人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題12圓的有關(guān)性質(zhì)(原卷版+解析)

專(zhuān)題12圓的有關(guān)性質(zhì)考點(diǎn)一圓的基本概念考點(diǎn)二利用垂徑定理求值考點(diǎn)三垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四垂徑定理的推論考點(diǎn)五圓周角概念辨析考點(diǎn)六同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等考點(diǎn)七直徑所對(duì)的圓周角是直角，考點(diǎn)八90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑考點(diǎn)九圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)考點(diǎn)一圓的基本概念例題：（2022·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過(guò)圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）有下列說(shuō)法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以作圓；（3）圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸；（4）優(yōu)弧的長(zhǎng)度大于劣弧的長(zhǎng)度．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2020·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等?。虎郯霃较嗟鹊膬蓚€(gè)圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣弧；⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)二利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長(zhǎng)為（

）A．8B．12C．16D．2【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于________cm．考點(diǎn)三垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長(zhǎng)20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為_(kāi)___________厘米．2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車(chē)又稱(chēng)孔明車(chē)，是我國(guó)最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_(kāi)______米．考點(diǎn)四垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（

）

①長(zhǎng)度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條?。虎莅雸A是圓中最長(zhǎng)的??；⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧C．等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條直徑考點(diǎn)五圓周角概念辨析例題：（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．等弧所對(duì)的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？考點(diǎn)六同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點(diǎn)P在⊙上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．55° B．64° C．65° D．70°考點(diǎn)七直徑所對(duì)的圓周角是直角例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是AB另一側(cè)半圓的中點(diǎn)，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．22．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長(zhǎng)BC=，P為弧AD上一點(diǎn)且AP=1，則PC=________________．考點(diǎn)八90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑例題：（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（

）A． B． C． D．4【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，，連接，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.考點(diǎn)九圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【變式訓(xùn)練】1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中）在中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)D在上，則的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2022·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°一、選擇題1．（2022·山東威?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°2．（2022·山西·中考真題）如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°3．（2022·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點(diǎn)E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長(zhǎng)為（

）A．16 B．13 C．10 D．4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點(diǎn)G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°二、填空題6．（2022·湖南邵陽(yáng)·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，若，則∠C的度數(shù)為_(kāi)__________．7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．8．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學(xué)校九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_(kāi)________平方米．9．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長(zhǎng)的最小值是______．10．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點(diǎn)D，的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，若的直徑是，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)______．三、解答題11．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．12．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長(zhǎng)度．13．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使，連接BD，ED．(1)求證：；(2)若，，⊙O的直徑長(zhǎng)為．14．（2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)雙溝中學(xué)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的長(zhǎng)．15．（2022·山東省棗莊市第四十一中學(xué)一模）在《折疊圓形紙片》綜合實(shí)踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問(wèn)題：(1)如圖1，的半徑為4cm，通過(guò)折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過(guò)圓心，求AB長(zhǎng)；(2)如圖2，弦AB，垂足為點(diǎn)C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)D，，求的半徑．專(zhuān)題12圓的有關(guān)性質(zhì)考點(diǎn)一圓的基本概念考點(diǎn)二利用垂徑定理求值考點(diǎn)三垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四垂徑定理的推論考點(diǎn)五圓周角概念辨析考點(diǎn)六同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等考點(diǎn)七直徑所對(duì)的圓周角是直角，考點(diǎn)八90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑考點(diǎn)九圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)考點(diǎn)一圓的基本概念例題：（2022·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過(guò)圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧【答案】A【解析】【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過(guò)圓心的弦是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）有下列說(shuō)法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以作圓；（3）圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸；（4）優(yōu)弧的長(zhǎng)度大于劣弧的長(zhǎng)度．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧進(jìn)行分析．【詳解】解：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，說(shuō)法正確，符合題意；經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)一定可以作圓，不符合題意；圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，符合題意；沒(méi)有強(qiáng)調(diào)是在同圓或等圓中，不符合題意；正確的說(shuō)法有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵是掌握直徑、弧的定義，注意在同圓或等圓中，優(yōu)弧的長(zhǎng)度一定大于劣弧的長(zhǎng)度．2．（2020·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等弧；③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣弧；⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等?。瓵．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【詳解】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，②同圓或等圓中長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等弧；故②不正確③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；故③正確④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧可位于弦的兩側(cè)，故不一定相等，則⑤不正確．綜上所述，正確的有①③故選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓相關(guān)概念，掌握弦與弧的關(guān)系以及相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長(zhǎng)為（

）A．8B．12C．16D．2【答案】C【解析】【分析】連接OA，先計(jì)算OM=，根據(jù)垂徑定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理計(jì)算AM，根據(jù)垂徑定理，得到AB=2AM，判斷選擇即可．【詳解】連接OA，∵⊙O的直徑CD=20，AB⊥CD，OM：OC=3：5，∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，∴AM==8，∴AB=2AM=16，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】先畫(huà)好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形進(jìn)行分類(lèi)討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理可將AC的長(zhǎng)求出，再根據(jù)勾股定理可將OC求出．【詳解】解：如圖，連結(jié)OA，則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，由勾股定理可得OC==3cm，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．考點(diǎn)三垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【答案】D【解析】【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過(guò)O作于D，交圓于C，設(shè)圓的半徑為r，而再利用勾股定理建立方程即可．【詳解】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過(guò)O作于D，交圓于C，則設(shè)圓的半徑為r，而解得：圓柱形容器的截面直徑為52cm．故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建符合垂徑定理的模型是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長(zhǎng)20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為_(kāi)___________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據(jù)勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進(jìn)而求出半徑．【詳解】解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，∴BC=10cm，令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長(zhǎng)，熟練地掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車(chē)又稱(chēng)孔明車(chē)，是我國(guó)最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_(kāi)______米．【答案】3【解析】【分析】過(guò)O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：則AD=BD=AB=4（米），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），即圓心O到水面AB的距離為3米，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進(jìn)行判斷．【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心，所以B選項(xiàng)為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧，所以C選項(xiàng)為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦，所以D選項(xiàng)為真命題．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）下列語(yǔ)句中不正確的有（

）

①長(zhǎng)度相等的弧是等?。虎诖怪庇谙业闹睆狡椒窒?；③圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條?。虎莅雸A是圓中最長(zhǎng)的?。虎薏辉谕粭l直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理及圓的有關(guān)概念和對(duì)稱(chēng)性對(duì)每個(gè)語(yǔ)句分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蛲耆睾系幕∈堑然?故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說(shuō)法正確；圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，故③說(shuō)法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧，故④說(shuō)法不正確；半圓的弧長(zhǎng)是圓的弧長(zhǎng)的一半，不是圓中最長(zhǎng)的弧，故⑤說(shuō)法不正確；不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故⑥說(shuō)法正確，∴不正確的語(yǔ)句有4個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧C．等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條直徑【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)AC進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所以本選項(xiàng)正確；D、圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條直徑所在的直線，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．考點(diǎn)五圓周角概念辨析例題：（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓周角的定義（角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項(xiàng)中的角是圓周角．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的定義，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎(chǔ)題．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．等弧所對(duì)的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對(duì)稱(chēng)軸的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：A.

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)正確；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對(duì)稱(chēng)圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【答案】特征見(jiàn)解析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角【解析】【詳解】解：(a)∠1頂點(diǎn)在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點(diǎn)在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點(diǎn)P在⊙上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出∠A的度數(shù)，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴，∴∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】∵是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，∴∠C==40°故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答本題關(guān)鍵．2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．55° B．64° C．65° D．70°【答案】B【解析】【分析】利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，再利用圓周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠ADB的度數(shù)．【詳解】解：∵BC＝CD，∴，∵∠ABD和∠ACD所對(duì)的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°?∠BAD?∠ABD＝180°?72°?44°＝64°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七直徑所對(duì)的圓周角是直角例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可判斷A，根據(jù)圓周角定理可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系可判斷C，根據(jù)判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：∵AB、CD分別是⊙O的直徑，，∴CB⊥BD，故A選項(xiàng)正確，如圖，連接，，且∠CDE＝62°，，，，，，，，，故B，C選項(xiàng)正確，，，，，BDDE，故D選項(xiàng)不正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是AB另一側(cè)半圓的中點(diǎn)，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，證明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵AB是⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，∴∠ADB=90°，AD=DB，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABD=45°，∴∠C=∠A=45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∵BC=4，∴EC=EB=2，∵CD=，∴DE=，∴BD=，在等腰直角△BDA中，AB=，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長(zhǎng)BC=，P為弧AD上一點(diǎn)且AP=1，則PC=________________．【答案】3【解析】【分析】連接，易得為直徑，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．【詳解】解：連接，四邊形是正方形，，，是直徑．．在中，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接正多邊形，直徑所對(duì)的圓周角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記并靈活運(yùn)用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”．考點(diǎn)八90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑例題：（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先連接，由的弦垂直于，即可得是直徑，又由，，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)，則可求得的半徑．【詳解】解：連接，，，是的直徑，，，，的半徑為：．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理與勾股定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握的圓周角所對(duì)的弦是直徑定理的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，，連接，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【解析】【分析】首先由題意可知：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)E，在圓E上任取一點(diǎn)F，連接EF、DF、EP、PD，可知當(dāng)點(diǎn)E、P、D在一條直線上時(shí)，PD最小，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可證得，最后根據(jù)勾股定理即可求ED，據(jù)此即可求得．【詳解】解：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)E如圖：在圓E上任取一點(diǎn)F，連接EF、DF、EP、PD當(dāng)點(diǎn)E、P、D在一條直線上時(shí)，PD最小理由如下：，EP=EF(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時(shí)取等號(hào))此時(shí)PD最小，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，EP是圓的半徑在中，故PD的最小值為8故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，最短距離問(wèn)題，勾股定理，確定點(diǎn)P的位置是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】利用已知條件，可知∠BPA=90°，P點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點(diǎn)P，CP即為最小值，進(jìn)行計(jì)算求值即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，∴∠BPA=90°，∴P點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點(diǎn)P，CP即為最小值∵AB=6，∴OB=OP=3，∵BC=5，∴OC=,∴CP=，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的圓中幾何問(wèn)題的綜合運(yùn)用，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算求值是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，∵點(diǎn)A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=2∠BAD=100°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角的性質(zhì)與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．【變式訓(xùn)練】1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中）在中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)D在上，則的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，利用菱形性質(zhì)可得，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：，即可求出．【詳解】解：設(shè)，則∵四邊形OABC為菱形，∴，∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，∴，即．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是找出．2．（2022·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可求出∠C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一個(gè)外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度數(shù)可能是：125°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·山東威?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°【答案】B【解析】【分析】利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山西·中考真題）如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解析】【分析】首先連接CD，由AD是的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得，又由圓周角定理，可得，再用三角形內(nèi)角和定理求得答案．【詳解】解：連接CD，∵AD是的直徑，∴．∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握?qǐng)A周角定理是解此題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點(diǎn)E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長(zhǎng)為（

）A．16 B．13 C．10 D．【答案】C【解析】【分析】連接OC，可知OC=OB，設(shè)：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直徑AB．【詳解】解：如圖，連接OC，則OB=OC，∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點(diǎn)E，∴CE=DE=4，∵OE∶OB＝3∶5，設(shè)：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=1，∴OB=5，即AB=10．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的垂徑定理，以及勾股定理的應(yīng)用，合理利用線段比例關(guān)系構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解．【詳解】解：連接OE，如圖所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中點(diǎn)，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點(diǎn)G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°【答案】C【解析】【分析】先求出∠COB的度數(shù)，由圓周角定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系求出∠ABD=45°，即可得到答案．【詳解】解：∵∠COD=126°，∴∠COB=54°，∴，∵BD是圓O的直徑，∴∠BAD=90°，∵，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等弧所對(duì)的弦相等，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·湖南邵陽(yáng)·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，若，則∠C的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】36°##36度【解析】【分析】連接AD，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠ADB=90°，即可求得∠DAB的度數(shù)，由同圓中相等的弧所對(duì)的圓周角相等即可得∠C的度數(shù)．【詳解】如圖，連接AD．∵AB是直徑，∴∠ADB=90°．∴．∴∠C=∠DAB=36°．故答案為：36°．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角、同圓中相等的弧所對(duì)的圓周角相等，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．【答案】30°##30度【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進(jìn)而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學(xué)校九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_(kāi)________平方米．【答案】40【解析】【分析】由題意可知OC⊥AB于D，交圓弧于C，由垂徑定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意得：OC⊥AB于D，∴AD＝BD＝AB＝8米，在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），∴弧田面積＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長(zhǎng)的最小值是______．【答案】6【解析】【分析】過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H，連接OB，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理計(jì)算出OH，然后根據(jù)垂線段最短求解．【詳解】解：如圖，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H，連接OB，∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，在Rt△BOH中，由勾股定理可得：，∴線段OP長(zhǎng)的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段問(wèn)題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點(diǎn)D，的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，若的直徑是，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】1【解析】【分析】連接CD，根據(jù)AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，結(jié)合圓周角定理和三角形外角性質(zhì)，得出，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°，結(jié)合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴，，∵為直徑，且，∴∠BDC=90°，∴，∴，∴，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵，，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，作出輔助線，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過(guò)證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．【詳解】解：∵E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．12．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試