初中數(shù)學(xué)資料

中考數(shù)學(xué)常用公式定理

1、整數(shù)（包括：正整數(shù)、0、負整數(shù)）和分數(shù)（包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù)）都是有理數(shù).如：一3,養(yǎng)

0.231,0.737373-,5無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù).如：口，—岳,0.1010010001…（兩個1之

間依次多1個0）.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

2、絕對值：|a|=cz；aWOOIa\——a.如：\—^2\—Q；I3.14—m|=n—3.14.

3、一個近似數(shù)，從左邊笫一個不是0的數(shù)字起，到最末一個數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有

效數(shù)字.如：0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個有效數(shù)字6,0.

4、把一個數(shù)寫成土aX10"的形式（其中l(wèi)Wa＜10,"是整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.如：-40700

=-4.07X105,0.000043=4.3x10—5.

5、乘法公式（反過來就是因式分解的公式）：①（a+b）（a—6）=/—*.②（a±6）2=a2±2a6+b2.③（a+

6）（cT—ab+b1）=6?+料④（a—b）（c^+ab+b2）=a3~b3；a2+b2=（a+b'）2~2ab,（＜7—/7）2=（a+b）2~4ab.

6、基的運算性質(zhì)：①/X/=/'+".②+.③(/yu/7".④(")"=//.⑤(，)”=〃.

⑥“一”=4，特另U：(，>“=(1)".?a°=1(a#0).如：a3Xa2=a5,a^~a=a,{a}2=a6,(3a3)3=27a9,

(—3)T=d，5-2='$(〉2=(n，(-3.14)°=1,(乃一⑸。=1.

7、二次根式：①（囪2=。（°三0）,②行'=a|,③Jab=X,④(a>0,6\0).如:

①（3技）2=45.②飲-6）2=6.③a＜0時，亞^=-a亞.④Jf不的平方根=4的平方根=±2.（平方

根、立方根、算術(shù)平方根的概念）

8、一元二次方程：對于方程：ax^+bx+c=0：

①求根公式是尤=f土飛b,Yac,其中△=/—4改叫做根的判別式.

2a

當△＞（）時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當△＜（）時，方程沒有實數(shù)根.注意：當△》（）時，方程有實數(shù)根.

②若方程有兩個實數(shù)根X1和無2，并且二次三項式依2+6x+c可分解為q（x—X1）（X—尤2）.

③以a和b為根的一元二次方程是d—（a+b）x+ab=0.

9、一次函數(shù)了=履+從人力0）的圖象是一條直線（6是直線與y軸的交點的縱坐標即一次函數(shù)在y軸上的截

距）.當左＞0時，y隨尤的增大而增大（直線從左向右上升）；當%＜0時，y隨x的增大而減?。ㄖ本€從左向右下

降）.特別：當6=0時，y=Ax（左W0）又叫做正比例函數(shù)（y與x成正比例），圖象必過原點.

10、反比例函數(shù)y=：（20）的圖象叫做雙曲線.當Q0時，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向

右降）；當左＜0時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）.因此，它的增減性與一次函數(shù)

相反.

13、銳角三角函數(shù):

①設(shè)々是RtAABC的任一銳角,則/A的正弦：，3=二^,4的余弦…。s-二^,4的

正切：tanA=矍g1.并且si/A+cos2A=1.

0<sinA<L0<cosA<l,tanA>0.NA越大，NA的正弦和正切值越大，余弦值反而越小.

②余角公式：sin(90°—A)=cosA,cos(90°—A)=sinA.

③特殊角的三角函數(shù)值:sin30°=cos60°=1,sin450=cos45°=,^,sin60°=cos30°=,^,tan30°=里,tan450

=1,tan60°=^3.

_鉛垂高度一方設(shè)坡角為a,貝?。輎=tana=*

④斜坡的坡度：，

一水平寬度一丁

14、平面直角坐標系中的有關(guān)知識：

(1)對稱性：若直角坐標系內(nèi)一點P(a,b),則P關(guān)于無軸對稱的點為Pi(a,~b),P關(guān)于y軸對稱的

點為P2(~a,b),關(guān)于原點對稱的點為P3(~a,—6).

(2)坐標平移：若直角坐標系內(nèi)一點P(a,b)向左平移/?個單位，坐標變?yōu)镻(a—h,b),向右平移//

個單位，坐標變?yōu)镻(a+h,b)；向上平移/?個單位，坐標變?yōu)镻(a,b+刀)，向下平移〃個單位，坐標

變?yōu)镻(a,b-h)汝口：點A(2,-1)向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標變?yōu)锳(7,1).

15、二次函數(shù)的有關(guān)知識：

1.定義：一般地，如果、=。%2+6尤+0(兄〃。是常數(shù)，awO),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①。的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下;

時相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于J軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，>軸記作直線x=0.

幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=ax1x=0(y軸)(0,0)

當a>0時

y=ax2+kx=0(y軸)(0,k)

開口向上

y-a{x-hfx=h",o)

當a<0時

y=a(x一療十k開口向下x=h(h,k)

b

y=ax2+bx+cx=----b4ac-b2

2a(——，--------)

2a4a

4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

/_、八2,(bY4ac-b~.hie/b4ac-b~,一工日—口士

(1)么式法：y=CIX+bx+C=<7XH-------H-----------------------，.?頂點7E(-----,---------),對稱軸7E直

la)4a2a4a

2a

(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x—7/)2+左的形式，得到頂點為(仙人)，

對稱軸是直線％=瓦

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。

若已知拋物線上兩點(%,丁)、(尤2，丁)(及y值相同)，則對稱軸方程可以表示為：彳=土產(chǎn)

9.拋物線y-ax1+bx+c中，a.b.c的作用

(1)。決定開口方向及開口大小，這與y=中的〃完全一樣.

(2)b和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+>x+c的對稱軸是直線

bb

x=----,故：①〃=0時，對稱軸為y軸；②一>0(即a、b同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；

2aa

b

③一<0(即。、匕異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).

a

(3)c的大小決定拋物線y=a%2+bx+c與y軸交點的位置.

當x=0時，y=c,...拋物線y=af+/)x+c與》軸有且只有一個交點(0,c).

①c=0,拋物線經(jīng)過原點;②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負半軸.

b

以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則一<0.

a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y=。%2+bx+c.已知圖像上三點或三對x、>的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x—0丁+左.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標修、%2,通常選用交點式：y=a(無一無］)(無一電).

12.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線y=af+bx+c得交點為(0,c).

(2)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)y=。寸+》x+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標七、%2,是對應(yīng)一元二次方程

ax2+Z?x+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0(2>0)0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)=(△=0)0拋物線與光軸相切；

③沒有交點。(△<0)。拋物線與x軸相離.

(3)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(2)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐

標為k,則橫坐標是ax2+bx+c=k的兩個實數(shù)根.

(4)一次函數(shù)丁=Ax+”(女工0)的圖像/與二次函數(shù)y=a尤2+/>x+c(a#0)的圖像G的交點，由方程

"y=kx+n

組12的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時o/與G有兩個交點;②方

j=ax+bx+c

程組只有一組解時o/與G只有一個交點；③方程組無解時o/與G沒有交點.

（5）拋物線與無軸兩交點之間的距離：若拋物線丁=。d+b:+。與％軸兩交點為4（尤1，0）5（尤2,0），

則AB=\xx-x2|

1、多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（"-2）180。（〃》3,〃是正整數(shù)），外角和等于360。

2、平行線分線段成比例定理：

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線"與，2分別與直線小b、c相交與點A、B、C

—A3DEABDEBCEF

D、E、F,則有——=——,——=——,——=——

BCEFACDFACDF

（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平分弦;

④平分弦所對的劣??；⑤平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性質(zhì).注：具備①，③時，弦

不能是直徑.（2）兩條平行弦所夾的弧相等.（3）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).（4）一條弧

所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（5）圓周角等于它所對的弧的度數(shù)的一半.（6）同弧或等弧

所對的圓周角相等.（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.（8）90。的圓周角所對的弦是直

徑，反之，直徑所對的圓周角是90。，直徑是最長的弦.（9）圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線

的交點.三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點.

常見結(jié)論：（1）RtZ\ABC的三條邊分別為：小b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑r=-------；

2

（2）Z\ABC的周長為/,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則5=工＞

2

*6、弦切角定理及其推論：

（1）弦切角：頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：NB4c為弦切

角。

（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。（一''

如果AC是。O的弦，山是。。的切線，A為切點，則NR4C=^AC=LNAOC

22\°//

推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角（作用證明角相等）\\//