4.1.2 冪函數(shù)的性質(zhì)“四基”測試題-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版(2020)必修第一冊

四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)【建議用時(shí)：40分鐘】【學(xué)生版】《第3章冪指數(shù)與對(duì)數(shù)》【4.1.2冪函數(shù)的性質(zhì)】一、選擇題（每小題6分，共12分）1、當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖像不可能經(jīng)過()A．第二象限B．第三象限C．第四象限 D．第二、四象限【提示】【答案】【解析】【說明】2、若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c【提示】【答案】【解析】【說明】二、填充題（每小題10分，共60分）3、冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為4、若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則=【提示】注意理解冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；5、冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為6、冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)（2，8）且，則的取值范圍是7、把函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)長度單位，再把所得圖像向下平移3個(gè)長度單位，所得函數(shù)的解析式為_____________8、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是三、解答題（第9題12分，第10題16分）9、利用函數(shù)圖像的平移變換；作出函數(shù)的圖像：；10、已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(eq\r(2)，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))；（1）求f(x)，g(x)的解析式；（2）求當(dāng)x為何值時(shí)：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．【附錄】相關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)一嚴(yán)格增（減）函數(shù)在區(qū)間上，冪函數(shù)的函數(shù)值隨著的嚴(yán)格增大（減少）而嚴(yán)格增大（減少），此時(shí)稱冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增（減）函數(shù)；考點(diǎn)二圖像通過定點(diǎn)考點(diǎn)三函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)圖像平移變換的規(guī)律：y=f(x)的圖像向左(+)或向右(-)平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)或y=f(x-a)的圖像；y=f(x)的圖像向上(+)或向下(-)平移k(k>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)+k或y=f(x)-k的圖像；【教師版】《第3章冪指數(shù)與對(duì)數(shù)》【4.1.2冪函數(shù)的性質(zhì)】一、選擇題（每小題6分，共12分）1、當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖像不可能經(jīng)過()A．第二象限B．第三象限C．第四象限 D．第二、四象限【提示】注意：函數(shù)研究“起點(diǎn)”是定義域；【答案】D；【解析】的圖象經(jīng)過第一、三象限，的圖象經(jīng)過第一象限，y＝x的圖象經(jīng)過第一、三象限，y＝x3的圖象經(jīng)過第一、三象限．故選D；【說明】冪函數(shù)性質(zhì)（定義域）與指數(shù)冪運(yùn)算的簡單交匯；2、若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c【提示】注意：圖像信息的“代數(shù)表示”；【答案】B；【解析】由冪函數(shù)的圖象可知在(0,1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知a>b>c>d，故選B．【說明】冪函數(shù)性質(zhì)；冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系：1、冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式；2、在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸；當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減。二、填充題（每小題10分，共60分）3、冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為【提示】注意理解冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；【答案】2；【解析】∵冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上嚴(yán)格減函數(shù)，所以，m2﹣m﹣1＝1，﹣5m﹣3＜0，解得m＝2；【說明】冪函數(shù)性質(zhì)；本題冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域與性質(zhì)的簡單交匯；4、若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則=【提示】注意理解冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；【答案】4；【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是冪函數(shù)，所以m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝﹣1或m＝3．又因?yàn)閥＝f（x）在（0，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以m﹣1>0，所以m＝3，f（x）＝x2，從而f（2）＝22＝4，【說明】冪函數(shù)性質(zhì)；本題冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域與性質(zhì)的簡單交匯；5、冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為【提示】注意理解冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；【答案】1；【解析】∵冪函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞減，所以，，解得m＝1，∴實(shí)數(shù)m的值為1，故答案為：1；【說明】冪函數(shù)性質(zhì)；本題冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域與性質(zhì)的簡單交匯；6、冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)（2，8）且，則的取值范圍是【提示】注意理解冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；【答案】（﹣∞，2）；【解析】∵冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象過點(diǎn)（2，8），∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)f（x）＝x3，∵f（a﹣1）＜1，∴（a﹣1）3＜1，∴a﹣1＜1，∴a＜2，故答案為：（﹣∞，2）；【說明】冪函數(shù)性質(zhì)；本題冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域與性質(zhì)的簡單交匯；7、把函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)長度單位，再把所得圖像向下平移3個(gè)長度單位，所得函數(shù)的解析式為_____________【提示】注意：函數(shù)與間的“形、數(shù)”聯(lián)系；【解析】由函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)長度單位，得函數(shù)，再由函數(shù)的圖像向下平移3個(gè)長度單位，得函數(shù)，經(jīng)化簡得，所以，答案為：?！菊f明】函數(shù)圖像的平移變換；8、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是【提示】注意理解冪函數(shù)的定義域與嚴(yán)格單調(diào)性；【答案】4；【解析】函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以時(shí)，y取最大值4【說明】本題是冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。三、解答題（第9題12分，第10題16分）9、利用函數(shù)圖像的平移變換；作出函數(shù)的圖像：；【提示】構(gòu)建已知函數(shù)與初等函數(shù)的聯(lián)系；【解析】原函數(shù)解析式可化為y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖像可由函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖所示；【考點(diǎn)】函數(shù)圖像的平移變換；10、已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(eq\r(2)，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))；（1）求f(x)，g(x)的解析式；（2）求當(dāng)x為何值時(shí)：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．【提示】注意：利用定義求解析式；【解析】（1）設(shè)f(x)＝xα，∵圖象過點(diǎn)(eq\r(2)，2)，故2＝(eq\r(2))α，解得α＝2，∴f(x)＝x2.設(shè)g(x)＝xβ，∵圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，∴eq\f(1,4)＝2β，解得β＝－2.∴g(x)＝x－2.（2）在同一平面直角坐標(biāo)系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示．由圖像可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(diǎn)(－1，1)和(1，1)．所以①當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)>g(x)；②當(dāng)x＝1或x＝－1時(shí)，f(x)＝g(x)；③當(dāng)－1<x<1且x≠0時(shí)，f(x)<g(x)；【考點(diǎn)】冪函數(shù)的定義，圖像通過定點(diǎn)，冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像；【附錄】相關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)一嚴(yán)格增（減）函數(shù)在區(qū)間上，冪函數(shù)的函數(shù)值隨著的嚴(yán)格增大（減少）而嚴(yán)格增大（減