分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

主講教師：學(xué)校：年級：高二學(xué)科：高中數(shù)學(xué)（人教A版）問題

近期學(xué)校新購置了一批課桌，需要對每張課桌設(shè)定一個編號（由1個字母和2個數(shù)字組成），編號的第一個位置要求是字母，后兩個位置是數(shù)字（可以重復(fù)），你覺得有多少種不同的編號？這就是本章要研究的“計數(shù)”問題.如果問題中數(shù)量較少，通過列舉一個一個地數(shù)也是計數(shù)的一種基本方法.但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高或者不現(xiàn)實.所以我們有必要去探索一些高效巧妙的計數(shù)方法。問題分析具體問題要做一件什么事情思考1用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？給一個座位編號怎么去做這件事情在字母或數(shù)字中選擇一個每類能否單獨(dú)完成能夠，關(guān)鍵詞是“或”如何計數(shù)26+10=36（種）你能概括出上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)嗎？（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類（2）分別計算各類號碼的個數(shù)（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.例1

在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，如右表所示：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情

每類能否單獨(dú)完成如何計數(shù)選擇一個專業(yè)從A大學(xué)或B大學(xué)中選擇一個專業(yè)能夠，關(guān)鍵詞是“或”5+4=9（種）變式1如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項專業(yè)，如右表所示：那么A大學(xué)共有6個專業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有4個專業(yè)可以選擇，如果只能選一個專業(yè)，那么這名同學(xué)共有多少種選擇？注意：運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的前提條件是：每類不同方案中的方法互不相同.A大學(xué)B大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)生物學(xué)會計學(xué)化學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)法學(xué)物理學(xué)工程學(xué)解：因為只區(qū)分專業(yè)選擇的不同，而不區(qū)分專業(yè)從屬學(xué)校的差異，所以當(dāng)數(shù)學(xué)均為A，B兩所大學(xué)的強(qiáng)項專業(yè)時，專業(yè)可選擇種數(shù)為6+4－1=9.變式2在例1的條件下增加C大學(xué)的2個不同專業(yè)，如右表所示：這時這名同學(xué)從中選擇一個專業(yè)，共有多少種選擇？A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)化學(xué)會計學(xué)心理學(xué)醫(yī)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)解：因為3所大學(xué)沒有一個專業(yè)是相同的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為N=5+4+2=11.小結(jié)：如果完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有m1+m2+m3種不同的方法.延伸：如果完成一件事有n類不同的方案，在每一類方案中分別有m1，m2，m3，……，mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+……+mn種不同的方法.你能舉幾個生活中可以運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的計數(shù)例子嗎?問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情

每類能否單獨(dú)完成如何計數(shù)思考2：用前6個大寫英文字母和1～9這9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？注意：樹狀圖是解決計數(shù)問題常用的方法.問題分析具體問題要做一件什么事情給一個座位編號怎么去做這件事情先選一個字母，再選一個數(shù)字每步驟能否單獨(dú)完成

不能，關(guān)鍵詞是“和”如何計數(shù)6×9=54（種）字母A數(shù)字123456789得到的號碼A1A7A5A9A4A2A3A6A8你能概括出上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)嗎？（1）確定分步標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為先確定字母，后確定數(shù)字兩步（2）分別計算各步方法個數(shù)（3）各步方法的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.注意：無論第一步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第二步都有相同的方法數(shù).例2某班有男生30名，女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情每步驟能否單獨(dú)完成如何計數(shù)選男生和女生各一名先從男生中選一名，再從女生中選一名不能，關(guān)鍵詞是“和”30×24=720（種）變式

某班有男生30名，女生24名以及任課老師6名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽以及選出1名任課老師為比賽學(xué)生加油，共有多少種不同的選法？解：這里要完成的事情是“選男生，女生以及任課老師各1名”，可以分3個步驟：第一步，選男生，有30種選法；第二步，選女生，有24種選法；第三步，選任課老師，有6種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N=30×24×6=4320.小結(jié)：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步中有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有m1×m2×m3種不同的方法.延伸：如果完成一件事需要n個步驟，做每一步分別有m1，m2，m3，……，mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×……×mn種不同的方法.你能舉幾個生活中可以運(yùn)用分步乘法計數(shù)原理的計數(shù)例子嗎?問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情

每步驟能否單獨(dú)完成如何計數(shù)例3書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法？（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情

每類能否單獨(dú)完成

如何計數(shù)

4+3+2=9（種）從書架上取1本書從第一層或第二層或第三層中挑選一本書

能夠，關(guān)鍵詞是“或”例3書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情每步驟能否單獨(dú)完成

如何計數(shù)

4×3×2=24（種）從書架上取3本書先從第一層挑1本書

再從第二層挑1本書最后從第三層挑1本書不能，表達(dá)“和”的意思變式

書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從中任取2本不同學(xué)科的書，有多少種不同取法？問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情每類能否單獨(dú)完成

如何計數(shù)

4×3+4×2+3×2=26（種）從書架上取2本不同學(xué)科的書挑選計算機(jī)書和文藝書各1本

或挑選計算機(jī)書和體育書各1本或挑選文藝書和體育書各1本能夠，但每一類內(nèi)部又要分步完成回顧問題

近期學(xué)校新購置了一批課桌，需要對每張課桌設(shè)定一個編號（由1個字母和2個數(shù)字組成），編號的第一個位置要求是字母，后兩個位置是數(shù)字（可以重復(fù)），你覺得有多少種不同的編號？問題分析具體問題要做一件什么事情怎么去做這件事情每步驟能否單獨(dú)完成

如何計數(shù)

26×10×10=2600（種）設(shè)定一個編號先第一個位置選字母

再第二個位置選數(shù)字最后第三個位置選數(shù)字不能，關(guān)鍵詞是“和”課堂小結(jié)1.分類加法計數(shù)原理：2.分步乘法計數(shù)原理：如果完成一件事有n類不同的方案，在每一類方案中分別有m1，m2，m3，……，mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+……