人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三7.5 正態(tài)分布（精練）（原卷版）

7.5正態(tài)分布（精練）1正態(tài)分布（小題）1．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省江都中學(xué)階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．2．（2022春·湖北十堰·高二十堰東風(fēng)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某校有1200名同學(xué)參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，則下列說法正確的有（

）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③）A．這次考試成績超過100分的約有500人B．這次考試分?jǐn)?shù)低于70分的約有27人C．D．從中任取3名同學(xué)，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過100分的概率為3．（2022秋·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)校考期中）設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒有零點(diǎn)的概率是0.5，則（

）附：若，則，.A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.34134．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布，，其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（

）（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為，）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)5．（2022秋·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．1 C． D．26．（2022春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）某市高三理科學(xué)生有名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知，若按成績采用分層抽樣的方式抽取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為（

）A．60 B．40 C．30 D．157．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，，其中，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．2正態(tài)分布（解答題）1．（2022春·安徽合肥·高二校考階段練習(xí)）某高中調(diào)查暑假學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況，從高一、高二年級學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：(1)求的值，并求高一、高二全體學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該人每天鍛煉時(shí)間超過40分鐘的概率；(2)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，求至少有一人的鍛煉時(shí)間小于30分鐘的概率；(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生鍛煉時(shí)間Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)X表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取50人，其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．注：①計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)差；②若，則：，．2．（2022春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）鐘南山院士談到防護(hù)新型冠狀病毒肺炎時(shí)說：“我們需要重視防護(hù)，但不必恐慌，盡量少去人員密集的場所，出門戴口罩，在室內(nèi)注意通風(fēng)，勤洗手，多運(yùn)動(dòng)，少熬夜.”為了增強(qiáng)學(xué)生的防疫意識，某校組織了“增強(qiáng)防疫意識，強(qiáng)健自身體魄”知識競賽活動(dòng).教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，從該校參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.(1)求的值，并求這100名學(xué)生競賽成績的樣本平均值（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若該校所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，用（1）中的樣本平均值表示，其中估計(jì)值為15，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①在競賽活動(dòng)中，按成績從高到低分別設(shè)置一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)和參與獎(jiǎng)，若使該校有15.865%的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，則獲得一等獎(jiǎng)的最低分?jǐn)?shù)是多少？②若該校高二年級共有1000名學(xué)生參加了競賽，且參加競賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問這1000名學(xué)生成績不低于94分的學(xué)生數(shù)最有可能是多少？附：若，，，3．（2022春·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某市2022年初新建一家生產(chǎn)消毒液的工廠，質(zhì)檢部門現(xiàn)從這家工廠中隨機(jī)抽取了100瓶消毒液進(jìn)行檢測，得到該廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，視頻率為概率）．設(shè)該廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，并已求得．該廠決定將消毒液分為A、B、C級三個(gè)等級，其中質(zhì)量指標(biāo)值Z不高于14.55的為C級，高于62.35的為A級，其余為B級，請利用該正態(tài)分布模型解決下列問題：(1)該廠近期生產(chǎn)了10萬瓶消毒液，試估計(jì)其中B級消毒液的總瓶數(shù)；(2)已知每瓶消毒液的等級與售價(jià)X（單位：元/瓶）的關(guān)系如下表所示：等級ABC售價(jià)X302510假定該廠一年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為2千萬元（含引進(jìn)生產(chǎn)線、興建廠房等一切費(fèi)用在內(nèi)），問：該廠能否在一年之內(nèi)收回投資？試說明理由．附：若，則，，．3綜合運(yùn)用1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一研究機(jī)構(gòu)從某市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右且垃圾數(shù)量超過28噸/天的社區(qū)確定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量（噸）頻數(shù)56912864(1)通過頻數(shù)分布表估算出這50個(gè)社區(qū)這一天的垃圾量的平均值；（精確到0.1）(2)若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，請利用正態(tài)分布知識估計(jì)這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；(3)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，研究機(jī)構(gòu)決定對這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行跟蹤調(diào)查．現(xiàn)計(jì)劃在這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任取5個(gè)先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布與數(shù)學(xué)期望．2．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎(jiǎng)競賽（滿分100分），競賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等笑，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以黨為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（?。┤粼撌泄灿?0000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ⅱ）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值．附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．3．（2022春·陜西延安·高二?？计谀┠持袑W(xué)在全校進(jìn)行了一次愛國主義知識競賽，共1000名學(xué)生參加，答對題數(shù)（共60題）分布如下表所示：答對題數(shù)頻數(shù)1018526540011525答對題數(shù)近似服從正態(tài)分布，為這1000人答對題數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．(1)估計(jì)答對題數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（精確到整數(shù)位）；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學(xué)隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記答對題數(shù)位于的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，．4．（2022春·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校為了在初三上學(xué)期開始時(shí)掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到每段人數(shù)的頻率分布直方圖（如圖），且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；(2)若該校初三年級學(xué)生初始時(shí)跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：（i）預(yù)估全年級恰好有2000名學(xué)生時(shí)，正式測試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ii）若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，5．（2022春·江西九江·高二九江一中?？茧A段練習(xí)）口琴是一種大眾熟知的方便攜帶的樂器．獨(dú)奏口琴有三種，分為半音階口琴（有按鍵）、復(fù)音口琴、十孔口琴（又名布魯斯口琴、藍(lán)調(diào)口琴）．“口琴者聯(lián)盟”團(tuán)隊(duì)為了解口琴愛好者的練琴情況，提高口琴愛好者的音樂素養(yǎng)，推動(dòng)口琴發(fā)展，在全國范圍內(nèi)進(jìn)行了廣泛調(diào)查．“口琴者聯(lián)盟”團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了200名口琴愛好者每周的練琴時(shí)間x（單位：小時(shí)）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)由頻率分布直方圖可以看出，目前口琴愛好者的練琴時(shí)間x服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表），近似為樣本方差（），據(jù)此，估計(jì)1萬名口琴愛好者每周練琴時(shí)間在160分鐘到400分鐘的人數(shù)；(2)從樣本中練琴時(shí)間在和內(nèi)的口琴愛好者中用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行培訓(xùn)，設(shè)Y表示抽取的4人中練琴時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：樣本方差，，，，．6（2022春·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）北京冬奧會于2022年2月4日至20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，也是中國繼北京奧運(yùn)會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北京冬奧會的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng)．某高校組織了20000名學(xué)生參加線上冰雪運(yùn)動(dòng)知識競賽活動(dòng)，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績制作了如下表格：競賽得分頻率(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，在為“優(yōu)秀”，以這100名參賽學(xué)生中競賽得分的頻率作為全校知識競賽中得分在相應(yīng)區(qū)間的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校參加知識競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競賽得分結(jié)果為“良好”及以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)已知此次知識競賽全校學(xué)生成績近似服從正態(tài)分布，若學(xué)校要對成績不低于分的學(xué)生進(jìn)行表彰，請估計(jì)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)．附：若隨機(jī)變量，則.7．（2022春·湖北·高二安陸第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖．(1)求出這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)①該產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，利用該正態(tài)分布，求Z落在內(nèi)的概率：②將頻率視為概率，如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間，企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元；如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外，企業(yè)每件產(chǎn)品要損失50元．從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，記X為抽取的10件產(chǎn)品所獲得的總利潤，求．附：，．8．（2022春·山西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）我國脫貧攻堅(jiān)經(jīng)過8年奮斗，取得了重大勝利.為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某項(xiàng)目組對某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，隨機(jī)