專題13 導數(shù)的運算法則在抽象函數(shù)中的應用（原卷版）

專題13導數(shù)的運算法則在抽象函數(shù)中的應用一、考情分析導數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,與抽象函數(shù)有關(guān)的導數(shù)問題更是一個難點,求解此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的運算法則構(gòu)造合適的函數(shù),再利用導數(shù)的運算法則確定所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì),最后再利用函數(shù)性質(zhì)求解.二、解題秘籍(一)抽象函數(shù)的奇偶性及應用若可導函數(shù)是偶（奇）函數(shù)，則是奇（偶）函數(shù).【例1】已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，求的值.【解析】因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，即，所以，所以，令可得，即，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，得，所以4是函數(shù)的一個周期，所以．(二)和差型抽象函數(shù)的應用解答此類問題時一般要根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)求解,構(gòu)造時要結(jié)合所求的結(jié)論進行分析、選擇,然后根據(jù)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求解．如給出式子,可構(gòu)造函數(shù)，給出式子,可構(gòu)造函數(shù)，一般地，若給出通常構(gòu)造函數(shù).【例2】已知的導函數(shù)滿足且，求不等式的解集．【解析】令，則，∴在上為單調(diào)遞增．又∵，∴，則可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性可知不等式的解集為．(三)積型抽象函數(shù)的應用若給出形如的式子通常構(gòu)造函數(shù)，如給出可構(gòu)造函數(shù)，如給出，可構(gòu)造函數(shù)，如給出，可構(gòu)造函數(shù).【例3】設是定義在上的非負可導函數(shù)，且滿足，當時，證明:.【解析】是定義在上的非負可導函數(shù)，且滿足，故不為常數(shù)函數(shù)，且，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減，又，且，故，則①，又，所以②，①②兩式相乘得，即.【例4】設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，求不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集【解析】設，則,∵，∴,而,故,∴在R上單調(diào)遞增，又，故，∴的解集為，即不等式的解集為.【例5】定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)是，且恒有成立，比較與的大小.【解析】因為，所以，．由，得．即．令，，則．所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，所以，即．(四)商型抽象函數(shù)的應用若給出形如的式子通常構(gòu)造函數(shù)，如給出可構(gòu)造函數(shù)，給出，可構(gòu)造函數(shù)，給出，可構(gòu)造函數(shù).【例6】已知函數(shù)在恒有，其中為函數(shù)的導數(shù)，若，為銳角三角形兩個內(nèi)角，比較的大小.【解析】設，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.，為銳角三角形兩個內(nèi)角,則所以，由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增.則所以，即所以.(五)根據(jù)構(gòu)造函數(shù)若給出形如的式子通常構(gòu)造偶函數(shù)或奇函數(shù).【例7】設函數(shù)在上存在導函數(shù),,有,在上有,若,求實數(shù)的取值范圍.【解析】因為,所以令即函數(shù)為偶函數(shù),因為上有,所以即函數(shù)在單調(diào)遞增；又因為所以即,所以,解得,故選B.(六)信息遷移題中的抽象函數(shù)求解此類問題關(guān)鍵是如何利用題中的信息.【例8】已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴格增，設為函數(shù)圖像上互異的兩點，設直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對任意都有.【解析】（1），故是“線性控制函數(shù)”；，故不是“線性控制函數(shù)”.（2）命題為真，理由如下：設，其中由于在上嚴格增，故，因此由于為“線性控制函數(shù)”，故，即令，故，因此在上為減函數(shù)，綜上所述，，即命題“”為真命題.（3）根據(jù)（2）中證明知，對任意都有由于為“線性控制函數(shù)”，故，即令，故，因此在上為增函數(shù)因此對任意都有，即當時，則恒成立當時，若，則，故若時，則存在使得故1，因此綜上所述，對任意都有.（事實上，對任意都有，此處不再贅述）【例9】定義：若曲線C1和曲線C2有公共點P，且在P處的切線相同，則稱C1與C2在點P處相切．(1)設．若曲線與曲線在點P處相切，求m的值；(2)設，若圓M：與曲線在點Q（Q在第一象限）處相切，求b的最小值；(3)若函數(shù)是定義在R上的連續(xù)可導函數(shù)，導函數(shù)為，且滿足和都恒成立.是否存在點P，使得曲線和曲線y=1在點P處相切？證明你的結(jié)論．【解析】（1）設點，由，求導得，于是，解得，由，得，解得，所以m的值為9.（2）設切點，由求導得，則切線的斜率為，又圓M：的圓心，直線的斜率為，則由，得，令，求導得，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此當時，，所以當時，.（3）假設存在滿足題意，則有，對函數(shù)求導得：，于是，即，平方得，即有，因此，整理得，而恒有成立，則有，從而，顯然，于是，即與恒成立矛盾，所以假設不成立，即不存在點滿足條件.三、典例展示【例1】已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，若恒成立，求證：.【解析】設函數(shù)，因為，，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，從而,即，所以.【例2】已知函數(shù)滿足，且，判斷函數(shù)零點的個數(shù).【解析】，∴，，∵代入，得，∴.或，；，如圖所示，函數(shù)與函數(shù)的圖像交點個數(shù)為2個，所以的解得個數(shù)為2個；綜上，零點個數(shù)為3個.【例3】已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，且，求不等式的解集【解析】令，則，在上遞增，，，由，化為，即，，即不等式的解集為.【例4】已知定義在R上的函數(shù)的導數(shù)為,且滿足,當時,求不等式的解集.【解析】設,則,所以=,所以是偶函數(shù),設,則,所以,即,所以時,所以時,在上是增函數(shù),所以,故選C.【例5】已知定義域為的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足對任意的都有.(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在，對任意，成立，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；(3)若存在a、，使得，證明：對任意的實數(shù)、，都有.【解析】（1）若，則，由題意，對任意的都有，則，即，所以，由于的最小值為，的最大值為，所以，即實數(shù)a的取值范圍為；（2）依題意，，所以，在上為減函數(shù)，所以至多一個零點；，，當時，，當時，，所以存在零點，綜上存在1個零點；（3）因為，由導數(shù)的定義得，即，不妨設若，則若，則.【例6】若定義域為D的函數(shù)使得是定義域為D的嚴格增函數(shù)，則稱是一個“T函數(shù)”．(1)分別判斷，是否為T函數(shù)，并說明理由；(2)已知常數(shù)，若定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，證明：；(3)已知T函數(shù)的定義域為，不等式的解集為．證明：在上嚴格增．【解析】（1），定義域為，則是在上嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則是“T函數(shù)”；，定義域為，則不是在上嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則不是“T函數(shù)”；（2）定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，則在上嚴格單調(diào)遞增，設，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，（3）T函數(shù)的定義域為，故在上嚴格單調(diào)遞增，，設，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，當時，恒成立，則恒成立，故，若存在，使，則當時，，這與，矛盾，故不存在使，故恒成立，故在上嚴格增.四、跟蹤檢測1.函數(shù)滿足（為自然數(shù)的底數(shù)），且當時，都有（為的導數(shù)），比較的大小.2.設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且．求證：. 3.定義在上的函數(shù)有不等式恒成立，其中為函數(shù)的導函數(shù)，求證：.4．已知為定義域上函數(shù)的導函數(shù)，且，，且，求不等式的解集5.定義在區(qū)間上函數(shù)使不等式恒成立，（為的導數(shù)），求的取值范圍.6.設是定義在上的奇函數(shù).若是嚴格減函數(shù)，則稱為“函數(shù)”.(1)分別判斷和是否為函數(shù)，并說明理由；(2)若是函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；(3)已知奇函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為.判斷“在上嚴格減”是“為函數(shù)”