4.4 對數(shù)函數(shù)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

4.4對數(shù)函數(shù)（精講）考點一對數(shù)函數(shù)辨析【例1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)(且)為對數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).故選：D.【例1-2】（2022西藏）若函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)為對數(shù)函數(shù)所以或，又且所以故選：B【一隅三反】1．（2022哈爾濱）下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【答案】D【解析】A、B、C都不符合對數(shù)函數(shù)的定義，只有D滿足對數(shù)函數(shù)定義．故選：D.2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).故選：C.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則___________.【答案】3【解析】由對數(shù)函數(shù)的概念可知，解得，所以，則.故答案為:3.考點二對數(shù)函數(shù)的三要素【例2-1】（2022·湖北?。┖瘮?shù)定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，解得且，所以函數(shù)的定義域為；故選：C【例2-2】（2022·陜西）函數(shù)的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因為，所以，所以的最小值為1，選：B【例2-3】（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意得，因為，所以所以，由可得，則．故選：D．【一隅三反】1．（2021·云南?。┮阎?，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】由題意可知，要使有意義，則，解得，即.所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.2．（2022·貴州·）函數(shù)y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域為（

）A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】C【解析】令，又因為在上遞增，所以，所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域為[4，＋∞)，故選：C3（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)（，且）在上的值域為，則實數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞增，則，又因為的值域為，所以，解得．故選：A．考點三對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例3-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，令，則，在上遞增，在上遞減，因為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A【例3-2】（2022·四川）已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)，是減函數(shù)，所以，即……①；當(dāng)，也是減函數(shù)，故……②；在銜接點x=1，必須要有成立，才能保證在上是減函數(shù)，即……③，∴由①②③取交集，得：；故選：C.【一隅三反】1．（2021·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得：，即定義域為；令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.2．（2022·山東）已知且，函數(shù)，滿足時，恒有成立，那么實數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知函數(shù)在區(qū)間R上為增函數(shù)，則，解可得.故選：D.3．（2021·云南）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】由可得，解得，函數(shù)是由和復(fù)合而成，又對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為為減函數(shù)，所以的單調(diào)增區(qū)間為，因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：．考點四對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運用【例4】（2022·福建福州·高一期中）已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對數(shù)函數(shù)都是上的增函數(shù)，，于是得，，而，而，于是得：，所以有.故選：C【一隅三反】1．（2022·江蘇高一開學(xué)考試）已知，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，故選A.2．（2021·河北滄州市一中高一開學(xué)考試）已知，，，則的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，故，所以．故選A．3．（2022·河南濮陽·高一期末（文））已知，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，，是單調(diào)遞增，，，，，是單調(diào)遞增，，，，，是單調(diào)遞增，，，，，是單調(diào)遞增，，，綜上所述，.故選：D考點五對數(shù)函數(shù)的定點【例5】（2022·廣西）若且，則函數(shù)的圖像恒過定點（

）A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）【答案】D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，則，則函數(shù)過定點.故選：D.【一隅三反】1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象過定點，則在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象過定點，所以，，由于，所以，所以.故選：B2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點，則M為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，令，解得，此時，所以函數(shù)恒過定點；故選：A3．（2022·浙江麗水·高一開學(xué)考試）已知函數(shù)（且）的圖象過定點，正數(shù)、滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為（且），令，解得，所以，即函數(shù)過定點，所以，故A錯誤；因為、，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：D考點六反函數(shù)【例6】（2021·山西省長治市第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）若函數(shù)的反函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】依題意，函數(shù)的反函數(shù)是，即函數(shù)的圖象過點，則，，于是得，所以.故選：B【一隅三反】1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)與（且）互為反函數(shù)，且這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此，與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)是.故選：C.2．（2022湖南）函數(shù)的反函數(shù)的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，令得，所以函數(shù)的反函數(shù)的表達式為，故選：B3．（2022湖南）函數(shù)（，且）的反函數(shù)的圖象過點，則a的值為（

）A．2 B． C．2或 D．3【答案】B【解析】法一：函數(shù)（，且）的反函數(shù)為（，且），故的圖象過點，則．法二：∵函數(shù)（，且）的反函數(shù)的圖象過點，∴函數(shù)（，且）的圖象過點，∴，即．故選：B考點七對數(shù)函數(shù)的圖像【例7】（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)的圖象與軸的交點是，故函數(shù)的圖象與軸的交點是，即函數(shù)的圖象與軸的公共點是，顯然四個選項只有A選項滿足.故選：A.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，，且的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)的圖象恒過定點，故選項A、B錯誤；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在和上單調(diào)遞減，故選項D錯誤，選項C正確.故選：C.2．（2021·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)與的大致圖像是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為在定義域上單調(diào)遞減，又，所以在定義域上單調(diào)遞減，故符合條件的只有A；故選：A3．（2022·重慶市）若函數(shù)在上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】由于是上的奇函數(shù)，所以，所以為減函數(shù)，所以，所以，為上的減函數(shù)，，所以BCD選項錯誤，A選項正確.故選：A考點八對數(shù)函數(shù)的綜合運用【例8】（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的定義域．(2)若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍．(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）由題設(shè)，，則或，所以函數(shù)定義域為.（2）由函數(shù)的值域為R，則是值域的子集，所以，即.（3）由在上遞減，在上遞增，而在定義域上遞減，所以在上遞增，在上遞減，又在上是增函數(shù)，故，可得.【一隅三反】1．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的最大值；(3)求函數(shù)的值域．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】(1)∵的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴，∴．(2)∵，定義域為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的最大值為．(3)，∵函數(shù)的定義域為，∴，解得，∴函數(shù)的定義域為，∵對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)是增函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴