第1章二次函數(shù)全章復習與測試(原卷版+解析)

第1章二次函數(shù)全章復習與測試【知識梳理】一．二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．二．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．三．二次函數(shù)的性質二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．五．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．六．圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．七．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關系①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．八．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．九．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．十．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．十一．二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．對y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0時，當﹣≥q，則x＝q時，y取得最小值；x＝p時，y取得最大值當﹣≤p，則x＝q時，y取得最大值；x＝p時，y取得最小值當q≥﹣≥時，x＝﹣時，y取得最小值，x＝p時，y取最大值當≥﹣≥p時，x＝﹣，y取得最小值，x＝q時，y取得最大值a＜0時，同樣進行分類討論．【考點剖析】一．二次函數(shù)的定義（共4小題）1．（2022秋?金華期末）若y＝（m﹣2）x是二次函數(shù)，則m的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±2．（2022秋?諸暨市期末）已知y關于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±13．（2022秋?東陽市期中）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x4．（2023?天臺縣一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別為AB，BC上的點，DE，AF交于點G，AE＝BF＝x．若四邊形CDGF與△AEG的面積分別為S1，S2，則S1﹣S2與x的函數(shù)關系為（）A．正比例函數(shù)關系 B．一次函數(shù)關系 C．反比例函數(shù)關系 D．二次函數(shù)關系二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）5．（2023?拱墅區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+1和一次函數(shù)y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．6．（2023?寧波模擬）下列圖象中，函數(shù)y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（）A． B． C． D．三．二次函數(shù)的性質（共3小題）7．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限8．（2023?甌海區(qū)四模）已知兩點A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點C（x0，y0）是該拋物線的頂點，若y0≤y1＜y2，則x0的取值范圍是（）A．x0≤﹣2 B．x0＜1 C．﹣2＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜49．（2023?鹿城區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)，a≠0），下列選項正確的是（）A．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，8），則a＜0 B．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（3，1），則a＜0 C．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣5，5），則a＞0 D．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，﹣8），則a＞0四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（共2小題）10．（2023?鄞州區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個結論：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）其中正確結論有（）個A．2 B．3 C．4 D．511．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2（m為實數(shù)，且m≠2），當x≤0時，y隨x增大而減小，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2五．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共4小題）12．（2023?西湖區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b＝（x?x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2為常數(shù)），若1＜x1＜x2＜3，記t＝a+b，則（）A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜313．（2023?溫州模擬）已知二次函數(shù)上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）滿足x1＝3+x2，則下列結論中正確的是（）A．若，則y1＞y2＞﹣1 B．若，則y2＞0＞y1 C．若x1＜﹣，則y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，則y2＞y1＞014．（2023?衢州二模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象經(jīng)過（0，4），（8，5）兩點，若a＜0，0＜h＜8，則h的值可能為（）A．1 B．2 C．4 D．615．（2023?永嘉縣二模）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過三個不同的點A（0，4），B（m，4），C（3，n），則下列選項正確的是（）A．若m＝4，則n＜4 B．若m＝2，則n＜4 C．若m＝﹣2，則n＞4 D．若m＝﹣4，則n＞4六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共4小題）16．（2023?甌海區(qū)二模）將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣217．（2023?紹興模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，先向右平移2個單位，再向上平移2個單位后的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x﹣3）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣218．（2023?紹興模擬）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后得到新的拋物線，此拋物線恰好經(jīng)過點（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（）A．先向左平移8個單位，再向下平移4個單位 B．先向左平移6個單位，再向下平移7個單位 C．先向左平移4個單位，再向下平移6個單位 D．先向左平移7個單位，再向下平移5個單位19．（2023?舟山二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點M（m，y1），N（m+1，y2）為圖形G上兩點，若y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．七．二次函數(shù)的最值（共3小題）20．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標系中，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當ac＞0且a+c＝1時，p有最小值 B．當ac＞0且a+c＝1時，p有最大值 C．當ac＜0且c﹣a＝1時，p有最小值 D．當ac＜0且c﹣a＝1時，p有最大值21．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣822．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共10小題）23．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點在x軸，則c＝．24．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點坐標為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達式為．25．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．（2）當y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．26．（2023?臨平區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是實數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，﹣4），（0，﹣3）．①求該二次函數(shù)表達式；②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是拋物線上的點，且s＝x1+x2，求t的值；（2）若該二次函數(shù)滿足當x≥0時，總有y隨x的增大而減小，且過點（1，3），當a＜b時，求4a+b的取值范圍．27．（2023?西湖區(qū)校級三模）已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，求二次函數(shù)的表達式；（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點A，且這個點不是原點．①求證：m＝ab；②若y2y1的另一個交點B為二次函數(shù)y1的頂點，求b的值．28．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當b＝4，c＝3時，①求該函數(shù)圖象的頂點坐標；②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）當x≤0時，y的最大值為2；當x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達式．29．（2023?錢塘區(qū)三模）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（其中b、c為常數(shù)）．（1）當c＝﹣1，且函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，2）時，求函數(shù)的表達式及頂點坐標．（2）若該函數(shù)圖象的頂點坐標為（m，k），且經(jīng)過另一點（k，m），求m﹣k的值．（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過A（x1，y1），B（x1﹣t，y2），C（x1﹣2t，y3）三個不同點，記M＝y(tǒng)2﹣y1，N＝y(tǒng)3﹣y2，求證：M＜N．30．（2023?舟山三模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3）．點P在此拋物線上，其橫坐標為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若﹣1≤x≤d時，﹣1≤y≤8，則d的取值范圍是．（3）點P和點A之間（包括端點）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當圖象G的最大值和最小值差是5時，求m的值．31．（2023?西湖區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的表達式為y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4．（1）若此函數(shù)圖象過點（1，3），求這個二次函數(shù)的表達式．（2）若（x1，y1）（x2，y2）為此二次函數(shù)圖象上兩個不同點，當x1+x2＝2時，y1＝y(tǒng)2，求a的值．（3）若點（﹣1，t）在此二次函數(shù)圖象上，且當x≥﹣1時y隨x的增大而增大，求t的范圍．32．（2023?龍灣區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若圖象經(jīng)過點（﹣1，8），求該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標．（2）當0≤x≤m時，1≤y≤9，求a和m的值．九．二次函數(shù)的三種形式（共1小題）33．（2023?定海區(qū)模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5化為y＝（x﹣h）2+k的形式為．一十．拋物線與x軸的交點（共2小題）34．（2023?余杭區(qū)校級模擬）已知，二次函數(shù)y＝x2+2x+c的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若圖象上另有一點P（m，n），則（）A．當n＞0時，m＜x1 B．當n＞0時，m＞x2 C．當n＜0時，m＜0 D．當n＜0時，x1＜m＜x235．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（2，3）．（1）求b，c的值；（2）結合圖象，求當y＞0時x的取值范圍；（3）平移該二次函數(shù)圖象，使其頂點為A點．請說出平移的方法，并求平移后圖象所對應的二次函數(shù)的表達式．一十一．圖象法求一元二次方程的近似根（共1小題）36．（2022秋?嘉興期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自變量x與函數(shù)y的對應值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5mm﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，則下面敘述正確的是（）A．該函數(shù)圖象開口向上 B．該函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸的下方 C．對稱軸是直線x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正數(shù)解，則2＜x1＜3一十二．二次函數(shù)與不等式（組）（共2小題）37．（2023?余杭區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b為常數(shù)，且ab≠0），則下列判斷正確的是（）A．若ab＜1，當x＞1時，則y1＞y2 B．若ab＞1，當x＜﹣1時，則y1＞y2 C．若ab＜﹣1，當x＜﹣1時，則y1＞y2 D．若ab＞﹣1，當x＞1時，則y1＞y238．（2022秋?嘉興期末）我們規(guī)定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函數(shù)叫做“M型”函數(shù)．如圖是“M型”函數(shù)y＝﹣x2+4|x|﹣3的圖象，根據(jù)圖象，以下結論：①圖象關于y軸對稱；②不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；③方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有兩個實數(shù)解時k＜﹣3．正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③一十三．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式（共3小題）39．（2022秋?西湖區(qū)期末）在一個邊長為1的正方形中挖去一個邊長為x（0＜x＜1）的小正方形，如果設剩余部分的面積為y，那么y關于x的函數(shù)表達式為（）A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x40．（2022秋?南湖區(qū)校級期中）某商店購進某種商品的價格是7.5元/件，在一段時間里，單價是13.5元，銷售量是500件，而單價每降低1元就可多售出200件，當銷售價為x元/件時，獲利潤y元，則y與x的函數(shù)關系為（）A．y＝（6﹣x）（500+x） B．y＝（13.5﹣x）（500+200x） C．y＝（6﹣x）（500+200x） D．以上答案都不對41．（2023?洞頭區(qū)二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務．如何設計打印圖紙方案？素材1如圖1，正方形ABCD是一張用于3D打印產品的示意圖，它由三個區(qū)塊（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）構成．已知AB＝20cm，點E，F(xiàn)分別在BC和AB上，且BE＝BF，設BE＝xcm（0＜x＜20）．素材2為了打印精準，擬在圖2中的BC邊上設置一排間距為1cm的定位坐標（B為坐標原點），計算機可根據(jù)點E的定位坐標精準打印出圖案．問題解決任務1確定關系用含x的代數(shù)式表示：區(qū)塊Ⅰ的面積＝、區(qū)塊Ⅱ的面積＝、區(qū)塊Ⅲ的面積＝．任務2擬定方案為美觀，擬將區(qū)塊Ⅲ分割為甲、乙兩個三角形區(qū)域，并要求區(qū)域乙是以DE為腰的等腰三角形，求所有方案中區(qū)域乙的面積或函數(shù)表達式．任務3優(yōu)化設計經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)區(qū)域乙的面積為范圍內的整數(shù)時，此時的E點為最佳定位點，請寫出所有的最佳定位點E的坐標．一十四．二次函數(shù)的應用（共3小題）42．（2023?麗水）一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經(jīng)過t（秒）時球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時間t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．243．（2023?定海區(qū)模擬）如圖，C是線段AB上一動點，分別以AC、BC為邊向上作正方形ACDE、BCFG，連結EG交DC于K．已知AB＝10，設AC＝x（5＜x＜10），記△EDK的面積為S1，記△EAC的面積為S2．則與x的函數(shù)關系為（）A．正比例函數(shù)關系 B．一次函數(shù)關系 C．反比例函數(shù)關系 D．二次函數(shù)關系44．（2023?路橋區(qū)一模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時，小球飛行的高度是飛行時間的二次函數(shù)．現(xiàn)以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個質地一樣的小球，小球在各自擊出后1秒到達相同的最大飛行高度，若整個過程中同時出現(xiàn)在空中的小球個數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再彈起），則t的取值范圍是（）A．0＜t＜1 B．1≤t＜2 C． D．一十五．二次函數(shù)綜合題（共4小題）45．（2023?永嘉縣校級模擬）對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，規(guī)定函數(shù)y＝是它的相關函數(shù)．已知點M，N的坐標分別為（﹣，1），（，1），連接MN，若線段MN與二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+n的相關函數(shù)的圖象有兩個公共點，則n的取值范圍為（）A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤ C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥146．（2023?金東區(qū)二模）定義：若n為常數(shù)，當一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標和為n的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象關于n的“恒值點”，例如：點（1，2）是函數(shù)y＝2x圖象關于3的“恒值點”．（1）判斷點（1，3），（2，8），（3，7）是否為函數(shù)y＝5x﹣2圖象關于10的“恒值點”．（2）如圖1，拋物線y＝2x2+bx+2與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示．①求翻折后A，B之間的拋物線解析式．（不必寫出x的取值范圍）②當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時，請用含b的代數(shù)式表示c．47．（2023?浙江）在二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當0≤x≤3時，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．48．（2023?金華模擬）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫坐標是縱坐標兩倍的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“倍值點”，例如：點（2，1）是函數(shù)y＝x﹣1的圖象的“倍值點”．（1）分別判斷函數(shù)y＝x+1，y＝x2﹣x的圖象上是否存在“倍值點”？如果存在，求出“倍值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設函數(shù)y＝（x＞0），y＝﹣x+b的圖象的“倍值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．當△ABC的面積為2時，求b的值；（3）若函數(shù)y＝x2﹣3（x≥m）的圖象記為W1，將其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2，當W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“倍值點”時，直接寫出m的取值范圍．【過關檢測】一．選擇題（共8小題）1．拋物線y＝5（x﹣2）2+4的頂點坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）2．若A（a，b），B（a﹣2，c）兩點均在函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2021的圖象上，且1≤a＜2，則b與c的大小關系為（）A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點橫坐標x1，x2滿足|x1|+|x2|＝2．當時，該函數(shù)有最大值4，則a的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．24．拋物線y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3個單位，那么平移后拋物線的頂點坐標是（）A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．已知二次函數(shù)的圖象（0≤x≤3.4）如圖．關于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內，下列說法正確的是（）A．有最大值2，無最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值﹣2 D．有最大值1.5，有最小值﹣26．下列函數(shù)中，其圖形與x軸有兩個交點的為（）A．y＝﹣20（x﹣11）2﹣2011 B．y＝20（x﹣11）2+2011 C．y＝20（x+11）2+2011 D．y＝﹣20（x+11）2+20117．由二次函數(shù)y＝2x2﹣12x+20，可知正確的是（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x＝﹣3 C．其最小值為2 D．當x≤3時，y隨x的增大而增大8．已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向下，與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標為（1，n），與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結論：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤﹣；③對于任意實數(shù)m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0總成立；④關于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，其中結論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共7小題）9．如果將拋物線y＝x2+2向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是．10．已知a，b，c滿足a+c＝b，4a+2b+c＝0，則關于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點間的距離為．11．如圖，反比例函數(shù)y＝（a≠0）的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y＝ax2+bx圖象的頂點（﹣，m）（m＞0），則m＝．12．已知x＝a和x＝a+b（b＞0）時，代數(shù)式x2﹣2x﹣3的值相等，則當x＝6a+3b﹣2時，代數(shù)式x2﹣2x﹣3的值等于．13．合肥市2013年平均房價為6500元/m2．若2014年和2015年房價平均增長率為x，則預計2015年的平均房價y（元/m2）與x之間的函數(shù)關系式為．14．二次函數(shù)y＝x2+x+c的圖象與x軸有兩個交點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，點P（m，n）是圖象上一點，有如下結論：①當n＜0時，m＜0；②當m＞x2時，n＞0；③當n＜0時，x1＜m＜x2；④當n＞0時，x＜x1；⑤當m時，n隨著m的增大而減小，其中正確的有．15．直線y＝x+b與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，則b的值是．三．解答題（共7小題）16．若二次函數(shù)y＝﹣x2+2（k﹣1）x+2k﹣k2的圖象經(jīng)過原點，求：（1）二次函數(shù)的解析式；（2）它的圖象與x軸交點O、Q及頂點C組成的△OAC的面積．17．已知關于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；（2）若拋物線y＝mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；（溫馨提示：整數(shù)點的橫、縱坐標都為整數(shù)）（3）若點P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在（2）中拋物線上（點P、Q不重合），且y1＝y(tǒng)2，求代數(shù)式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值．18．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象分別經(jīng)過點A（1，0），B（0，3）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使△APO的面積等于4？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．19．一個圓形噴水池的中心豎立一根高為2.25m頂端裝有噴頭的水管，噴頭噴出的水柱呈拋物線形．當水柱與池中心的水平距離為1m時，水柱達到最高處，高度為3m．（1）求水柱落地處與池中心的距離；（2）如果要將水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高處與池中心的水平距離以及落地處與池中心的距離仍保持不變，那么水管的高度應是多少？20．某商店購進一批進價為40元/件的日用商品，第一個月，按進價提高50%的價格出售，售出600件；第二個月，商店準備在不低于原售價的基礎上進行加價銷售，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少．銷售量y(件)與銷售單價x(元)的關系如圖所示．(1)請直接寫出y與x之間的函數(shù)表達式：；自變量x的取值范圍為；(2)第二個月的銷售單價定為多少元時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？21．三、求直線y＝2x＋8與拋物線y＝x2的交點坐標A、B及△AOB的面積．22．已知二次函數(shù)的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A，B兩點，與y軸的負半軸交于點C，．(1)求二次函數(shù)的表達式及點坐標；(2)點D位于第三象限且在二次函數(shù)的圖象上，求的面積最大時點D的坐標．

第1章二次函數(shù)全章復習與測試【知識梳理】一．二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．二．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．三．二次函數(shù)的性質二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．五．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．六．圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．七．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關系①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．八．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．九．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．十．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．十一．二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．對y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0時，當﹣≥q，則x＝q時，y取得最小值；x＝p時，y取得最大值當﹣≤p，則x＝q時，y取得最大值；x＝p時，y取得最小值當q≥﹣≥時，x＝﹣時，y取得最小值，x＝p時，y取最大值當≥﹣≥p時，x＝﹣，y取得最小值，x＝q時，y取得最大值a＜0時，同樣進行分類討論．【考點剖析】一．二次函數(shù)的定義（共4小題）1．（2022秋?金華期末）若y＝（m﹣2）x是二次函數(shù)，則m的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±【分析】利用二次函數(shù)定義可得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，再計算出m的值即可．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x是關于x的二次函數(shù)，∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，∴m＝﹣2．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2．（2022秋?諸暨市期末）已知y關于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1【分析】根據(jù)形如y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0），可得|m|＝2且m﹣2≠0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：|m|＝2且m﹣2≠0，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的一般形式是解題的關鍵．3．（2022秋?東陽市期中）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)可得答案．【解答】解：A、y＝x2是二次函數(shù)，故此選項符合題意；B、y＝x+1是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；C、y＝是反比例函數(shù)，故此選項不符合題意；D、y＝2x是正比例函數(shù)，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關鍵條件．4．（2023?天臺縣一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別為AB，BC上的點，DE，AF交于點G，AE＝BF＝x．若四邊形CDGF與△AEG的面積分別為S1，S2，則S1﹣S2與x的函數(shù)關系為（）A．正比例函數(shù)關系 B．一次函數(shù)關系 C．反比例函數(shù)關系 D．二次函數(shù)關系【分析】連接DF，根據(jù)AB＝3，AE＝BF＝x，得BC＝CD＝3，F(xiàn)C＝3﹣x，設△ADG的面積為m，所以S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF＝9﹣m﹣x，S2＝S△ADE﹣S△ADG＝x﹣m，S1﹣S2＝﹣3x+9，即可得S1﹣S2與x的函數(shù)關系為一次函數(shù)關系．【解答】解：如圖，連接DF，∵AB＝3，AE＝BF＝x，∴BC＝CD＝3，F(xiàn)C＝3﹣x，設△ADG的面積為m，∴S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF＝×3×3﹣m+×3（3﹣x）＝4.5﹣m+4.5﹣x＝9﹣m﹣x，S2＝S△ADE﹣S△ADG＝×3×x﹣m＝x﹣m，∴S1﹣S2＝9﹣m﹣x﹣x+m＝﹣3x+9，∴S1﹣S2與x的函數(shù)關系為一次函數(shù)關系．故選：B．【點評】此題考查了一次函數(shù)的定義，此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是利用圖形的面積公式表示出S1與S2．二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）5．（2023?拱墅區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+1和一次函數(shù)y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分別根據(jù)選項中二次函數(shù)的開口方向判斷a的正負，然后根據(jù)a的正負判斷對稱軸的位置以及一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限即可得出答案．【解答】解：A：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向上，則a＞0，此時一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象經(jīng)過一三四象限，而圖中是經(jīng)過一次函數(shù)圖象是經(jīng)過一二四象限，故選項A不符合題意；B：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向上，則a＞0，對稱軸x＝＝＞0，對稱軸在y軸的右邊，圖象符合要求，此時此時一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象經(jīng)過一三四現(xiàn)象，圖中所給符合要求，故選項B符合題意；C：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向上，則a＞0，對稱軸x＝＝＞0，對稱軸在y軸的右邊，而圖中所給對稱軸在y軸左邊，故選項C不符合題意；D：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向下，則a＜0，當a＜0時，一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象經(jīng)過一二四象限，圖中所給是經(jīng)過一三四象限，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解題關鍵是判斷a的正負以及一次函數(shù)經(jīng)過的象限．6．（2023?寧波模擬）下列圖象中，函數(shù)y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】可先根據(jù)a的符號判斷一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限，然后作出選擇．【解答】解：當a＞0時，由二次函數(shù)y＝ax2﹣a可知開，口向上，頂點在y軸負半軸上，與x軸的交點為（﹣1，0），（1，0），由一次函數(shù)y＝ax+a可知過一，二，三象限，交x軸于（﹣1，0）；當a＜0時，由二次函數(shù)y＝ax2﹣a可知，開口向下，頂點在y軸正半軸上，與x軸的交點為（﹣1，0），（1，0），由一次函數(shù)y＝ax+a可知過二，三，四象限，交x軸于（﹣1，0）；故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，解題的關鍵是熟記二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象的特征．三．二次函數(shù)的性質（共3小題）7．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根據(jù)已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數(shù)的關系，分情況討論即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，當a＞0，k＜0時，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、三、四象限，當a＜0，k＞0時，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、二、四象限，綜上，直線y＝ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關系．8．（2023?甌海區(qū)四模）已知兩點A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點C（x0，y0）是該拋物線的頂點，若y0≤y1＜y2，則x0的取值范圍是（）A．x0≤﹣2 B．x0＜1 C．﹣2＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質和題意，可知該函數(shù)開口向上，有最小值，從而可以求得x0的取值范圍．【解答】解：∵點A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點C（x0，y0）是該拋物線的頂點，∴若y2＞y1≥y0，則此函數(shù)開口向上，有最小值，∴＝1＜x0≤3或x0≥3，解得：x0＜1，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質解答．9．（2023?鹿城區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)，a≠0），下列選項正確的是（）A．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，8），則a＜0 B．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（3，1），則a＜0 C．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣5，5），則a＞0 D．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，﹣8），則a＞0【分析】由拋物線解析式可得拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象上點的坐標特征求解．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵8﹣1＞1﹣（﹣1），∴（﹣1，1）到對稱軸的距離小于（8，8）到對稱軸的距離，若拋物線經(jīng)過（﹣1，1），（8，8），則拋物線開口向上，即a＞0，選項D正確．故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（共2小題）10．（2023?鄞州區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個結論：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）其中正確結論有（）個A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①錯誤，不符合題意；②當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②正確，符合題意；③由圖象知，當x＝2時，函數(shù)值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正確，符合題意；④對稱軸為直線﹣＝1，即2a+b＝0，∴a＝﹣，代入b＞a+c，得b＞+c，∴3b＞2c，故④錯誤，不符合題意；⑤當x＝1時，y的值最大．此時，y＝a+b+c，而當x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正確，符合題意．故正確的結論為②③⑤，故選：B．【點評】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．11．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2（m為實數(shù)，且m≠2），當x≤0時，y隨x增大而減小，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2【分析】根據(jù)當x≤0時，y隨x的增大而減小，可得拋物線開口方向，進而求解．【解答】解：當x≤0時，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向上，∴m﹣2＞0，∴m＞2，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．五．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共4小題）12．（2023?西湖區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b＝（x?x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2為常數(shù)），若1＜x1＜x2＜3，記t＝a+b，則（）A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3【分析】由二次函數(shù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）；然后由二次函數(shù)解析式與一元二次方程的關系以及根的判別式得到a2﹣4b＞0；結合根與系數(shù)的關系知：x1+x2＝﹣a，x1?x2＝b；最后根據(jù)限制性條件1＜x1＜x2＜3列出相應的不等式并解答．【解答】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次項系數(shù)1＞0，∴拋物線開口向上，與x軸交點坐標為（x1，0），（x2，0），1＜x1＜x2＜3，∴x＝1時，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，∴t＞﹣1．又對稱軸x＝﹣，此時y＝b﹣＜0．∴a+b＜+a＝（a+2）2﹣1．∵1＜﹣＜3，∴﹣6＜a＜﹣2，∴﹣1＜（a+2）2﹣1＜3．綜上所述，t的取值范圍是﹣1＜t＜3．故選：C．【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的根本依據(jù)．13．（2023?溫州模擬）已知二次函數(shù)上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）滿足x1＝3+x2，則下列結論中正確的是（）A．若，則y1＞y2＞﹣1 B．若，則y2＞0＞y1 C．若x1＜﹣，則y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，則y2＞y1＞0【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線的開口方向及對稱軸，將x＝﹣代入解析式可得y的值，通過拋物線的對稱性及x1＝3+x2求解．【解答】解：∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，當x1＝﹣時，x2＝﹣3﹣＝﹣，∴＝﹣2，即點P，Q關于對稱軸對稱，此時y1＝y(tǒng)2，將x＝﹣代入y＝（x﹣1）2﹣1得y＝0，當x1＜﹣時，y2＞0＞y1，故選項A、C不符合題意，∵x1＝3+x2，∴x2＝x1﹣3，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1，y2＝（x1﹣4）2﹣1，當時，﹣＜x1﹣1＜0，﹣＜x1﹣4＜﹣3，∴﹣1＜（x1﹣1）2﹣1＜0，3＜（x1﹣4）2﹣1＜9，∴y2＞0＞y1．故選項D不符合題意，B符合題意，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程的關系．14．（2023?衢州二模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象經(jīng)過（0，4），（8，5）兩點，若a＜0，0＜h＜8，則h的值可能為（）A．1 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)拋物線的大致圖象，根據(jù)頂點式得到拋物線的對稱軸為直線x＝h，由于拋物線過（0，4）、（8，5）兩點．若a＜0，0＜h＜8，則點（0，4）到對稱軸的距離大于點（8，5）到對稱軸的距離，所以h﹣0＞8﹣h，然后解不等式后進行判斷．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝h，而（0，4），（8，5）兩點，∴h﹣0＞8﹣h，解得h＞4．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．15．（2023?永嘉縣二模）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過三個不同的點A（0，4），B（m，4），C（3，n），則下列選項正確的是（）A．若m＝4，則n＜4 B．若m＝2，則n＜4 C．若m＝﹣2，則n＞4 D．若m＝﹣4，則n＞4【分析】根據(jù)拋物線的對稱性求得對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可判斷．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過三個不同的點A（0，4），B（m，4），C（3，n），∴A（0，4），B（m，4）關于對稱軸對稱，∴對稱軸為直線x＝＝，∵拋物線開口向下，∴當x＞時，y隨x的增大而減小，A、若m＝4，則對稱軸為直線x＝2，∵2＜3＜4，∴n＞4，故A錯誤，不符合題意；B、若m＝2，則對稱軸為直線x＝1，∵1＜2＜3，∴n＜4，故B正確，符合題意；C、若m＝﹣2，則對稱軸為直線x＝﹣1，∵﹣1＜0＜3，∴n＜4，故C錯誤，不符合題意；D、若m＝﹣4，則對稱軸為直線x＝﹣2，∵﹣2＜0＜3，∴n＜4，故C錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共4小題）16．（2023?甌海區(qū)二模）將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為：y＝3（x+1）2﹣2．故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關鍵．17．（2023?紹興模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，先向右平移2個單位，再向上平移2個單位后的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x﹣3）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2【分析】將原二次函數(shù)整理為用頂點式表示的形式，根據(jù)平移的單位可得新拋物線的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3變?yōu)椋簓＝（x﹣1）2﹣4向右平移2個單位得到的函數(shù)的解析式為：y＝（x﹣1﹣2）2﹣4即y＝（x﹣3）2﹣4再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4+2即y＝（x﹣3）2﹣2，故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．討論兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可．18．（2023?紹興模擬）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后得到新的拋物線，此拋物線恰好經(jīng)過點（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（）A．先向左平移8個單位，再向下平移4個單位 B．先向左平移6個單位，再向下平移7個單位 C．先向左平移4個單位，再向下平移6個單位 D．先向左平移7個單位，再向下平移5個單位【分析】分別求得平移后的拋物線解析式，代入點（﹣2，﹣2）判斷即可．【解答】解：＝﹣（x﹣4）2+5，A、先向左平移8個單位，再向下平移4個單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+8）2+5﹣4，即y＝﹣（x+4）2+1，當x＝﹣2時，y＝﹣1，故此時拋物線不經(jīng)過點（﹣2，﹣2），不合題意；B、先向左平移6個單位，再向下平移7個單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+6）2+5﹣7，即y＝﹣（x+2）2﹣2，當x＝﹣2時，y＝﹣2，故此時拋物線經(jīng)過點（﹣2，﹣2），符合題意；C、先向左平移4個單位，再向下平移6個單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+4）2+5﹣6，即y＝﹣x2﹣1，當x＝﹣2時，y＝﹣3，故此時拋物線不經(jīng)過點（﹣2，﹣2），不合題意；D、先向左平移7個單位，再向下平移5個單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+7）2+5﹣5，即y＝﹣（x+2）2，當x＝﹣2時，y＝0，故此時拋物線不經(jīng)過點（﹣2，﹣2），不合題意；故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練平移的規(guī)律是解題的關鍵．19．（2023?舟山二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點M（m，y1），N（m+1，y2）為圖形G上兩點，若y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】先求得點C，拋物線的對稱軸，畫出函數(shù)圖象，結合圖象的單調性和y1＞y2，分兩種情況：①當m≤0時，②當0＜m＜1時，得到關于m的不等式，解不等式即可得出結論．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，∴C（0，3），直線l為y＝3，拋物線的對稱軸為直線，y軸右側的部分的拋物線為y＝x2﹣2x+3，∵m＜m+1，∴點M在點N左側，如圖，當x≥1時，函數(shù)單調遞增，∴m＜1；①當m≤0時，∵y1＞y2，∴﹣m2+2m+3＞（m+1）2﹣2（m+1）+3，解得：，又∵m≤0，∴；②當0＜m＜1時，∵y1＞y2，∴m2﹣2m+3＞（m+1）2﹣2（m+1）+3，解得：，又∵0＜m，∴，綜上，m的取值范圍為，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、翻折的性質，注重數(shù)形結合是解答本題的關鍵．七．二次函數(shù)的最值（共3小題）20．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標系中，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當ac＞0且a+c＝1時，p有最小值 B．當ac＞0且a+c＝1時，p有最大值 C．當ac＜0且c﹣a＝1時，p有最小值 D．當ac＜0且c﹣a＝1時，p有最大值【分析】設直線y＝kx+p，聯(lián)立直線與拋物線解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的兩根，進而根據(jù)a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，則0＜a≤1，即可得出ac＞0，進而結合選項，進行判斷即可求解．【解答】解：依題意，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A（a，b），B（c，a）兩點，設直線y＝kx+p，聯(lián)立即x2﹣kx﹣p＝0，∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的兩根，即ac＝﹣p，a+c＝k，：a＜c，∴B（c，a）在y＝x的下方，聯(lián)立，解得：或，∴0＜c≤1，∵B（c，a）在拋物線上，則a＝c2，∴0＜a≤1，∴ac＞0，當ac＞0且a+c＝1，∴x2﹣x﹣p＝0，∴p＝x2﹣x有最小值，故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．21．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【分析】根據(jù)y＝ax2+2ax+1可得出對稱軸x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0兩種情況討論計算．【解答】解：∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2+2ax+1，∴二次函數(shù)對稱軸為x＝﹣1．①當a＜0時，二次函數(shù)開口向下，x＝﹣1時，函數(shù)有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．②當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，∴當x＝2時，函數(shù)最大值為9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．綜上分析，a的值為﹣8或1．故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)最值問題，確定對稱軸，分類討論最值情況是作出本題的關鍵技巧．22．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0【分析】先將點（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出該二次函數(shù)的表達式，再根據(jù)其開口方向，對稱性和增減性，分析在a≤x≤6時的最大值和最小值即可．【解答】解：將點（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，得：0＝﹣1+b+5，解得：b＝﹣4，∴二次函數(shù)為y＝﹣x2+6x﹣5，∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝3，函數(shù)有最大值4，把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，在a≤x≤6范圍內有最大值為4，最小值為﹣5，∴0≤a≤3．故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握a＞0時，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a＜0時，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共10小題）23．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點在x軸，則c＝9．【分析】頂點在x軸上，根據(jù)頂點的縱坐標是0，列出方程求解．【解答】解：根據(jù)題意，頂點在x軸上，頂點縱坐標為0，即，解得c＝9．【點評】本題考查求頂點縱坐標的公式，比較簡單．24．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點坐標為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣3），可得可設這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．【解答】解：∵二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣3），∴可設這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，，∴|a|＝2，∴a＝±2，∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項系數(shù)的絕對值相等是解題的關鍵．25．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．（2）當y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，配成頂點式即可得頂點坐標；（2）求出A關于對稱軸的對稱點坐標，由圖象直接可得答案．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點坐標為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點A（1，﹣2）關于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點C（﹣3，﹣2），∴當y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象及性質，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達式．26．（2023?臨平區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是實數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，﹣4），（0，﹣3）．①求該二次函數(shù)表達式；②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是拋物線上的點，且s＝x1+x2，求t的值；（2）若該二次函數(shù)滿足當x≥0時，總有y隨x的增大而減小，且過點（1，3），當a＜b時，求4a+b的取值范圍．【分析】（1）①由題意，將已知兩點代入表達式分別求出a和b即可得解．②依據(jù)題意，把A，B兩點代入①所求解析式，然后兩式相減，再適當變形可得x1+x2的值，再代入①的表達式式即可求出t．（2）由題意可得a＜0，，再由過點（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．【解答】解：（1）①由題意，∵圖象經(jīng)過點（1，﹣4），（0，﹣3），∴．∴．∴所求二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．②由題意，∵A、B在拋物線上，∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．上述兩式相減得，﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．顯然A、B是兩個點，∴x1≠x2．∴x1﹣x2≠0．∴x1+x2＝2．∴s＝2．又C（s，t）是拋物線上的點，∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．即t＝﹣3．（2）由題意，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a滿足當x≥0時，總有y隨x的增大而減小，∴a＜0，．∴b≤0．∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a過點（1，3），∴b＝2a+3≤0．∴a≤．又a＜b，∴a＜2a+3．∴a＞﹣3．∵a≤，∴﹣3＜a≤．又4a+b＝6a+3，∴﹣15＜6a+3≤﹣6．∴﹣15＜4a+b≤﹣6．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質，需要熟練掌握并靈活運用．27．（2023?西湖區(qū)校級三模）已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，求二次函數(shù)的表達式；（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點A，且這個點不是原點．①求證：m＝ab；②若y2y1的另一個交點B為二次函數(shù)y1的頂點，求b的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①令y＝0，分別求得兩個函數(shù)的圖象與x軸的交點，依據(jù)已知條件列出關于a，b，m的等式，整理即可得出結論；②利用配方法求得拋物線的頂點坐標，將坐標代入一次函數(shù)的解析式，再利用①的結論得到關于b的方程，解方程即可得出結論．【解答】（1）解：∵二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣x；（2）①證明：令y1＝0，則ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴拋物線y1＝ax（x+b）與x軸交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，則ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直線y2＝ax+m與x軸交于（﹣，0），∵若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函數(shù)的頂點為（﹣，﹣）．∵兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，∴a?（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合題意，舍去）或b＝﹣2．∴若兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，b的值為﹣2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質，一次函數(shù)的圖象與性質，待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點，拋物線上點的坐標的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．28．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當b＝4，c＝3時，①求該函數(shù)圖象的頂點坐標；②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）當x≤0時，y的最大值為2；當x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達式．【分析】（1）先把解析式進行配方，再求頂點；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關系，結合圖象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3時，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴頂點坐標為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點（2，7），∴當x＝2時，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴當x＝﹣1時，y有最小值為：﹣2，∴當﹣1≤x≤3時，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時，y的最大值為2；x＞0時，y的最大值為3，∴拋物線的對稱軸在y軸的右側，∴b＞0，∵拋物線開口向下，x≤0時，y的最大值為2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次