2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)4.4-4.5指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較信息技術(shù)支持的函數(shù)研究練測(cè)評(píng)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較信息技術(shù)支持的函數(shù)探討必備學(xué)問基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層學(xué)問點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的差異1.當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)當(dāng)是()A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x2．四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x改變的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變的變量是________.學(xué)問點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較3.下面對(duì)函數(shù)f(x)＝logx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減狀況的敘述正確的是()A．f(x)的衰減速度漸漸變慢，g(x)的衰減速度漸漸變快，h(x)的衰減速度漸漸變慢B．f(x)的衰減速度漸漸變快，g(x)的衰減速度漸漸變慢，h(x)的衰減速度漸漸變快C．f(x)的衰減速度漸漸變慢，g(x)的衰減速度漸漸變慢，h(x)的衰減速度漸漸變慢D．f(x)的衰減速度漸漸變快，g(x)的衰減速度漸漸變快，h(x)的衰減速度漸漸變快4．當(dāng)2<x<4時(shí)，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是()A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x5．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)．(2)結(jié)合函數(shù)圖象，推斷f(6)，g(6)的大?。畬W(xué)問點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用6.某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，打算制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的嘉獎(jiǎng)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨生源利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)嘉獎(jiǎng)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？關(guān)鍵實(shí)力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練其次層1．四人賽跑，假設(shè)其跑過的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，假如他們始終跑下去，最終跑在最前面的人對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log3xD．f4(x)＝2x2．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長(zhǎng)的速度比一次函數(shù)增長(zhǎng)的速度快B．對(duì)隨意的x>0，xa>logaxC．對(duì)隨意的x>0，ax>logaxD．肯定存在x0，當(dāng)x>x0，a>1，n>0時(shí)，總有ax>xn>logax3．已知－1<α<0，則()A．0.2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>2αB．2α>0.2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))αC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>0.2α>2αD．2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>0.2α4．有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y413284976下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)5．據(jù)報(bào)道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)削減了10%，若按此規(guī)律，設(shè)2024年的湖水量為m，從2024年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()A．y＝0.9B．y＝(1－0.1)mC．y＝0.9mD．y＝(1－0.150x)m6．(探究題)某校甲、乙食堂某年1月份的營(yíng)業(yè)額相等，甲食堂的營(yíng)業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營(yíng)業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知該年9月份兩食堂的營(yíng)業(yè)額又相等，則該年5月份()A．甲食堂的營(yíng)業(yè)額較高B．乙食堂的營(yíng)業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營(yíng)業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營(yíng)業(yè)額較高7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________．8．某種病菌經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知這種病菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt(k為常數(shù)，t為時(shí)間，單位：小時(shí))，y表示病菌個(gè)數(shù)，則k＝________，經(jīng)過5小時(shí)，1個(gè)病菌能繁殖為________個(gè)．9．(易錯(cuò)題)某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說法：①前三年產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的的序號(hào)是________．10．函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖．(1)指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．學(xué)科素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選題)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)動(dòng)身向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則以下結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>1時(shí)，甲走在最前面B．當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最終面C．丙不行能走在最前面，也不行能走在最終面D．假如它們始終運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲2．若已知16<x<20，利用圖象可判出x和log2x的大小關(guān)系為________．3．(情境命題—生活情境)2024年，新型冠狀病毒的傳播給我國(guó)人民生產(chǎn)生活帶來很大的影響．經(jīng)過監(jiān)測(cè)，某地區(qū)第1周、第2周、第3周患這種傳染病的人數(shù)分別為52,54,58.為了預(yù)料以后各周的患病人數(shù)，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數(shù)，x為周數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果第4周、第5周、第6周的患病人數(shù)分別為66,82,115，你認(rèn)為誰選擇的模型較好？§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較§5信息技術(shù)支持的函數(shù)探討必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，則當(dāng)x越來越大時(shí)，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x增長(zhǎng)速度最快．故選D.答案：D2．解析：以爆炸式增長(zhǎng)的變量是呈指數(shù)函數(shù)改變的，從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2起先改變，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)改變．答案：y23．解析：由函數(shù)f(x)＝logx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝x－eq\f(1,2)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象(圖略)知函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)的衰減速度均漸漸變慢，故選C.答案：C4．解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖象(圖略)，由圖象，可知在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象．所以當(dāng)2<x<4時(shí)，x2>2x>log2x.答案：B5．解析：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.由圖可知g(6)>f(6)．6．解析：作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如下圖所示)．視察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進(jìn)行嘉獎(jiǎng)才符合學(xué)校的要求．關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的圖象(圖略)，可知當(dāng)x>4時(shí)，f4(x)>f1(x)>f2(x)>f3(x)，故選D.答案：D2．解析：對(duì)于A，冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度受指數(shù)影響，指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長(zhǎng)速度不能比較，而B，C中xa，logax，ax的大小都受a的影響，選D.答案：D3．解析：∵eq\f(1,2)>0.2，－1<α<0，∴2α<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α<0.2α.故選A.答案：A4．解析：通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長(zhǎng)速度越來越快，而A、D中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越慢，B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變，故選C.答案：C5．解析：設(shè)每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9eq\f(1,50).∴x年后的湖水量為y＝0.9eq\f(x,50)m.答案：C6．解析：設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營(yíng)業(yè)額均為m，甲食堂的營(yíng)業(yè)額每月增加a(a>0)，乙食堂的營(yíng)業(yè)額每月增加的百分率為x.由題意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營(yíng)業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營(yíng)業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a).因?yàn)閥eq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故該年5月份甲食堂的營(yíng)業(yè)額較高．答案：A7．解析：當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長(zhǎng)要快，∴x2要比xlnx增長(zhǎng)得要快．答案：y＝x28．解析：設(shè)病菌原來有1個(gè)，則半小時(shí)后為2個(gè)，得2＝e，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(個(gè))．答案：2ln210249．解析：由t∈[0,3]的圖象聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xα(0<α<1)．反映了C隨時(shí)間的改變而漸漸增長(zhǎng)但速度越來越慢．由t∈[3,8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有改變，即第三年后停止生產(chǎn)，所以②③正確．答案：②③10．解析：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>f(x)．學(xué)科素養(yǎng)升級(jí)練1．解析：路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．它們相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)和對(duì)數(shù)型函數(shù)模型．當(dāng)x＝2時(shí)，f1(2)＝3，f2(2)＝8，∴選項(xiàng)A不正確；依據(jù)四種函數(shù)的改變特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的改變是先快后慢，當(dāng)x＝1時(shí)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體重合，從而可知當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最終面，∴選項(xiàng)B正確；結(jié)合對(duì)數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象改變狀況，可知丙不行能走在最前面，也不行能走在最終面，∴選項(xiàng)C正確；指數(shù)函數(shù)改變是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，最前面的物體肯定是依據(jù)指數(shù)型函數(shù)運(yùn)動(dòng)的物體，即肯定是甲物體．∴選項(xiàng)D正確．故選B、C、D.答案：BCD2．解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內(nèi)，x>log2x；x＝4或x＝16時(shí)，x＝log2x；在(4,16)內(nèi)x<log2x；在(16,20)內(nèi)x>log2x.答案：x>log2x3．解析：依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al