二次根式知識點總結及習題帶答案

【基礎知識鞏固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、取值范圍1.

二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.

二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。三、二次根式（）的非負性（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數(shù)的算術平方根是正數(shù)，0的算術平方根是0，所以非負數(shù)（）的算術平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術平方根的性質(zhì)，及絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應用較多，如若，則00；若，則00；若，則00。四、二次根式（）的性質(zhì)：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.五、二次根式的性質(zhì)：一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù),即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。六、及的異同點1、不同點：及表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但及都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結果是有差別的，

，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.七、二次根式的運算1、最簡二次根式必須滿足以下兩個條件（1）被開方數(shù)不含分母，即被開方的因式必須是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都是1.2、乘法法則：=·（a≥0，b≥0）；積的算術平方根的性質(zhì)即乘法法則的逆用.3、除法法則：（b≥0，a>0）；商的算術平方根的性質(zhì)即除法法則的逆用.4、合并同類項的法則：系數(shù)相加減，字母的指數(shù)不變.5、二次根式的加減（1）二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。（2）步驟：如果有括號，根據(jù)去括號的法則去掉括號；把不是最簡二次根式的二次根式化簡；合并被開方數(shù)相同的二次根式。6、混合運算：及有理數(shù)的運算一致，先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號先算括號里面。有理數(shù)的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算．二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。 解：（1）要使有意義，必須，由得，當時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 （2）要使有意義，必須的范圍內(nèi)。當時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習：1、（1）當x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？②（3）當x是多少時，2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當時，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個．A．0B．1C．2D．無數(shù)3．已知5，求的值．4．若+有意義，則．5.若有意義，則的取值范圍是。最簡二次根式例2：把下列各根式化為最簡二次根式：解：同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式： 分析：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。 解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化： 分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如及，均為有理化因式。 解：求值：例5：計算： 分析：迅速、準確地進行二次根式的加減乘除運算是本章的重點內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運算順序及有意識的使用運算律，尋求合理的運算步驟，得到正確的運算結果。 解：（1）原式化簡：例6：化簡： 分析：應注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來進行化簡，使運算變得簡單。 解： 例7：化簡練習： 解：化簡求值： 例8：已知： 求：的值。 分析：如果把a，b的值直接代入計算的計算都較為繁瑣，應另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計算，然后將求值式子化為的形式。 解： 小結：顯然上面的解法非常簡捷，在運算過程中我們必須注意尋求合理的運算途徑，提高運算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應用，大家應有意識的總結及積累。例9：在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：[來源:學*科*網(wǎng)Z*X*X*K]1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）2、x4－2x2－3．【提示】先將x2看成整體，利用x2＋＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．例10、綜合應用：如圖所示的△中，∠90°，點P從點B開始沿邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△的面積為35平方厘米？的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）一、選擇題：在以下所給出的四個選擇支中，只有一個是正確的。1、成立的條件是： A． B． C． D．2、把化成最簡二次根式，結果為： A． B． C． D．3、下列根式中，最簡二次根式為： A． B． C． D．4、已知t<1，化簡得： A． B． C．2 D．05、下列各式中，正確的是： A． B． C． D．6、下列命題中假命題是： A．設 B．設 C．設 D．設7、及是同類根式的是： A． B． C． D．8、下列各式中正確的是： A． B． C． D．三、1、化簡 2、已知： 求：【答案】：一、選擇題： 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、計算：三、二次根式測試題（一）1．下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．若，則（）A．b>3B．b<3C．b≥3D．b≤33．若有意義，則m能取的最小整數(shù)值是（）A．0B．1C．2D．34．若x<0，則的結果是（）A．0B．—2C．0或—2D．25．下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A．B．C．D．6．如果，則（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x為一切實數(shù)7．小明的作業(yè)本上有以下四題：①；②；③；④。做錯的題是（）A．①B．②C．③D．④8．化簡的結果為（）A．B．C．D．9．若最簡二次根式的被開方數(shù)相同，則a的值為（）A．B．C．1D．—110．化簡得（）A．—2B．C．2D．11．①；②。12．二次根式有意義的條件是。13．若m<0，則=。14．成立的條件是。15．比較大?。?。16．，。17．計算=。18．的關系是。19．若，則的值為。20．化簡的結果是。21．求使下列各式有意義的字母的取值范圍：（1）（2）（3）（4）22．化簡：（1）（2）（3）（4）23．計算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）24．若x，y是實數(shù)，且，求的值。二次根式（一）1．C2．D3．B4．D5．A6．B7．D8．C9．C10．A11．①0.3②12．x≥0且x≠913．—m