陜西省西安工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析）

2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高二第一次月考數(shù)學(xué)卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，故選：D2.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.3.若向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，則，所以在上的投影向量.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，故選：B.5.某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3”，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉所有基本事件，根據(jù)對(duì)立事件的定義可判定A，由古典概型概率公式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解BCD.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的樣本空間為，則，對(duì)于A，事件可同時(shí)發(fā)生，故不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，,,故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，,C正確，對(duì)于D，，D錯(cuò)誤，故選：C6.一道競(jìng)賽題，，，三人可解出的概率依次為，，，若三人獨(dú)立解答，則僅有1人解出的概率為（）A. B.C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，只有1人解出，則分三類，一是A解出而其余兩人沒有解出，一是B解出而其余兩人沒有解出，一是C解出而其余兩人沒有解出，每一類用獨(dú)立事件概率的乘法公式求解，然后這三類用互斥事件概率的加法求解.【詳解】.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率和互斥事件的概率，還考查了理解辨析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7.下列說法不正確的是（）A.8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是B.用抽簽法從含有20個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則個(gè)體甲和乙被抽到的概率均為0.2C.一組數(shù)據(jù)4，3，2，6，5，860%分位數(shù)為6D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為3【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)的概念求解判斷A；由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念判斷B；由百分位數(shù)的定義判斷C；由平均數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故A正確；用抽簽法從含有20個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則每個(gè)個(gè)體抽到的概率均為，故B正確；數(shù)據(jù)4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8，∵6×60%＝3.6，∴這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)5，故C錯(cuò)誤；若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，故D正確.故選：C.8.如圖所示，在三棱柱中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，延長(zhǎng)到，到，到，連接，，，得到三棱柱，由題意可得，即可得出答案.【詳解】如圖，延長(zhǎng)到，到，到，且，，，連接，，，得到三棱柱，則．延長(zhǎng)，，則與相交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以．又，所以，故．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得滿分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的項(xiàng)得0分．）9.下列是基本事實(shí)的是（）A.過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本事實(shí)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，基本事實(shí)1是過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4，故B正確；對(duì)于C，“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2，故C正確；對(duì)于D，“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線”是基本事實(shí)3，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，，則（）A.與的圖象有相同的對(duì)稱中心B.與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D.的解集為（）【答案】ABD【解析】【分析】整體法求得的對(duì)稱中心即可判斷A；由奇偶函數(shù)的定義即可判斷BC；數(shù)形結(jié)合即可判斷D．【詳解】令（），得（），所以圖象的對(duì)稱中心為（）；令（），得（），所以圖象的對(duì)稱中心為（），所以與的圖象有相同的對(duì)稱中心，故A正確；，所以與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故B正確；，故C不正確；由，得，即，所以，，解得（），故D正確．故選：ABD．11.在中，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)，則下列說法正確的是（）A.若為的重心，則B.若為的外心，則C.若為的垂心，則D.若為的內(nèi)心，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于ACD：先求出三角形各種心的坐標(biāo)，然后代入坐標(biāo)列方程求解；對(duì)于B：利用展開計(jì)算即可.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，對(duì)于A：若為的重心，則，所以若，則，解得，所以，A正確；對(duì)于B：若為的外心，其必在直線上，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時(shí)，若，則，解得，所以，C正確；對(duì)于D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，此時(shí)，若，則，解得，所以，D正確；故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)、數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示求出垂心的坐標(biāo)，由此即可順利得解.12.在菱形中，，，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)A至點(diǎn)（在平面外）的位置，則（）A.在折疊過程中，總有BD⊥PCB.存在點(diǎn)，使得C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A，由題可得PC的取值范圍可判斷B，利用正方體的性質(zhì)可判斷C，利用三棱錐的體積的公式結(jié)合條件可求判斷D.【詳解】如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則BE⊥PC，DE⊥PC，因?yàn)?，BD，平面BDE，所以PC⊥平面BDE，又平面BDE，所以，A項(xiàng)正確；在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以，當(dāng)△ABD沿對(duì)角線BD折起時(shí)，，所以不存在點(diǎn)P，使得PC=2，B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)PC=1時(shí)，將正四面體補(bǔ)成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三棱錐P-BCD的外接球就是該正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的各面的對(duì)角線長(zhǎng)為1．所以正方體棱長(zhǎng)為，設(shè)外接球的半徑為R，則，所以三棱錐的外接球的表面積，C項(xiàng)正確；當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，平面平面BCD，取BD的中點(diǎn)O，連接PO，OC，易知平面BCD，則，又，所以，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為______．【答案】2【解析】【分析】設(shè)且，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.【詳解】設(shè)，且.則，，，解得，故答案為：2.14.為了迎接2025年第九屆亞冬會(huì)的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會(huì)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)．已知該班男生30人，女生20入、按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進(jìn)行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：男生答對(duì)題目的平均數(shù)為10，方差為1：女生答對(duì)題目的平均數(shù)為15，方差為0.5，則這10人答對(duì)題目的方差為______．【答案】6.8【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣，均值與方差公式計(jì)算即可.【詳解】男生30人，女生20人，則抽取的時(shí)候分層比為．則10個(gè)人中男女分別抽取了6人和4人.這10人答對(duì)題目的平均數(shù)為.所以這10人答對(duì)題目的方差為.故答案：6.815.已知銳角中，，則的取值范圍______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式知，分別討論或，結(jié)合題意即可求出，由正弦定理將化簡(jiǎn)為，代入即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得：，在中，因?yàn)?，又，所以所以，①?dāng)時(shí)，且，若是銳角三角形，則，所以，不成立；②當(dāng)時(shí)，且，所以，所以，則，且，且，，又，，，，所以.故答案為：.16.設(shè)，滿足，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造同構(gòu)的形式，定義函數(shù)，判斷出在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，即可得到，即可求出結(jié)果.【詳解】可化為，記，函數(shù)定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增.又，所以奇函數(shù).所以由可得，所以.故答案為：2.四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.某地教育研究中心為了調(diào)查該地師生對(duì)“高考使用全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷”這一看法，對(duì)該市區(qū)部分師生進(jìn)行調(diào)查，先將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：（1）請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整，若該地區(qū)共有教師30000人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)教師反對(duì)“高考使用全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)；（2）先按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣從“反對(duì)”的人中抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選出3人進(jìn)行深入調(diào)研，求深入調(diào)研中恰有1名學(xué)生的概率．

贊成反對(duì)合計(jì)教師120

學(xué)生

40

合計(jì)280120

【答案】（1）表格見解析，人（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)直接完善表格即可，以頻率為概率，按比例計(jì)算人數(shù)；（2）先按分層抽樣得4名教師2名學(xué)生，利用枚舉法得所有事件總數(shù)，再?gòu)闹刑舫銮∮?名學(xué)生事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【小問1詳解】表格補(bǔ)充如下：贊成反對(duì)合計(jì)教師12080200學(xué)生16040200合計(jì)280120400人，即可估計(jì)該地區(qū)教師反對(duì)“高考使用全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)為人；【小問2詳解】，，即這6人中有人為教師，人為學(xué)生，記這名學(xué)生為，名教師記為，，，，則隨機(jī)選出3人進(jìn)行深入調(diào)研，不同選法有：，，共種，恰有1名學(xué)生的選法有，共12種，故深入調(diào)研中恰有一名學(xué)生的概率.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng)【小問1詳解】方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故【小問2詳解】由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長(zhǎng)為19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)見證明；（2）(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)連結(jié)，交于點(diǎn)，推導(dǎo)出，平面，由此能證明平面平面；(Ⅱ)過作平面的垂線，垂足為，則即為直線與平面所成角，設(shè)為，設(shè)，由，求出，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】(Ⅰ)連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，則由∽，得，，，平面ABCD，平面ABCD，又平面QBD，平面平面ABCD．(Ⅱ)過D作平面PBC的垂線，垂足為H，則即為直線QD與平面PBC所成角，設(shè)為，設(shè)，，，即，解得，，直線QD與平面PBC所成角的正弦值．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想與空間想象能力，是中檔題．求線面角的方法：1、傳統(tǒng)法：根據(jù)圖形正確作出線面角是解決問題的關(guān)鍵，這要求學(xué)生必須具有較強(qiáng)的空間想象能力，同時(shí)還應(yīng)寫出必要的作、證、算過程；2、向量法：對(duì)于特殊的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等當(dāng)比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，也可采用向量法求解.20.現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購(gòu)買基金：投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購(gòu)買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件概率的性質(zhì)，由可得出答案；（2）先設(shè)出各個(gè)事件后得出，由題意得，且，從而解出p的取值范圍?！拘?詳解】解∵“購(gòu)買基金”的投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立，∴．又，∴．【小問2詳解】記事件為“甲投資股市且獲利”，事件為“乙購(gòu)買基金且獲利”，事件為“一年后甲、乙兩人中至少