2.1等式的性質與不等式-【新教材】人教A版（2019）高中數學必修第一冊講義

新教材必修第一冊2.1：等式的性質與不等式課標解讀：不等式與不等式的概念.（理解）實數比較大小的依據.（理解）等式的性質.（理解）不等式的性質.（掌握）學習指導：通過具體實例，體會不等號表示不等關系的簡潔性，認識不等式在現實生活中的廣泛應用.在回顧等式及性質的基礎上類比學習不等式及其性質，并注意區(qū)分它們之間的差異.知識導圖：教材全解知識點1：不等關系與不等式不等關系與不等式在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，用數學符號“≠”、“＞”、“≥”、“＜”“≤”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系.含有這些不等符號的式子叫做不等式.“<”或“>”連接的不等式叫做嚴格不等式；用“≤”或“≥”連接的不等式叫做非嚴格不等式.2.不等關系在實際生活中的體現不等關系反映在日常生活的方方面面，比如：常量與常量之間的不等關系，如鐵的密度大于水的密度；變量與常量之間的不等關系，如某卡車的承載質量G小于或等于10t.函數與函數之間的不等關系，如當時，方案一的費用小于方案二的費用.一組變量之間的不等關系，如買圓珠筆的費用與買作業(yè)本的費用的和不超過200元.3.用不等式組表示不等關系當問題情境中包含兩個或兩個以上的不等關系時，需要不等式組來表示不等關系.例1-1：李輝準備用自己存的零花錢買一臺學習機，他現在已存60元，計劃從現在起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有400元.設個月后他至少有400元，則他可以用于計算所需要的月數之間的不等式是（）A.B.C.D.答案：B.例1-2：完成一項裝修工程，請木工需支付工資每人400元，請瓦工需支付工資每人500元，要求工人工資預算不超過20000元。設木工人，瓦工人，則下列關系式正確的是（）A.B.C.D.答案：A.知識點2：實數比較大小的依據（重點）1.實數的特征（1）任意實數的平方不小于0；（2）任意兩個實數都可以比較大小，反之，可以比較大小的數一定是實數.2.實數大小比較的依據在數軸上，不同的點A與點B分別表示兩個不同的實數與，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大.如果是正數，那么；如果是等于0，那么；如果是負數，那么.反過來也對.這可表示為例2-3：設，則有（）A.P≥QB.P＞QC.P＜QD.P≤Q答案：A.例2-4：已知則（）A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能確定答案：A.知識點3：等式的性質（重點）等式有下面的基本性質性質1：如果，那么；性質2：如果，那么；性質3：如果，那么；性質4：如果，那么；性質5：如果，那么.例3-5：利用等式的基本性質，在橫線上填上適當的數.若，則，=；若，則，=；若，則，=.答案：（1）-2-1;（2）-6-2；（3）-3知識點4：不等式的性質別名性質內容注意性質1對稱性可逆性質2傳遞性同向性質3可加性可逆性質3的推論移項法則可逆性質4可乘性c的符號性質5同向可加性同向性質6同向同正可乘性同向、同正性質7可乘方性同正例4-6：已知且均不為0，那么下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.答案：D.例4-7：下列命題為真命題的是（）A.B.C.D.答案：D.重難拓展知識點5：比較大小時常用的作差法和作商法的解題依據以及應用范圍和步驟如下：作差法作商法依據應用范圍兩數（式）的大小關系不明顯.作差后積、商且易于判斷與0的大小關系的形式同號兩數（式）比較大小，兩數（式）的大小關系不明顯，作商后易于判斷與1的大小關系步驟①作差；②變形；③判斷差與0的大小關系；④下結論.①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④下結論.例4-8：若，求證：.答案：解題指導題型1：實數的大小比較例9：已知試比較與的大小.答案：作差法、作商法、平方法均可證明≥變式訓練1：若，則從小到大的排列順序是（）.A.B.C.D.答案：A.變式訓練2：某學習小組在調查鮮花市場的鮮花價格后得知，購買2枝玫瑰花與1枝康乃馨所需要的費用之和大于8元，而購買4枝玫瑰與5康乃馨所需要的費用之和小于22元.設購買2枝玫瑰所需要的費用為A元，購買3枝康乃馨所需費用為B元，則A，B的大小關系是（）A>BB.A<BC.A=BD.A,B的大小關系不能確定答案：A.題型2：不等式性質的應用1.判斷命題的真假例10：已知且，則下列命題中是真命題的是（）.A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么答案：D.2.證明不等式例11：已知，求證：答案：作差法，證明略.3.利用不等式的性質求范圍：例12：（1）已知，試求與的取值范圍；已知，求的取值范圍；已知，求的取值范圍.答案：（1）.（2）.（3）例13：已知求的取值范圍.答案：變式訓練：已知且則的取值范圍是.答案：4.實際應用例14：有一批襯衣原價為每件80元，甲、乙兩商場均有銷售.現在每個商場都推出了促銷政策：到甲商場買一件襯衣優(yōu)惠4元，買兩件襯衣優(yōu)惠8元，買三件襯衣優(yōu)惠12元......以此類推，直到減至半價為止；乙商場則一律按原價的7折酬賓.某單位欲為每位員工買一件該襯衣，問到哪個商場買比較合算？答案：若員工不超過5人，到乙商場合算。若員工恰為6人，甲、乙商場一樣合算。若員工超過6人，到甲商場合算.易錯題型易錯點1：忽略不等式成立的條件例15：給出下列命題：①若，則②若，則；③若，則；④若，則其中正確命題的序號是.答案：④易錯點2：誤用同向不等式的性質例16：已知，求的取值范圍.答案：C品味高考考向1：不等關系的實際應用例17：（浙江高考題）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只能使用一種顏色，且三個房間的顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：平方米）分別為，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/m2）分別為，在不同的方案中，最低總費用（單位：元）是（）B.C.D.答案：B考向2：不等式性質的應用例21：若，則一定有（）A.B.C.D.答案：D變式訓練1：設則（）A.B.C.D.答案：D變式訓練2：能說明“若”為假命題的一組的取值依次是.答案：1，-1（答案不唯一）基礎鞏固：1.下列運用等式性質變形不正確的是（）A.B.C.D.2.已知，記，則M與N的大小關系是（）A.M<NB.M=NC.M>ND.不確定3.已知，則（）.A.B.C.D.4.設，則的大小關系是（）.A.B.C.D.5.用不等式表示如圖兩個函數之間的關系為.6.如圖所示的兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個等腰直角三角形構成，圖（2）是一個矩形，從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關系，并將這種關系用含字母的不等式表示為.7.某化工廠制定明年某產品的生產計劃，受下面幾個條件的制約：生產次產品的工人不超過200人；每個工人的年工作時間為2100h，預計次產品明年的銷售量至少為80000袋；生產每袋產品需要4h；生產每袋產品需要原料20kg；本年年底庫存原料600t，明年可補充1200t.試根據這些數據預測明年的產量.若，試比較的大小.能力提升9.有外表一樣、質量不同的四個小球，它們的質量分別是，已知，這四個小球的質量由大到小的排列順序是（）A.B.C.D.10.設，定義運算“∧”和“∨”如下：∧，∨，若正數滿足，則（）A.∧≥2，∧≤2