A、甲合算8、乙合算C、甲、乙一樣。、要看兩次的價(jià)格情況

3、王師傅圍一塊一面靠墻長方形花圃，面積為50加2,如果不靠墻的三面用竹籬笆去圍。

那么，竹籬笆最少需要________加長。

4、一名考生步行前往考場，1()分鐘走了總路程的工，估計(jì)步行不能準(zhǔn)時到達(dá)，于是他改乘出租車

4

趕往考場，他的行程與時間關(guān)系如圖所示(假定總路程為1),則他到達(dá)考場所花的時間比一直步行

提前了()

A.20分鐘B.22分鐘C.24分鐘D.26分鐘

5、某超市去年12月份的銷售額為100萬元，今年2月份的銷售額比今年1月份的銷售額多24萬元,

若去年12月份到今年2月份每個月銷售額增長的百分?jǐn)?shù)相同.

求：(1)這個相同的百分?jǐn)?shù)；(2)2月份的銷售額.

6、某商店將進(jìn)貨價(jià)每個10元的商品按每個18元出售時，每天可賣出60個。商店經(jīng)理到市場上

做了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將每種商品的售價(jià)（在每個18元的基礎(chǔ)上）每提高1元，則日銷售量

就減少5個；若將每種商品的售價(jià)（在每個18元的基礎(chǔ)上）每降低1元，則日銷售量就增加10個.

為獲得每日最大的利潤，此商品售價(jià)應(yīng)定為每個多少錢?

7、張阿姨準(zhǔn)備在某商場購買一件衣服、一雙鞋和一套化妝品，這三件物品的原價(jià)和優(yōu)惠方式如下表

所示:

欲購買的

原價(jià)（元）優(yōu)惠方式

商品

每付現(xiàn)金200元，返購物券200元，且付款時可以使用購

一件衣服420

物券

每付現(xiàn)金200元，返購物券200元，但付款時不可以使用

一雙鞋280

購物券

一套化妝品300付款時可以使用購物券，但不返購物券

請幫張阿姨分析一下，選擇一個最省錢的購買方案.此時，張阿姨購買這三件物品

實(shí)際所付出的錢的總數(shù)為（）

A.500元B.600元C.700元D.800元

8、在某條件下的汽車測試中，駕駛員在一次加滿油后的連續(xù)行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息:

時間油耗（升/100公里）可繼續(xù)行駛距離（公里）

10:009.5300

11:009.6220

其中'油耗Vig瑞黑A可繼續(xù)行駛距離=嗑霜

平均油底=指定時間內(nèi)的用油量

指定時間內(nèi)的行駛距離

從上述信息可以推斷在10:00—11:00這一小時內(nèi)，下列判斷中所有的正確序號是.

①向前行駛的里程為80公里;

②向前行駛的里程不足80公里;

③平均油耗超過9.6升/100公里;

④平均油耗恰為9.6升/100公里;

⑤平均車速超過80公里/小時.

9、某商場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機(jī)，這兩種手機(jī)的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示:

甲乙

進(jìn)價(jià)（元/部）40002500

售價(jià)（元/部）4300300

該商場計(jì)劃購進(jìn)兩種手機(jī)若干部，共需15.5萬元，預(yù)計(jì)全部銷售后可獲毛利潤共2.1萬元.

（毛利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）x銷售量）

（1）該商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種手機(jī)各多少部？

（2）通過市場調(diào)研，該商場決定在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上，減少甲種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量，增加乙種手機(jī)的

購進(jìn)數(shù)量.已知乙種手機(jī)增加的數(shù)量是甲種手機(jī)減少的數(shù)量的2倍，而且用于購進(jìn)這兩種手機(jī)的總資

金不超過16萬元，該商場怎樣進(jìn)貨，使全部銷售后獲得的毛利潤最大？并求出最大毛利潤.

10、“蝴蝶效應(yīng)''一次是由美國氣象學(xué)家愛德華?羅倫茲于1963年創(chuàng)造的，指在一個復(fù)雜環(huán)境中，微

小的變化能帶動整個環(huán)境的巨大的連鎖反應(yīng)。羅倫茲用這樣的話來形容這種效應(yīng)--“蝴蝶在熱帶輕

輕煽動一下翅膀，遙遠(yuǎn)的國家就可能造成一場颶風(fēng)”。實(shí)際上，中國古代的思想家對于“蝴蝶效應(yīng)”早

已有很深刻的認(rèn)識，如，1300多年前的《禮記?經(jīng)解》中就有這樣的語句：“《易》日：’君子慎始,

差若毫厘，謬以千里”今天，“蝴蝶效應(yīng)”對人類生活的影響更加突出，如全球的經(jīng)濟(jì)危機(jī)、甲型

H1N1流感等。請回答下面問題：

（1）將一張面積足夠大，而厚度為0