數(shù)學(xué)選修2-3課件第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1

3.1

獨(dú)立性檢驗(yàn)第3章

統(tǒng)計(jì)案例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解2×2列聯(lián)表的意義.2.了解統(tǒng)計(jì)量χ2的意義.3.通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)答案可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計(jì)分析定量判斷.知識點(diǎn)一2×2列聯(lián)表思考

山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動(dòng)時(shí)間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動(dòng)方式，結(jié)果整理成下表：答案

體育文娛合計(jì)男生210230440女生60290350合計(jì)270520790如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？

Ⅱ

類1類2合計(jì)Ⅰ類Aab_____類Bcd______合計(jì)_________a＋b＋c＋d(1)2×2列聯(lián)表的定義對于兩個(gè)研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)：梳理a＋bc＋da＋cb＋d(2)χ2統(tǒng)計(jì)量的求法知識點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念用χ2統(tǒng)計(jì)量研究兩變量是否有關(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).知識點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：(1)提出假設(shè)H0：

；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表及χ2公式，計(jì)算

的值；Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系χ2表示在H0成立的情況下，事件“

”發(fā)生的概率.(3)查對臨界值，作出判斷.其中臨界值如表所示：χ2≥x0P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.推斷依據(jù)(1)若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”.(2)若χ2＞6.635，那么有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”.(3)若χ2＞2.706，那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”.(4)若χ2≤2.706，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系.題型探究例1

在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表.解作列聯(lián)表如下：解答類型一2×2列聯(lián)表

喜歡甜食不喜歡甜食合計(jì)男117413530女492178670合計(jì)6095911200分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟.表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果.反思與感悟則表中a，b的值分別為____，_____.解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.跟蹤訓(xùn)練1

(1)下面是2×2列聯(lián)表：答案解析52

54

y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100(2)某學(xué)校對高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中有213名在考前心情緊張.作出2×2列聯(lián)表.解作列聯(lián)表如下：解答

性格內(nèi)向性格外向合計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計(jì)4265941020例2

對196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示.類型二由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)解答

又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別.解假設(shè)病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)沒有關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392，因?yàn)棣?≈1.779<2.706，所以不能得出病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)有關(guān)系的結(jié)論，即這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響沒有差別.獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；解答解2×2列聯(lián)表如下所示：

贊同不贊同總計(jì)老教師101020青年教師24630總計(jì)341650(2)判斷是否有99%的把握說明對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系.解假設(shè)“對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)”.解答≈4.963<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān).例3

電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖如圖.類型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷“體育迷”與性別是否有關(guān)？解答

非體育迷體育迷合計(jì)男

女

1055合計(jì)

解由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：

非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得因?yàn)?.706<3.030<3.841，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的概率分布，均值E(X)和方差V(X).解答P(χ2≥x0)0.100.050.01x02.7063.8416.635解由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟第一步，假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y無關(guān)系；第二步，找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表；第三步，由公式χ2＝

(其中n＝a＋b＋c＋d)計(jì)算出χ2的值；第四步，將χ2的值與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而作出統(tǒng)計(jì)推斷.這些臨界值，在高考題中常會附在題后，應(yīng)適時(shí)采用.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

某地區(qū)甲校高二年級有1100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，如下表：(已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級數(shù)學(xué)成績：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)10253530x乙校高二年級數(shù)學(xué)成績：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)153025y5(1)計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分；(精確到1分)解答解依題意知，甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人，∴x＝10，y＝15，估計(jì)兩個(gè)學(xué)校的平均分，甲校的平均分為乙校的平均分為(2)若數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”？解答

甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

又4.714>3.841，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”.解數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到2×2列聯(lián)表如下：

甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計(jì)11090200當(dāng)堂訓(xùn)練1.在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過計(jì)算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是______的.(填有關(guān)，無關(guān))答案23451有關(guān)則空格中的數(shù)據(jù)分別為：①____；②____；③____；④____.2.為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系，隨機(jī)抽查301名女性，得到如下所示的列聯(lián)表，試根據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空.答案2345186

180

229

301

經(jīng)常頭暈很少頭暈合計(jì)長發(fā)35①121短發(fā)37143②合計(jì)72③④3.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是_____.(填序號)①若χ2＞6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病；②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺?。虎廴魪摩?與臨界值的比較中得出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.答案23451解析③解析對于①，99%的把握是通過大量的試驗(yàn)得出的結(jié)論，這100個(gè)吸煙的人中可能全患肺病也可能都不患，是隨機(jī)的，所以①錯(cuò)；對于②，某人吸煙只能說其患病的可能性較大，并不一定患??；③的解釋是正確的.23451

心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)54504.某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：答案23451解析0.01根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝

≈15.968，因?yàn)棣?>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為_____.解析因?yàn)棣?>6.635，所以有99%的把握說禿發(fā)與患心臟病有關(guān)，故這種判斷出錯(cuò)的可能性有1－0.99＝