2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷-第四章數(shù)列A卷含解析

PAGEPAGE23第四章數(shù)列A卷基礎(chǔ)過關(guān)必刷卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿意：，的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時，（）A． B． C． D．3．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個宏大成就.在“楊輝三角”中，第行的全部數(shù)字之和為，若去除全部為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前35項(xiàng)和為（）A．994 B．995 C．1003 D．10044．高斯，德國聞名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，高斯在幼年時首先運(yùn)用了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)建了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則n的值為（）A．8 B．11 C．13 D．175．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．6．定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（）．A． B． C． D．7．在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為（），有下列敘述：（1）若，則必有；（2）若，則必有；（3）若，則必有.其中敘述正確的序號是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）8．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿意，則（）A． B． C．2 D．2024二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為4040 B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C． D．若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為10．我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是依據(jù)日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及晷長改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法正確的是（）A．相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量為一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．小雪的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長短11．《張丘建算經(jīng)》是中國古代眾多數(shù)學(xué)名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從其次天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了9匹3丈，問從其次天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若這個月有30天，記該女子這個月中第天所織布的尺數(shù)為，，則（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．12．如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形的邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿意，其中數(shù)列是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)數(shù)列滿意，，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為___________．14．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列前n項(xiàng)和為______.15．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}滿意：存在三個不同的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列，a2r，a2s，a2t也成等比數(shù)列，則的最小值為__.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，若對隨意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）已知數(shù)列滿意，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿意，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，且對隨意的正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且是和的等差中項(xiàng)，求滿意的正整數(shù)的集合.20．?dāng)?shù)列滿意，且（且）．（1）求、，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．21．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若有，求證：．22．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對隨意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”.（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n（n∈N），證明：{an}是“H數(shù)列”；（2）設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1=1，公差d<0.若{an}是“H數(shù)列”，求d的值；（3）證明：對隨意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N）成立一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意數(shù)列中，，，，，整理得，由于，故解得.，以此類推，所以.故選：C2．已知數(shù)列滿意：，的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時，（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)，時，，即，∴.故選：D3．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個宏大成就.在“楊輝三角”中，第行的全部數(shù)字之和為，若去除全部為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前35項(xiàng)和為（）A．994 B．995 C．1003 D．1004【答案】B【解析】沒有去掉“1”之前，第1行的和為，第2行的和為，第3行的和為，以此類推，即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則前項(xiàng)和為．每一行的個數(shù)為1，2，3，4，…，可以看成構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則前項(xiàng)總個數(shù)為．當(dāng)時，，去掉兩端“1”，可得，則去掉兩端“1”后此數(shù)列的前36項(xiàng)和為，所以第36項(xiàng)為第10行去掉“1”后的最終一個數(shù)為，所以該數(shù)列的前35項(xiàng)和為．故選：B.4．高斯，德國聞名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，高斯在幼年時首先運(yùn)用了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)建了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則n的值為（）A．8 B．11 C．13 D．17【答案】D【解析】依據(jù)題意，，，，即，兩式相加得到所以，故選：D．5．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若，則，，即為，，即，，則．故選：A6．定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，∴，當(dāng)時，，驗(yàn)證知當(dāng)時也成立，∴，∴，∴∴．故選：D．7．在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為（），有下列敘述：（1）若，則必有；（2）若，則必有；（3）若，則必有.其中敘述正確的序號是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【解析】對于（1）若，則有，則有，所以，所以.因?yàn)?，，所以，所以，所以，所?故（1）正確.對于（2）若，則有，所以.故（2）正確；對于（3）若，則有，因?yàn)?，所?所以，所以,即.故（3）正確.故選：D8．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿意，則（）A． B． C．2 D．2024【答案】D【解析】，得，則，又是等比數(shù)列，則，所以；，所以.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為4040 B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C． D．若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為【答案】AD【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，設(shè)的公差為，則有，解得，，故，若，則的前2024項(xiàng)，故A正確；由，得，令，則當(dāng)時，，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故B錯誤；由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，故C錯誤；若，則的前2024項(xiàng)和，故D正確，故選：AD.10．我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是依據(jù)日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及晷長改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法正確的是（）A．相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量為一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．小雪的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長短【答案】AB【解析】現(xiàn)以寸為單位，由題意可知，由夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中，，公差.同理可得，由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中，，公差，故相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量為十寸，即一尺，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)榇悍值年虚L為，所以，因?yàn)榍锓值年虚L為，所以，故春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)樾⊙┑年虚L為，所以，即一丈一尺五寸，故小雪的晷長為一丈一尺五寸，故選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)榱⒋旱年虚L和立秋的晷長分別為，，，，所以，故立春的晷長比立秋的晷長長，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AB.11．《張丘建算經(jīng)》是中國古代眾多數(shù)學(xué)名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從其次天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了9匹3丈，問從其次天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若這個月有30天，記該女子這個月中第天所織布的尺數(shù)為，，則（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】BD【解析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，則，解得，∴.∵，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確；∵，∴，A選項(xiàng)錯誤；，∴，C選項(xiàng)錯誤；，，∴，D選項(xiàng)正確.故選：BD.12．如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形的邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿意，其中數(shù)列是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AB【解析】為中點(diǎn)，，即，三點(diǎn)共線，，又，，化簡得：，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，B正確；，，C錯誤；則，A正確；，D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)數(shù)列滿意，，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為___________．【答案】2024【解析】當(dāng)時，，，，，從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列.又，，，，，當(dāng)時，，（），當(dāng)時，.又，.故答案為：202414．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列前n項(xiàng)和為______.【答案】【解析】由題意，，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，∴，解得，，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，，故，，故答案為：15．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}滿意：存在三個不同的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列，a2r，a2s，a2t也成等比數(shù)列，則的最小值為__.【答案】45【解析】依據(jù)題意，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)an＝pn+q，若存在三個不同的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列，a2r，a2s，a2t也成等比數(shù)列，則有，即聯(lián)立兩式，變形可得p2rt＝p2s2，又由等差數(shù)列{an}的公差不為0，即p≠0，則有rt＝s2，可得pq（r+t）＝2pqs，又由r，s，t互不相等且rt＝s2，則r+t≠2s，必有q＝0，則an＝pn，所以S1＝a1＝p，Sn＝＝，故＝＝++，設(shè)f（n）＝++，則f（n）＝++≥2+＝2+，當(dāng)且僅當(dāng)n2＝1980時等號成立，此時n不是正整數(shù)，不符合題意，而44＜＜45，所以f（44）＝++＝45，f（45）＝＝45，則有f（45）＝f（44），即的最小值為45故答案為：45.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，若對隨意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】由題意，知，所以，當(dāng)時也滿意上式，所以，所以，又因?yàn)閷﹄S意的，都有，所以且，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）已知數(shù)列滿意，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿意，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）將兩邊倒過來變形可知是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求出，從而可得；（2）將兩邊同時除以，得，利用累加法可求得結(jié)果．（1）由得，，∴是常數(shù)．又，∴是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．∴，∴．（2）將兩邊同時除以，得，則，∴則．18．已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，且對隨意的正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．【答案】證明見解析；．【解析】證明：由題知，得，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合題意，所以，又所以.19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且是和的等差中項(xiàng)，求滿意的正整數(shù)的集合.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，且是和的等差中項(xiàng)，則，當(dāng)時，，整理得：，而，即，因此得，數(shù)列是公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為，，，而，于是得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則，由得：，即，解得，而，則或，所以所求的正整數(shù)的集合是.20．?dāng)?shù)列滿意，且（且）．（1）求、，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1），，證明見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋遥ㄇ遥?，則，，由已知可得，，則對隨意的，，所以當(dāng)時，，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）可知，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，，因此，.21．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若有，求證：．【答案】（1）；；（2）證明見解析．【解析】（1）當(dāng)時，，即，化簡整理，得，解得：或（舍去），當(dāng)時，由，可得，兩式相減可得，即所以，將代入，可得，解得：，當(dāng)時，由，可得，兩式相減可得，整理得:，且也滿意上式，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，故．22．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對隨意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”.（1）若數(shù)列{an