專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一公式法解一元二次方程的解法】 1【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考點(diǎn)五換元法解一元二次方程】 12【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 15【過關(guān)檢測】 19【典型例題】【考點(diǎn)一公式法解一元二次方程的解法】【例題1】（2023秋·吉林白山·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海咀兪?-1】（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【變式1-2】（2023秋·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【變式1-3】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【變式1-4】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2023·河南商丘·?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【變式2-2】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【變式2-3】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）已知一元二次方程，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則方程沒有實(shí)數(shù)根B．當(dāng)且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，兩根一定互為相反數(shù)C．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題3】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為________．【變式3-1】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為______．【變式3-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【變式3-3】（2023·安徽蚌埠·校考一模）若關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為___________．【變式3-4】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【變式3-5】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長，求矩形對(duì)角線的長．【考點(diǎn)四因式分解法解一元二次方程的解法】【例題4】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考期中）解方程：．【變式4-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【變式4-2】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【變式4-3】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）用合適的方法解方程：(1)；(2)．【變式4-4】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)【考點(diǎn)五換元法解一元二次方程】【例題5】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）實(shí)數(shù)滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【變式5-1】（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【變式5-2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若，則______．【變式5-3】（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，解答問題.解方程：.解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請(qǐng)仿照材料解決下列問題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】【例題6】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式6-1】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．【變式6-2】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)一元二次方程的兩根分別是、，計(jì)算____________．【變式6-3】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【變式6-4】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【變式6-5】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．【變式6-6】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定2．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）方程的兩個(gè)根是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤粢辉畏匠逃薪?，則m的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程的兩實(shí)根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）對(duì)于實(shí)數(shù)、定義運(yùn)算“”為，例如，則關(guān)于的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定二、填空題6．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）方程的根為______________．7．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）一元二次方程根的判別式的值是_________．8．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則___________．9．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．10．（2023春·八年級(jí)單元測試）一個(gè)三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為____．三、解答題11．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．12．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校?？奸_學(xué)考試）解方程：(1)(2)．13．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．14．（2023·北京·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．15．（2023春·八年級(jí)單元測試）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩根、是斜邊長為5的直角三角形兩直角邊長，求k的值．16．（2023春·天津和平·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(1)解方程：；(2)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，并且．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②滿足，求的值．專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一公式法解一元二次方程的解法】 1【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考點(diǎn)五換元法解一元二次方程】 12【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 15【過關(guān)檢測】 19【典型例題】【考點(diǎn)一公式法解一元二次方程的解法】【例題1】（2023秋·吉林白山·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法步驟并正確求解是解答的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】，【分析】利用公式法求解即可．【詳解】，，，，，，，即：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】【分析】先把方程化為一般式，然后利用公式法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：原方程化為：∴∴，解得：（2）解：∵,∴解得：.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根的判別式計(jì)算出的值，可得到根的情況．【詳解】A選項(xiàng)，，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)不符；B選項(xiàng)，，方程沒有實(shí)數(shù)根，故B選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)，，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)不符；D選項(xiàng)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)不符．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式的值的正負(fù)性得到根的情況．【變式2-1】（2023·河南商丘·?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】利用一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵，∴該一元二次方程無實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解答關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．【變式2-2】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】先將一元二次方程化為一般式，然后根據(jù)即可求解.【詳解】解：，，，，.原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故答案選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式對(duì)應(yīng)的三種情況是解題的關(guān)鍵.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)根.【變式2-3】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）已知一元二次方程，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則方程沒有實(shí)數(shù)根B．當(dāng)且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，兩根一定互為相反數(shù)C．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式逐一求解即可．【詳解】A.將代入原方程，得，則是原方程的根；故A中的說法錯(cuò)誤；B.當(dāng)且方程存在實(shí)數(shù)根時(shí)，；故B中的說法正確；C.若，則，∴，∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故C中的說法正確；D.若，則．∵∴，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故D中的說法正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式．解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程判別式判斷根的情況．【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例題3】（2023·安徽宿州·校考一模）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為________．【答案】【分析】分當(dāng)時(shí)和當(dāng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程為，解得，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程若有實(shí)數(shù)根，則有，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判別式，利用分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為______．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有，得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識(shí)，理解并正確運(yùn)用一元二次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴且，故答案為：且，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根．【變式3-3】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤絷P(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為___________．【答案】6【分析】要使一元二次方程沒有實(shí)根，只需二次項(xiàng)系數(shù)不等于0且根的判別式小于0，由此可求出k的范圍，再找出最小值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，∴且，解得，，∴，∴整數(shù)k的最小值是6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構(gòu)成條件、解一元一次不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式：對(duì)于一元二次方程，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．【變式3-4】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判別式為，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到是原方程的根，根據(jù)方程兩個(gè)根均為正整數(shù)，可求m的最小值．【詳解】（1）證明：由得，，∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）∵，∴，∴，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，∴．∴．∴m的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時(shí)得到方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長，求矩形對(duì)角線的長．【答案】(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)可得，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求出m的值，最后將m的值代入原方程，即可求解．【詳解】（1）解：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根理由：，∵，∴，∴這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵a，b是矩形兩條對(duì)角線的長，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴這個(gè)一元二次方程為，解得．∴這個(gè)矩形對(duì)角線的長是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)四因式分解法解一元二次方程的解法】【例題4】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考期中）解方程：．【答案】【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：，即，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）采用因式分解法解此方程，即可求解；（2）采用公式法解此方程，即可求解．【詳解】（1）解：由原方程得：，或，解得，，所以，原方程的解為，；（2）解：，，，，，解得，，所以，原方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，∴，∴，∴，即或，解得：，；（2），∴，∴，即或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┯煤线m的方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法把轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可；（2）利用因式分解法把轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可．【詳解】（1）解：，或，所以；（2），或，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式4-4】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，解得：；（2）解：∵，∴，∴，∴，即，∴或，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五換元法解一元二次方程】【例題5】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）實(shí)數(shù)滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】運(yùn)用換元法解方程，再根據(jù)根的判別式判斷根的情況，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則原式變形得，因式分解法解一元二次方程得，，∴，，當(dāng)時(shí)，，變形得，，根據(jù)判別式，無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，變形得，，根據(jù)判別式，方程有兩個(gè)實(shí)根；∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法解高次方程，掌握換元法解方程的方法，根的判別式判斷根的情況等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【答案】C【分析】利用換元法求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∴或，解得或，∴或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，熟知換元法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若，則______．【答案】【分析】設(shè)．則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，即；然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：設(shè)．則，即，解得，或不合題意，舍去)；故．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程．解答該題時(shí)，注意中的的取值范圍：．【變式5-3】（2023春·安徽亳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，解答問題.解方程：.解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請(qǐng)仿照材料解決下列問題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【答案】(1)，(2)的值是6【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息，利用換元法解方程即可；（2）設(shè)，原方程可化為，解關(guān)于a的一元二次方程，最后注意，不合題意，舍去，即可得出答案．【詳解】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，整理，得，解得，，當(dāng)時(shí)，即，解得：；當(dāng)時(shí)，即，解得；綜上所述，原方程的解為，；（2）解：設(shè)，則原方程可化為，整理，得，分解因式得：，解得，，∵

，∴∴不合題意，舍去，∴，即的值是6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】【例題6】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到，的值，即可求得．【詳解】∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，則原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【變式6-2】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)一元二次方程的兩根分別是、，計(jì)算____________．【答案】11【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：、，然后再結(jié)合完全平方公式即可解答．【詳解】解：∵元二次方程的兩根分別是，∴、，∴故答案為：11【點(diǎn)睛】本題主要考考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的一般形式的根與系數(shù)的關(guān)系為（b是一次項(xiàng)數(shù)），（c是常數(shù)項(xiàng)）是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【答案】7【分析】根據(jù)題意得出a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，，把所求式子變形再整體代入可算得答案．【詳解】解：∵a，b滿足，，且，∴a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式．【變式6-4】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【變式6-5】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系式得到，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∴無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，由得：解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式6-6】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)，，代入，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，為正整數(shù)，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)根的判別式即可求解判斷即可．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知判別式的性質(zhì)，要判斷一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況，即判斷，若，那么方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，那么方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，那么方程沒有實(shí)數(shù)根．2．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）方程的兩個(gè)根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可解答．【詳解】解：，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，利用方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤粢辉畏匠逃薪?，則m的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)不為0，求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有解，∴且，解得且，故m的取值范圍且．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根的判別式：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根．4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程的兩實(shí)根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由可得，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，即可確定m的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根為，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）對(duì)于實(shí)數(shù)、定義運(yùn)算“”為，例如，則關(guān)于的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為，∴可化為，整理得：，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，一元二次方程根的判別式，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）方程的根為______________．【答案】，【分析】先把方程化為，再化為兩個(gè)一次方程即可．【詳解】解：由原方程，得，則或，解得，．故答案是：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．7．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）一元二次方程根的判別式的值是_________．【答案】5【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得．【詳解】解：一元二次方程中的，則這個(gè)方程根的判別式的值是，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則___________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，，再整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)根，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．也考查了求代數(shù)式的值，運(yùn)用了整體代入的思想．9．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義解題即可．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得．又∵該方程為一元二次方程，，且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式及一元二次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題，掌握根的判別式及一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·八年級(jí)單元測試）一個(gè)三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為____．【答案】20【分析】因式分解法解方程求出的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系求出符合條件的的值，最后求出周長即可．【詳解】解：，即，或，解得：或，當(dāng)時(shí)，三角形的三邊，構(gòu)不成三角形，舍去；當(dāng)時(shí)，這個(gè)三角形的周長為，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法和三角形三邊關(guān)系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣．三、解答題11．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．【答案】，【分析】直接利用公式法求解即可．【詳解】解：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校