人教版 數(shù)學(xué) 八年級上冊 全冊 分類

類比歸納專題：三角形中內(nèi)、外角的有關(guān)計(jì)算

——全方位求角度

?類型一己知角的關(guān)系，直接利用內(nèi)5.如圖，BD、CD分別平分NABC和

角和或結(jié)合方程思想ZACE,ZA=60°,則/。的度數(shù)是（）

1.在△A8C中，NA-NB=35。，ZC

=55°,則NB等于（）

A.50°B.55°C.45°D.40°

2.在△48C中，已知NA=2/B=3NC,

則△4?。是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.形狀無法確定6.如圖，ZB=20°,ZA=ZC=40°,

3.如圖，在△A8C中，ZC=ZABC=則NCDE的度數(shù)為.

2N4,8。是AC邊上的高，求NDBC的度7.如圖，AD平分N8AC,ZEAD=

數(shù).NEDA.

(。求證：NE4C=/B；

(2)若N3=5()c,ZCAD：ZE=1：3,

求NE的度數(shù).

A

RDCE

4.如圖，/XABC中，ZB=26°,ZC=

70°,AD平分NBAC,AELBC于E,EF±AD

于F,求NOE尸的度數(shù).

?類型三在三角板或直尺中求角度

8.（2015-2016?接除區(qū)劇本）將一副三

角板按如圖所示擺放，圖中NQ的度數(shù)是

（）

A.120°B.105°C.90°D.75°

9.將兩個含30。和45。的直角三角板如

?類型二綜合內(nèi)外角的性質(zhì)圖放置，則Na的度數(shù)是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°=55°.

(1)求NBF。的度數(shù)；

(2)若N3AO=NE5C,ZC=440,求

NBAC的度數(shù).

11.如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直

尺的一邊上，若/1=55。，則N2的度數(shù)為

?類型四與平行線結(jié)合

12.（2015?南充中考）如圖,已知8、C、

E在同一直線上，且CO〃A8,若NA=75。，

N8=40。，則NACE的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.115°D.145°

A

RCE

13.如圖，AB"CD,直線PQ分別交

AB、CD于點(diǎn)F、E,EG是NDEF的平分線,?類型五與截取或折疊相關(guān)

交AB于點(diǎn)G.若NPM=40。,那么NEGB等16.如圖，把△ABC紙片沿OE折疊,

于（）當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部時，則NA

A.80°B.100°C,110°D.120°與N1和/2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持

J不變，請?jiān)囍乙徽疫@個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)

律是（）

A.NA=N1—N2

B.2ZA=Z1-Z2

14.如圖，是△ABC的角平分線，C.3ZA=2Z1-Z2

DE//BC,交48于點(diǎn)E,NA=45，，/BDCD.3ZA=2（Z1-Z2）

=60°,則N8DE=.

17.如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,

15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在8C上，N4=52。，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊C8上

點(diǎn)石在4c上，A力交BE于產(chǎn).已知EG//AD4'處，折痕為C。，貝!NA7）B=.

交8C于G,EHLBE交BC于H,ZHEG

18.在△ABC中，NB=70。，若沿圖中

虛線剪去N&則N1+N2等于.

19.如圖.（1）將△ABC紙片沿OE折疊

成圖①，此時點(diǎn)A落在四邊形8COE內(nèi)部，

則NA與Nl、N2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持

不變，請找出這種數(shù)量關(guān)系并說明理由.

（2）若折成圖②或圖③，即點(diǎn)A落在BE

或CO上時，分別寫出N4與N2、/A與N1

之間的關(guān)系式（不必證明）；

（3）若折成圖④，寫出NA與/I、N2之

間的關(guān)系式（不必證明）.

參考答案與解析

1.C2.C

3.解：設(shè)NA=x,則NC=N48C=2r.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。知/C+NABC+NA

=180°,即2x+2x+x=180°,/..v=36°,工/C=2x=72°.在RtZXBQC中，/。8。=90。一

NC=90°-72°=18°.

方法點(diǎn)撥：三角形中給出的條件含比例且不易直接求出時，一般需要設(shè)未知數(shù)，根據(jù)三

角形的內(nèi)角和列方程求解.

4.解：:△ABC中，NB=26°,ZC=70°,AZBAC=180°-ZB-ZC=180°-26°-

70。=84。.???4。平分/班。，??./。4。=3/%。=3X84。=42。.在44。石中，ZC4E=90°-

ZC=90°-70°=20°，J^DAE=ADAC-ZCAE=42°-20°=22°.VNOE尸+NAEF=

ZA￡F+ZDA￡=90°,AZDEF=ZDAE=22°.

5.B6.80°

7.(1)證明：平分/胡C,：,/BAD=/CAD.又?：/EAD=/EDA,AZEAC=

ZEAD-ZCAD=ZEDA-ZBAD=NB；

(2)解：設(shè)NCAO=x。，則NE=3x。.由⑴知NE4C=N8=50。，???/EAO=NEOA=(x+

50)。.在△E4O中，VZE+^EAD+ZEDA=180°,A3x°+2(x+50)°=180°,解得x=

16.???NE=48。.

8.B9.B10.75011.35012.C13.C14.150

15.解：:?/BEH=900.,:NHEG=55。,:?/BEG=/BEH-NHEG=

35°.又???EG〃A。，：?NBFD=NBEG=35。；

(2)VZBFD=ZBAD-^-ZABEfNBAD=NEBC,:?NBFD=NEBC+NABE=NABC.

由(1)可知N8尸0=35°,/.ZABC=35°.VZC=44°,，N84C=180°—N4BC-NC=180°

一350—44。=101°.

16.B17.14°18.250°

19.解：(1)延長8E、CD,交于點(diǎn)P,則△3CP即為折疊前的三角形.由折疊的性質(zhì)知

ND4E=NOPE.連接AP.由三角形的外角性質(zhì)知N1=NEAP+NEB4,N2=ND4P+NOB4,

則N1+N2=NOAE+ZDPE=2ZDAE,即/1+N2=2NA；

(2)圖②中，N2=2NA；圖③中，Z1=2Z4；

(3)圖④中，Z2-Z1=2Z4.

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類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關(guān)的計(jì)算模型

模型1:求同一頂點(diǎn)的角平分線與高線的夾角的度數(shù)

1.如圖，AD,AE分別是△ABC的高和角平分線.

(1)已知NB=40。，ZC=60°,求ND4E的度數(shù)；

(2)設(shè)NB=a,請用含a,4的代數(shù)式表示NOAE,并證明.

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模型2：求兩內(nèi)角平分線的夾角的度數(shù)

2.如圖，/XABC中，ZABC和NAC8的平分線交于點(diǎn)。.若NBOC=120。，則NA=

3.如圖，/XABC中，點(diǎn)P是NABC,N4CB的平分線的交點(diǎn).

(1)若NA=80。，求NBPC的度數(shù).

(2)有位同學(xué)在解答(1)后得出/8尸。=90。+3/4的規(guī)律，你認(rèn)為正確嗎？請給出理由.

模型3：求一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角的度數(shù)

4.如圖，在△A3C中，氏\i平分NANC,Ch平分NACO,BAif61相交于點(diǎn)人］.

(1)求證：ZA\=^ZA；

(2)如圖，繼續(xù)作NA山C和NACO的平分線交于點(diǎn)4，得乙的；作NA28c和N/kCD

的平分線父于點(diǎn)A3,得...依此得到NA20”，若NA=a,則NA?oi7=.

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模型4：求兩外角平分線的夾角的度數(shù)【方法5】

5.(1)如圖，40平分△ABC的外角NC8。，C。平分△A8C的外角N8CE,則N80C與

N4的關(guān)系為；

(2)請就(1)中的結(jié)論進(jìn)行證明.

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參考答案與解析

1.解：(1)；/8=40°,ZC=60°,???/M。=180°—/8—/。=180°—40°—60°=

80。.???4七是角平分線，???NBAE=；N8AC=：X80o=40o.???A。是高，：.ZBAD=90°~

=90°-40°=50°,NDAE=NBA。-/84七=50。-40。=10°.

(2)NZME=/—a),證明如下：VZB=afZC=A?</?)?AZBAC=180°-(a+^).9：AE

是角平分線，AZBA￡=|zBAC=90°-1(a+^).二工。是高，/.ZBAD=90°-ZB=90°-

?,AZDAE=ABAD-ZJ?AE=900-a-[90°-1(a+^)=1(/?-ct).

2.60°

3.解：(l)VBP,CP為角平分線，，/28。+/尸。8=3(乙45。+乙4。3)=/180°—/4)

=1x(180°-80°)=50°,/.ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-50°=130°.

(2)正確，理由如下：CP為角平分線，/.ZPBC+ZPCB=^(ZABC+ZACB)=

1(180°-ZA)=90°-1zA,.*.Z￡P(guān)C=180o-(ZPBC+ZPCB)=180<-(^90o-1z^=90o

4.⑴證明：???C4平分NACD,???N4CO=，ACO=1(NA+NABC).又?.,NAiCO=

NAi+NAM???NAi+NABC=1(NA+NAB0.《SAi平分NABC；?NAi5C=±NA3C,

.??5乙48。+NAI=T(NA+ZABC),:.NAL'NA.

(2)^17

5.(1)ZBOC=90°-^ZA

(2)證明：如圖，?:BO,CO分別是△ABC的外角NOBC,NEC8的平分線，/.ZDBC

=2NI=NACB+NA,NECB=2N2=NABC+NA,，2N1+2/2=2NA+NABC+

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ZACB=NA+180。，???N1+/2=變/4+90。.又＜N1+Z2+ZBOC=180°,/.ZBOC=180°

-(Z1+Z2)=9O°-1ZA.

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解題技巧專題：利用全等解決問題的模型與技巧

——明模型，先觀察，再猜想，后證明

?類型一全等三角形的基本模型

1.如圖，AC=AD,BC=BD,NA=50。，NB=90。，則.

2.如圖，銳角△A4C的高人D,相交于F,若6尸一八C,BC-1,CD-2,則AF的

長為.

3.如圖，點(diǎn)A,D,C,E在同一條直線上，AB//EF.AB=EF,NB=NF,AE=\O,

AC=6,則CO的長為（）

A.2B.4C.4.5D.3

4.如圖，在△ABC,△ADE中，ZBAC=ZDAE=900,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,

E在同一直線上，連接B力交4c于點(diǎn)F.

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(1)求證：△840絲△CAE；

(2)猜想BQ,CE有何特殊位置關(guān)系，并說明理由.

?類型二證明線段間的等量關(guān)系

一、等線段代換

5.如圖，咫△ABC中，AB=AC,直線/為經(jīng)過點(diǎn)A的任?直線，BDL

于D,CEL于E,若BD>CE,試問：

(1)AO與CE的大小關(guān)系如何？請說明理由；

(2)線段B/九DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由.

二、截長補(bǔ)短法

6.如圖，在四邊形48。七中，C是BO邊的中點(diǎn)，若AC平分NBAEZACE=90°,猜

想線段AE、48、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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三、倍長中線法

7.在△ABC中，AB=8,AC=6,則8C邊上的中線4。的取值范圍是（）

A.6<AD<8

B.2<AD<\4

C.\<AD<1

D.無法確定

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參考答案與解析

1.11002.33.A

4.(I)證明：???N84C=N￡)AE=90。，AZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即NBA。

=NCAE在叢BAD和/XCAE中，9JAB=AC,NBA。=ZCAE，AD=AE,

.,.△fiAD^AC4E(SAS).

(2)解：BOJ_C￡理由如下：由⑴可知△84。絲△CAE,???N48D=NACE.???NB4C=90。，

???NABO+N4F8=90°.又?.?NAF8=NOrC,???N4CE+ND尸C=90°,???N8OC=90。，即

BDLCE.

5.解：(1)AO=CE.理由如下：???8。_1/于。，CE_L/于E,/.ZBDA=Z4EC=90°,

AZC4E+ZACE=90°.VZBAC=Z90°,，N6AO+/CAE=90°,:?NBAD=NACE.又

9：AB=AC,,??△ABOgZ\C4E(AAS),：,AD=CE.

(2)b￡>=DE+C￡理由如下：由(1)可知名△CAE,:?BD=AE,A￡>=C￡又?.?人石=

DE-iAD,:?BD=DE+CE.

6.解：AE=4B+O￡證明如下：如圖，在AE上截取AF=A8,并連接CF.〈AC平分

ZBAE,???NBAC=NCA尸.又???力。=4。，/.ABAC^AMC(SAS),:.BC=FC,NACB=

ZACF.VZACE=90°,AZACF4-ZFCE=90°,NACB+NDCE=9G。,:.NFCE=NDCE.

又丁。為B。的中點(diǎn)，???BC=OC,???。。=尸C.又???。￡：=。七，J△尸CE絲△OCE(SAS),JOE

=FE,；?AE=AF+FE=AB+DE.

難點(diǎn)探究專題：動態(tài)變化中的三角形全等

——以“靜”制“動”，不離其宗

?類型一動點(diǎn)變化

1.如圖，RlZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=3,PQ=AB,點(diǎn)尸與點(diǎn)Q分別在AC

和AC的垂線AO上移動，則當(dāng)AP=時，△ABC和△AP。全等.

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2.如圖，ZXABC中，A8=4C=12cm,NB=NC,BC=8cm,點(diǎn)力為AB的中點(diǎn).如

果點(diǎn)P在線段8c上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向。點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)。在線段CA上由。點(diǎn)

向A點(diǎn)運(yùn)動.若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為vcm/s,則當(dāng)△8P。與△CQP全等時，。的值為

【提示：三角形中有兩個角相等，則這兩個角所對的邊相等】.

A

A

3.(2016?達(dá)州中考)△ABC中，N8AC=90。，AB=AC(ZABC=ZACB=45°),點(diǎn)。為

直線BC1上一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與B,。重合)，以4。為邊在A。右側(cè)作正方形AOE/，連接CE

【方法111

(1)觀察猜想：如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時，

①與CF的位置關(guān)系為：

②線段BC,CD,C尸之間的數(shù)量關(guān)系為(將結(jié)論直接寫在橫線上).

(2)數(shù)學(xué)思考：如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若

成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明.

?類型二圖形變換

4.如圖甲，已知A,E,F,。在一條直線上，AE=CF,過E,尸分別作DE1AC,BFLAC,

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且AB=CO,連接8。.

(1)試問OE=O尸嗎？請說明理由；

(2)若△。/C沿AC方向平移到如圖乙的位置，其余條件不變，上述結(jié)論是否仍成立？

請說明理由.

圖甲圖乙

5.如圖，在RtZXABC中，/AC8=90。，點(diǎn)O,尸分別在AB,AC上，CF=CB,連接

CD,將線段CO繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得CE,連接EE

(1)求證：△BCD9AFCE、

Q)若EF〃CD,求N8OC的度數(shù).

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參考答案與解析

I.3或6解析：:△ABC和△APQ全等，AB=PQf???有或

△尸QA.當(dāng)△ABC絲△。肉時，則有AP=BC=3；當(dāng)△ABCgaPQA時，則有AP=

AC=6,???當(dāng)4P=3或6時，/XABC和△4P。全等，故答案為3或6.

2.2或3解析：當(dāng)BO=PC時，△8P。與△。。尸全等.???點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，???80

=；4B=6cm,：.PC=6cm,.??BP=8-6=2(cm).二?點(diǎn)P在線段8c上以2cm/s的速度由8

點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，，運(yùn)動時間為ls.：Z\￡>BPgZ\PCQ,??.CQ=8P=2cm,???o=27=2(cm/s);

當(dāng)BO=CQ時，△BDPgAQCP.；.PB=PQ,/B=NCQP.又?：NB=/C,：?NC=NCQP,

：.PQ=PC,：.PB=PC/：BD=6cm,BC=8cm,PB=PC,：,QC=6cm,：.BP=4cm,???運(yùn)

動時間為4+2=2(s),???o=6"=3(cm/s),故答案為2或3.

3.解：(1)①垂直②3C=CO+C尸

(2)CF_LBC成立；3C-CO+CF不成立，正確結(jié)論；CO-CF+3C證明如下；

???正方形AOE尸中，AD=AF,ND4尸=N8AC=90°,：.ZBAD=ZCAF.

AD=AF,

在△048與△朋C中，1N8AO=/CAF,ADAB^AMC(SAS),?'?NABD=/ACF,DB

AB=AC,

=CF：：ZACB=ZABC=45Q,/.ZABD=180°-45°=135°,：?4BCF=4ACF-/ACB=

N4BO-/AC8=90°,:?CF工BC「：CD=DB+BC,DB=CF,；?CD=CF+BC.

4.解：(1)OE=OF.理由如下：VDEIAC,BFLAC,：.Z.DEC=ABFA=^°.'：AE=CF,

[AB=CD,

：.AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在RtAABF和RtACDE中，\

[AF=CE,

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/BFO=/DEO,

???RtZ\AB尸絲RtZXCOE(HL),：.BF=DE.在4BF0和△OEO中，</8。產(chǎn)=NDOE,

BF=DE,

/./XBFO§△OEO(AAS),/.OE=OF.

(2)結(jié)論依然成立.理由如下：..?AE=C/，???AE-E尸=C尸一ER尸=C￡同(I)可得

△8尸。四△OEO,:?FO=EO,即結(jié)論依然成立.

5.(1)證明：:將線段CD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得C￡???C￡>=CE,NDCE

=90°.VNACB=90°,/./BCD=90°一/ACD=4FCE.在叢BCD和△尸CE中，

CB=CF,

<NBCD=NFCE,

CD=CE,

???△BCD也△尸CE(SAS).

(2)解：由(1)可知NOCE=9(T,△BCD^AFCF,AZBDC=ZE.VEF//CD,：.ZE=

180°-ZDCE=90°,/.ZBDC=90°.

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易錯易混專題：等腰三角形中易漏解或多解的問題

——易錯歸納，各個擊破

?類型一求長度時忽略三邊關(guān)系

1.（2016?賀州中考）一個等腰三角形的兩邊長分別是4,8,則它的周長為（）A.12

B.16

C.20D.16或20

2.學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流這樣一個問題：“已知一個等腰

三角形的周長是12,其中一條邊長為3,求另兩條邊的長”.同學(xué)們經(jīng)過片刻思考和交流后，

小明同學(xué)舉手說：“另兩條邊長為3、6或4.5、4.5.”你認(rèn)為小明的回答是否正確：,

理由是.

3.已知等腰三角形中，一腰上的中線將三角形的周長分成6cm和10cm兩部分，求這

個三角形的腰長和底邊的長.

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?類型二當(dāng)腰或底不明求角度時沒有分類討論

4.己知等腰三角形的一個內(nèi)角為40。，則這個等腰三角形的頂角為（）

A.100°B.40°

C.40°或100°D.60°

5.等腰三角形的一個外角等于100。，則與這個外角不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為

（）

A.40°,40°B.80°,20°

C.80°,80°D.50°,50°或80。，20°

6.已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為

?類型三三角形的形狀不明時沒有分類討論

7.等腰三角形的一個角是50。，則它一腰上的高與底邊的夾角是（）

A.25°B.40°

C.25?；?0。D.不能確定

8.在△ABC中,4B=4C,AB的垂直平分線與4C所在的直線相交所得到的銳角為50。，

則N3等于.

9.如果兩個等腰三角形的腰長相等、面積也相等，那么我們把這兩個等腰三角形稱為

一對合同三角形.已知一對合同三角形的底角分別為X。和y。，則（用含x的代數(shù)式

表示）.

10.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20。，求頂角的度數(shù).

?類型四一邊確定，另兩邊不確定，求等腰三角形個數(shù)時漏解

11.（2016?武漢中考）平面直角坐標(biāo)系中，已知4（2,2）、8（4,0）.若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,

使AABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

12.如圖，在4X5的點(diǎn)陣圖中，每兩個橫向和縱向相鄰陣點(diǎn)的距離均為1,該點(diǎn)陣圖

中已有兩個陣點(diǎn)分別標(biāo)為A,B,清在此點(diǎn)陣圖中找一個陣點(diǎn)C,使得以點(diǎn)A,B,C為頂點(diǎn)

的三角形是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)有個.

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B

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參考答案與解析

1.C

2.不正確沒考慮三角形三邊關(guān)系

3.解：設(shè)腰長為xcm,①腰長與腰長的一半是6cm時，x+5=6,解得x=4,???底邊

長=10—：X4=8(cm)...?4+4=8,工4cm、4cm、8cm不能組成三角形；②腰長與腰長的一

半是10cm時，％+5=10,解得x=苧，.,?底邊長=6—岑=*cm),???三角形的三邊長為

梟m、梟m、1cm,能組成三角形.綜上所述，三角形的腰長為梟m,底邊長為多m.

4.C5.D

6.120?；?0。7.C8.70。或20。

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9.%或90—x解析：???兩個等腰三角形的腰長相等、面積也相等，.,?腰上的高相等.①

當(dāng)這兩個三角形都是銳角或鈍角三角形時，y=x,②當(dāng)兩個三角形一個是銳角三角形，一個

是鈍角三角形時，丁=90一工故答案為工或90一工

10.解：此題要分情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時，腰上的高在其外部.如圖

①所示，得頂角NAC8=NO+NDAC=90o+20o=110。；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，腰

上的高在其內(nèi)部，如圖②所示，故頂角乙4=90。-/480=90。-20。=70。.綜上所述，頂角

的度數(shù)為110°或70°.

A

ABB

圖①圖②

II.A12.5

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解題技巧專題：等腰三角形中輔助線的作法

——形成精準(zhǔn)思維模式，快速解題

?類型一利用“三線合一”作輔助線

一、已知等腰作垂線（或中線、角平分線）

1.如圖，在△A4C中，48=AC,AE上BE于點(diǎn)E,且若NE48=20。，則

ZBAC=.

2.如圖，在△A6C中，AB=AC,。為8C邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作￡>E_LAB,DFA,AC,

垂足分別為E,F.

（1）求證：DE=DFx

（2）若NA=90。，圖中與OE相等的有哪些線段（不說明理由）？

3.如圖，/XABC中，AC=2AB,4）平分N84C交BC于。，E是AO上一點(diǎn)，且￡4=EC,

求證：EB1AB.

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B

D

二、構(gòu)造等腰三角形

4.如圖，△ABC的面積為Icn?,A尸垂直NABC的平分線8P于P,則APBC的面積

為（）

A.0.4cm2B.0.5cm2

C.0.6cm2D.0.7cm2

5.如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，NA=90。，80平分/ABC交AC于點(diǎn)

求證：BD=2CE.

E

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?類型二巧用等腰直角三角形構(gòu)造全等

6.（2016?銅仁中考）如圖，在AABC中，AC=8C,NC=90。，。是AB的中點(diǎn)，DE工DF,

點(diǎn)、E,尸分別在AC,8c上，求證：DE=DF.

?類型三等腰（邊）三角形中截長補(bǔ)短或作平行線構(gòu)造全等

7.如圖，已知48=AC,ZA=108°,B。平分NABC交4c于￡）,求證：BC=AB+CD.

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8.如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作尸EJ_AC于E,。為BC延長線上一點(diǎn),

且B4=CQ,連PQ交4C邊于D

(1)求證：PD=DQ；

(2)若△ABC的邊長為1,求0E的長.

參考答案與解析

1.40°

2.(1)證明：如圖，連接AD???AB=AC,。是8c的中點(diǎn)，???NEAO=N/^D又〈OELAB,

DFLAC,：.DE=DF.

(2)解：若N84C=90。，圖中與OE相等的有線段OF,AE,AF,BE,CF.

t

3.證明：如圖，作EFA.ACfF：：EA=EC,：.AF=FC=^AC.：AC=2ABt：,AF=

48「?工。平分/54。，???/84。=/。。.又???4￡=4￡,AAABE^AAFE(SAS),:./ABE

=ZAFF=90°./.EB1AB.

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B

D

4.B

5.證明：如圖，延長BA和CE交于點(diǎn)M「??CE_LB。，???NBEC=NBEW=90o.?.?BO平

分NA8C,：?4MBE=4CBE.又,：BE=BE,二△BMEgZ\BCE(ASA),：,EM=EC=^

MC.Y△ABC是等腰直角三角形，AZBAC=ZA/AC=90°,BA=AC,：.ZABD+ZBDA=

90°.VZ5EC=90°,/.N4CM+ZCDE=90°.V4BDA=4EDC,：?NABE=ACM.7.'：AB

=AC,???△ABO紇△4CM(ASA),：.DB=MC,:,BD=2CE.

6.證明：如圖，連接CD：4C=BC,。是AB的中點(diǎn)，平分NACB,CDLAB,

AZCDB=90°.VZACB=90°,/.ZBCD=ZACD=45°,二N8=180。-NCOB—NBCO=

45°,：?/ACD=/B=/BCD,；?CD=BD「：EDtDF,：?/EDF=/EDC+/CDF=90°.又

VZCDF-I-ZBDF=90°,:?NEDC=NBDF,：.AECD^AFfiDCASA),：.DE=DF.

7.證明：如圖，在線段BC上截取8E=84,連接平分NABC,；.NABD=

4EBD.又?：BD=BD,J△ABO妾△EBOBAS),，N8EO=NA=108°,，NOEC=180°—

NOEB=72°.又???AB=AC,ZA=108°,/.Z/ACfi=ZABC=1x(180°-108°)=36°,AZCDE

=ZD￡B-ZACB=1800-36o=72°,：.ZCDE=ZDEC,：,CD=CE,：.8C=BE+EC=AB

+CQ.

8.(1)證明：如圖，過P作P尸〃BC交AC于點(diǎn)尸，AZAFP=ZACB,ZFPD=ZQ,

NPFD=NQCDMAABC為等邊三角形,，NA=N4C8=60。，NAFP=60。,.?.△APF是

等邊三角形，：,AP=PF.'：AP=CQ,:.PF=CQ,：,APFD^A0CZ＞；ASA),：,PD=DQ.

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(2)解：二?△月尸產(chǎn)是等邊三角形，PELAC,：.AE=EF.*：/^PFD^^QCD,：.CD=DF,

???。石=七/+。尸=%。.又，??人。=1,：.DE=\.

模型構(gòu)建專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形

——明模型，悉結(jié)論

?類型一共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

1.如圖，已知△48C和△QBE均為等腰直角三角形.

(。求證：AD=CEx

(2)猜想：4。和CE是否垂直？若垂直，請說明理由；若不垂直，則只要寫出結(jié)論，不

用寫理由.

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?類型二共頂點(diǎn)的等邊三角形

2.如圖①，等邊△ABC中，。是A3邊上的動點(diǎn)，以CD為?邊，向上作等邊△EDC,

連接AE.

(□△O8C和△E4C會全等嗎？請說明理由；

(2)試說明AE〃BC的理由；

(3)如圖②，將(1)中動點(diǎn)。運(yùn)動到邊84的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是否

仍有AE〃BC?證明你的猜想.

圖①圖②

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參考答案與解析

1.(1)證明：:△ABC和△QBE均為等腰直角三角形，???48=8C,BD=BE,

ZABC=ZDBE=90°,:?NABC-/DBC=NDBE-/DBC,即NABD=NCBE,

:?/\ABDWACBE(SAS),：.AD=CE.

⑵解：垂直.理由如下：如圖，延長A。分別交BC和CE于G和尸.；八48。@48￡

J/BAD=/BCE.,:NBAO+NABC+N8GA=NBCE+ZAFC+ZCGF=180°,ZBGA=

NCGF,：.ZAFC=ZABC=90<},：.ADLCE.

2.解：(9△OBC和△E4C全等.理由如下：;△ABC和△EQC為等邊三角形，???BC

=AC,DC=EC,/ACB=/DCE=60。，［NACB-NACD=NDCE-NACD,即/8CO=

NACE,.?.△￡>4C絲△E4C(SAS).

(2)VADBC^AE4C,工NEAC=N8=60°.又:NAC8=60。，；?NEAC=NACB,

C.AE//BC.

(3)仍有4E〃BC.證明如下：,:XABC,△EQC為等邊三角形，：.BC=AC,DC=CE,

N8CA=NDCE=60。，???ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD,即ZBCD=/ACE.在ADBC和

BC=AC,

△EAC中，「NBCD=NACE,.?.△OBCgZ\EAC(SAS),???NEAC=/5=60。.又???/4。3

CD=CE,

=60°,AZEAC=ZACB,：.AE//BC.

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類比歸納專題：證明線段相等的基本思路

——理?xiàng)l件、定思路，幾何證明也容易

?類型一已知“邊的關(guān)系”或“邊

角關(guān)系”用全等?類型二已知角度關(guān)系或線與線之

1.如圖，已知A8=4E,BC=ED,4B間的位置關(guān)系用”等角對等邊”

=NE,AF1.CD,尸為垂足，求證：3.如圖，在△A6C中，CE、C尸分別平

(1)AC=A。；分NAC8和△4CB的外角NACG,EF//BC

(2)CF=DF.交AC于點(diǎn)。，求證：DE=DF.

4.(2015-2016?孝南"期末)如圖,在

△ABC中，NACB=2NB,N84C的平分線

AZ)交8C于。，過C作CN上AD交4。于

2.如圖，ZC=90°,BC=AC,D、E分H,交A3于N.

別在8C和AC上，且BD=CE,M是4B的(1)求證：AN=AC；

中點(diǎn).求證：是等腰三角形.(2)試判斷BN與C。的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

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?類型三已知角平分線、垂直或垂直6.如圖，在△ABC中，ZC=90",AD

平分用相應(yīng)的性質(zhì)是N8AC的平分線，DELABfE,尸在AC

5.如圖，ZVIBC中，NCA8的平分線上，8。=。尸.求證：

與BC的垂直平分線DG相交于0,過點(diǎn)D(\)CF=EB^

作OE_LAB,DFVAC,求證：BE=CF.(2)AB=AF+2EB.

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參考答案與解析

1.證叨：(1)在△A5C和△AED中，A3=A￡,ZB=ZE,BC=ED,；?/\ABgAAED,

：.AC=ADi

(2)在RtZiAC尸和RtZ\AD尸中，AC=AD,AF=AF,工△AC/經(jīng)△AD凡：.CF=DF.

2.證明：連接CM,則BM=CM,且CM_LM8,，N5=NMCE=45°,：.BM=AM=

CM.在△MB。和△MCE中，BM=CM,NB=NMCE,BD=CE,：.DM

=EM,???△MOE是等腰三角形.

3.證明：???CE是△ABC的角平分線，???NACE=NBC￡???C/為△ABC外角NACG的

平分線，，ZACF=4GCF：：EF〃BC,：.NGCF=ZF,NBCE=/CEF.：.ZACE=NCEF,

4F=4DCF,:?CD=ED,CD=DF,：.DE=DF.

4.(1)證明：2AHN=NA"C=9(T.又?.,A￡>平分/胡C,.?.乙NAH=4CAH.

又丁在△AN“和△AC"中，NAHN+/NAH+NANH=180。,NA”C+NC4/7+NAC7/二

180°/.ZANH=ZACH,：.AN=AC；

(AN=AC,

(2)解：BN=CD理由如下：連接ND「在叢AND和△ACO中，JNN4O=CA。，

[AD=ADt

:.LAND@△ACD(SAS),：.DN=DC,4AND=4ACD.又,：NACB=2/B,：?NAND=2/B.

又二△BN。中，4AND=4B+4NDB,:?/B=NNDB,:?NB=ND,:.BN=CD.

5.證明：連接5。、CD'?'A。是/以E