3.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)（九大題型）（原卷版）

3．2．2雙曲線的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能類比橢圓性質(zhì)的研究，利用方程推出雙曲線的一些幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．（1）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)．（2）理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．知識(shí)點(diǎn)01雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線（a>0，b>0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍，即或雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線和的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足或．對(duì)稱性對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（，），把換成，或把換成，或把、同時(shí)換成、，方程都不變，所以雙曲線（a>0，b>0）是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心．頂點(diǎn)①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)．②雙曲線（，）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)，為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段叫做雙曲線的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為，．叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．離心率①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．②因?yàn)?，所以雙曲線的離心率．由，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度．③等軸雙曲線，所以離心率．漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作y軸的平行線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作x軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交．【即學(xué)即練1】（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率漸近線方程知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．對(duì)于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離是1，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的離心率為B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為D．直線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)03雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．【即學(xué)即練3】（2023·陜西商洛·高二?？计谀┤鐖D1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開(kāi)闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為．

知識(shí)點(diǎn)04雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，、、三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．雙曲線，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；（4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來(lái)．（5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的焦距為為其左右兩個(gè)焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與漸近線平行，若l上存在第一象限的點(diǎn)P滿足，則雙曲線C離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)05直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，1、當(dāng)，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；2、當(dāng)，即時(shí)，設(shè)該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切．【即學(xué)即練5】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？分別求出它們的方程.題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于雙曲線的判斷，正確的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．實(shí)軸長(zhǎng)為 D．漸近線方程為例2．（多選題）（2023·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為1 B．虛軸長(zhǎng)為2C．離心率 D．漸近線方程為例3．（多選題）（2023·廣西崇左·高二?？计谥校┫铝嘘P(guān)于雙曲線的結(jié)論中，正確的是（

）A．離心率為 B．焦距為C．兩條漸近線互相垂直 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為1變式1．（多選題）（2023·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 B．雙曲線的焦距為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的漸近線方程為變式2．（多選題）（2023·湖南郴州·高二?？计谀┮阎p曲線：，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．的離心率為 D．的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3題型二：雙曲線的漸近線例4．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）求雙曲線的漸近線為.例5．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．例6．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C的半徑為3，它與雙曲線的兩條漸近線均相切，且與該雙曲線的右支相交，則圓C的方程為．變式3．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則a的值為．變式4．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，其一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.變式5．（2023·上海嘉定·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.變式6．（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，且，則C的離心率為．變式7．（2023·廣東深圳·高二?？计谥校╇p曲線的一條漸近線方程為，則其離心率是.題型三：求雙曲線離心率的值例7．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┰O(shè)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，則雙曲線的離心率.例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓的圓心為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，半徑為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng).若圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為.例9．（2023·高二單元測(cè)試）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為．變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且滿足，，則雙曲線C的離心率為.變式9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與在第一象限相交于一點(diǎn)P，若，且直線傾斜角的余弦值為，則的離心率為．題型四：求雙曲線離心率的范圍例10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如果雙曲線右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是．例11．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．例12．（2023·陜西西安·高二西安中學(xué)校考階段練習(xí)）中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，，為與在第一象限的交點(diǎn)，且，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是A． B． C． D．變式10．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C中第一象限上的一點(diǎn)，的平分線與x軸交于Q，若，則雙曲線的離心率范圍為（

）A． B． C． D．變式11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線有交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的范圍是A． B． C． D．變式12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，一條漸近線與圓在第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．變式13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式14．（2023·山西晉城·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，P是右支上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系例13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知雙曲線，直線，求直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．例14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，并且E經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程.變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線的方程分別為和，當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，直線與雙曲線分別有兩個(gè)公共點(diǎn)？一個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)．

變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，直線，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．題型六：弦長(zhǎng)問(wèn)題例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)．例17．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)作漸近線的垂線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為．例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.變式18．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線，若，則.變式20．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有條．變式21．（2023·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)連接，過(guò)點(diǎn)作交雙曲線于點(diǎn)B，且，則．題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是3.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線m與軌跡C交于兩點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)？若能，求出直線m的方程；若不能，說(shuō)明理由．例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程．例21．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于，，若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率．變式22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．變式23．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求過(guò)定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.變式24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦的中點(diǎn)？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．變式25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題例22．（2023·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是雙曲線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).例23．（2023·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，且．(1)求雙曲線的方程．(2)已知點(diǎn)，兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，在雙曲線上，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，且，試問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例24．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).變式26．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在雙曲線C：上，過(guò)C的右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)，分別為C的左、右頂點(diǎn)，Q為C上異于，的點(diǎn)，求（k表示斜率）的值；(2)證明以為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．變式27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且左焦點(diǎn)到漸近線的距離為，直線經(jīng)過(guò)且互相垂直（斜率都存在且不為0），與雙曲線分別交于點(diǎn)和分別為的中點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)證明：直線過(guò)定點(diǎn).變式28．（2023·福建廈門·高二廈門一中校考期中）已知雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值變式29．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）設(shè)F是雙曲線：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F的直線與相交于M，N兩點(diǎn)．(1)若M，N都在雙曲線的左支上，求面積的最小值．(2)是否存在x軸上一點(diǎn)P，使得為定值?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．變式30．（2023·江西南昌·高二南昌十中?？计谥校┮阎p曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式31．（2023·江蘇南京·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)在雙曲線上，直線（不過(guò)點(diǎn)）的斜率為，且交雙曲線于、兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線、的斜率之和為定值.題型九：最值問(wèn)題例25．（2023·全國(guó)·高二期中）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.例26．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過(guò)作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．例27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，（，）的實(shí)軸長(zhǎng)為2，且過(guò)點(diǎn)，其中為雙曲線的離心率．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn)，記直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，求的最小值．變式32．（2023·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且的最小值為6，(1)求雙曲線方程(2)求面積的最小值變式33．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，的最小值，，且滿足．(1)求雙曲線的離心率；(2)若，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值．變式34．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，求的面積取最大值時(shí)的直線方程.變式35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn).以G為圓心作一個(gè)半徑為6的圓，點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線與直線GP相交于點(diǎn)Q.(1)求Q的軌跡方程；(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線l交曲線Q于B，C兩點(diǎn)，求四邊形GBAC面積的最大值.變式36．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期中）設(shè)橢圓：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．一、單選題1．（2023·江蘇南京·高二金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2．則（

）A． B．1 C． D．33．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為虛軸上端點(diǎn)，是中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到直線距離為，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在幾何學(xué)中，單葉雙曲面是通過(guò)圍繞其主軸旋轉(zhuǎn)雙曲線而產(chǎn)生的表面.由于有良好的穩(wěn)定性和漂亮的外觀，單葉雙曲面常常應(yīng)用于一些大型的建筑結(jié)構(gòu)，如發(fā)電廠的冷卻塔.已知某發(fā)電廠的冷卻塔的立體圖如圖所示，塔的總高度為150m，塔頂直徑為80m，塔的最小直徑（喉部直徑）為60m，喉部標(biāo)高（標(biāo)高是地面或建筑物上的一點(diǎn)和作為基準(zhǔn)的水平面之間的垂直距離）為110m，則該雙曲線的離心率約為（精確到0.01）（

）

A． B．C． D．6．（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2023·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交x軸于C點(diǎn)，直線BC交雙曲線于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知曲線的方程為（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)坐標(biāo)為的橢圓B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．不存在實(shí)數(shù)，使得曲線為離心率為的雙曲線D．“”是“曲線為橢圓”的必要不充分條件10．（2023·河北滄州·?？既＃┮阎?，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且，，關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，則（

）A．的實(shí)軸長(zhǎng)為2B．的離心率為C．的面積為D．的平分線所在直線的方程為11．（2023·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．漸近線方程為B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)C．若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則的周長(zhǎng)為28D．若從雙曲線的左?右支上任取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的最