高中導數的幾何意義

第一章導數及其應用》＞

113的幾何意義

第一章導數及其應用》＞

學習

目標理解曲線的切線的含義.2.理解導數的幾何意義.

3.會求曲線在某點處的切線方程.

4.理解導函數的定義，會用定義法求簡單函數的導函數.

第一章導數及其應用

預習案▲自主學習研讀?思考?嘗試

新知提煉“

1.導數的幾何意義

(1)切線的定義

④

欄目

導引

第一章導數及其應用〉

如陸對于割畿鶴,瀉點孔趨近于點。時*IB明趨近于

確定的位置雋這個確定位置的直J線PT稱為點p

⑵導藪的幾何意義

當點外無限趨近于點產時'扁無限趨近于切線口的斜率.因

此慧函數對在落二/處的導藪就是切線方的斜率氟即黛=

學

配7。

公導函數的概念

⑴定義？當*變化時,/2__便是崖的一個函數.我們稱

它為/件）的導函數（簡稱導數）.

f（k+八3）-/€x）

⑵記法JG二.■h菊m

廢第T<

欄目

導引

第一章導數及其應用〉

r*-i<I?

3判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打

(1)函數生?點處的導數八4)是一個常數.()

(2)函數y/(A)住點.次處的號數/'(.%)就是導函數/(A，)住點.■

0處的函數值.()

(3)函數/(.A)0沒仃心數.()

(4)11紋叮曲線相匹則11線V該曲線只仃一個公共點.()

警案案⑴J(2)V(3)X(噬X

欄目

導引

第一章導數及其應用

國

L妣處圾綾定義與射前廝學過的切畿定義的比較

0）初中賽M學習過圓的切線圖直線和園有唯y

的公共點時.糠直線蒯圓相煩野唯一的公共點

叫做切點直線叫做圓的圾畿凈但因為圜是0x

種畤珠的曲舞步所以圓的胡巍定義不適用于一殿的岫筑尊如圖

中的曲畿g直線&與曲畿c有唯一的公共點跖但或不是曲

嘉雖舞與曲線c有不止一個公共短怛&是曲箕

c在點落贊的惻線

修）此處是通過逼近宓薇一將割線越近于確定的域置附在繳定義

海忸徽適用于落種曲瀛所鼠這其種定義才:其正反映了切線的

本質欄目

導引

第一章導數及其應用〉

2.由數A，.1什處的導數./'（輯）、力困數/（.I）上「川的1M別'J

聯系

區(qū)別：⑴八小）是色xA0處函數H的改變川變;止的改變顯

之比的極限，是一個常數,不是變段.

（2）八.\）是函數人\）的號數，是對某四間內任總工向言的，即

如果函數,r/代）住開區(qū)間（小〃）內的每點處都仃導數，此時川

J,句；一個.\士（〃，〃），都對位n一個仙j定的嚀'數/（V）,從ii'ij國成

「一個新的函數——日函數/（、）.

聯系：函數/（x）在x=Xo處的導數，C就是導函數/（X）在X=M）

處的函數值.這也是求函數在工=.次處的導數的方法之一.”

出目

導引

第一章導數及其應用〉

探究察▲講練互動（解惑?探究?突破]

探究點1求曲線在定點處的切線方程

例1求曲線J，=2.LY在點（一1,—1）處的切線方程.

m支麻■徵詈Cr+配》

m因為yn磨一

=HH[2—3^—A^2|

所以射1-1=2-3（-if=2-3=一最

所鼠場畿方程為y—（一期==[^—（=1）]

BP蠢心耳需=瞰

欄目

導引

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,股切點坐標為g.的一靖繆則物線方程為j—^+J4~P-

3^瓢一詞.

因為劃線過點(一，一期所以一2一羽士/=(2-黛iM一1一

照y涉

即14士泥一明解卷/T1成凝一

所以胡點坐標為恤嗨或［一率I

欄目

導引

第一章導數及其應用

1s

當初感坐標為便目做制3「小=瓢切穌方程為

y—^i

當切點壁舞為［<洲h切蝴率距

(-1)

翻線方程為茅+2=一7&+1>8PMte+^+27=??

鬣上司Wh慧點（一T蒙一期且與曲翳第=凝一一鬻物觴直舞而程

為y=lr麋1如■+鰥+27=軌

欄目

導引

第一章導數及其應用

方法歸納

解決曲線的一線同題的思路

⑴求曲線rAr)在點產出),/(.))處的切線方程,即點P的坐標

既滿足曲線方程,乂滿足切線/評對,分點p處的1力線斜率"

隹,則點P處的I力線方程為—.*)+/(.*);7；曲線J

/('?)隹點〃處的切線斜率不如隹(此時切線平行Jj釉)，則點

〃處的力我方用為.V

(2)公力點卡加，則需設事1〃點*標，I用R據題應列出關「1〃點

橫坐標的方程，最儲求轉力點縱坐標及切線的/”工此收求

的口氣"小彳"、山一個.把自

欄目

導引

第一章導數及其應用》

掾霸點2求謝點坐標

?在曲綾上取一點胃使得在讀點罐的切畿工

（D平行于直線j—4x—Si

（委）垂直于直線2x—翻+5=%

（3"螭翔為》舞觸.

分別求出蹣足上述條件的點的坐標

Cx+Ax)

謾電聾居）是滿足條件的總

欄目

導引

第一章導數及其應用

㈤因為霰蒙畿的域囊與亶纏第=而一塔胄行」m垢=4r解

舞淘=2修所以購=熹

(2)H>^P舞的翻畿與直囊加一期+盤垂直期旦直舞2r

^+5=#的鬻率為彘WRH一心解世W*所以

(爵因為點P薨的麴線的幅糯篇為135領等所以物爨觴^率為

~—所鼠產產今即

-欄目

導引

第一章導數及其應用

方法歸［納

求滿足一條件的ilh線的.點坐標的步牌

(1)先設1力點坐標(、》,山).

(2)求嚀函數/'(.V).

(3)求切線的斜率/■).

(4)由斜率間的大系列出大「心的方程，解方程求

(5)點、(.“，心)作曲線/(x)上，將(.％,J%)代入求.1,得」力點坐標.

欄目

導引

第一章導數及其應用〉

探究點3導數幾何意義的應用

例3：我市某家電制造集團為盡快實現家電F鄉(xiāng)提出四種運

輸方案,據預測，這四種方案均能在規(guī)定時間7,內完成預期的

運輸任務各種方案的運輸總量。與時間，的函數關系如卜

所示.在這四種方案中，運輸效率（單位時間內的運輸量）逐步

提高的是（）

欄目

導引

第一章導數及其應用

【解析】從函數圖象卜.右，要求圖象在［0,7］卜.越來越陡峭,

荏各選項中,只有B項中的切線斜率在不斷增大,也即運輸效

率（單位時間內的運輸量戶豕步提高.

R答案】B

欄目

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第一章導數及其應用〉

血國畫磔

⑴曲線/（X）在Ao附近的變化情況可通過U處的切線刻

1.r（vo）＞o說明曲線在4處的切線的斜率為正值，從而得出

住心附近曲線是上開的；/■）＜（）說明住小附近曲線是卜降的.

（2）曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的

變化情況，由切線的傾斜程度,可以判斷出曲線升降的快慢.

欄目

導引

一I第一童導數及其應用~

V跟蹤訓練1.已知函數/（X）的圖象如圖所示,/⑶是血）的導

函數，則下列結論正確的是()

A.0<f(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0<f(3)</(3)-/(2)<f(2)

C.0v/，(3)v〃2)v/(3)—/(2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<f(3)

解析：選B.從圖象上可以行出/代）在x=2處的切線的斜率比住

x=3處的斜率大,且均為正數,所以有0</（3）勺。），過此兩

/,（3）—r（））

點的割線的斜率/,；“比/（X）在工=2處的切線的斜率

小，比/(x)在x=3處的斜率大,mW0<f(3)</(3)-/(2)</r(2),

故選B.

第一章導數及其應用〉

2,李華在參加一次同學聚會時/他用如圖所示的圓口杯喝欽料

李華認為?如果向杯子中倒飲料的速度一定（即單位時間內鋤入

的飲料量相同上那么杯子中霰料的高度1是關于時間r的函數

則開始階毆飲

料的高度增加較快』以后高度增加得越來越慢，僅有B中的圖

象符合題意■欄目

導引

第一章導數及其應用

畫贊產的圖象在彘P處的翻線方程是事==x+S

愚的“⑸等于

解析能易得切點/心3）

所以型）=3牙k=-l

即F（母==L

所以的）+r⑸=3-1=就

答案：2

欄目

導引

第一章導數及其應用

/11

4.己知曲線j，=j上兩點，(2,-1),Q—1,).

\L)

(1)求曲線在點P,。處的切線的斜率;

(2)求曲線在點尸，2處的切線方程.

解：將點”(2,1)代入「1，

?1x

得/1，所以廠J.

f(.V+Xv)f(.v)

r'lim?

Vv0V

11

1—(A+\A)1—A

Iini《

欄目

導引

第一章導數及其應用

(1》徽鬻能就P健的韌爨翻率為嬲線能點

修》觸爨在點P健的糊畿方程為

欄目