第5章 導數(shù)及其應用章末題型歸納總結（原卷版）

第5章導數(shù)及其應用章末題型歸納總結目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：導數(shù)的計算經典題型二：函數(shù)的單調性與導數(shù)經典題型三：切線方程問題經典題型四：距離最值問題經典題型五：最值與極值問題經典題型六：恒成立問題經典題型七：構造函數(shù)解不等式問題經典題型八：與導數(shù)有關的實際應用問題經典題型九：證明不等式問題經典題型十：零點問題模塊三：數(shù)學思想方法①分類討論思想②轉化與化歸思想③數(shù)形結合思想模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經典題型一：導數(shù)的計算例1．（2023·安徽滁州·高二?？茧A段練習）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列大小關系正確的是（

）

A．B．C．D．例2．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學考試）函數(shù)在上可導，若，則（

）A．12 B．9 C．6 D．3例3．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．例4．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B．-1 C． D．0例5．（2023·全國·高二隨堂練習）已知，，，，求下列函數(shù)在處的導數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．例6．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)．例7．（2023·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．經典題型二：函數(shù)的單調性與導數(shù)例8．（2023·寧夏銀川·高二寧夏育才中學?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.例9．（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學校考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為．例10．（2023·廣東肇慶·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的最小值為.例11．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州第一中學校?？茧A段練習）函數(shù)的增區(qū)間為．例12．（2023·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是．例13．（2023·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則的范圍是．例14．（2023·北京通州·高二?？茧A段練習）若在上是減函數(shù)，則b的取值范圍是.例15．（2023·陜西延安·高二陜西延安中學?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；(2)討論在上的單調性．例16．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.若時，求函數(shù)的單調區(qū)間.例17．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論的單調性；例18．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，討論的單調性.例19．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調性；例20．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，討論的單調性；例21．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論的單調性.經典題型三：切線方程問題例22．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．例23．（2023·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，則（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2例24．（2023·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）已知曲線在處的切線與坐標軸圍成三角形的面積為1，則實數(shù)的值為（

）A．0或1 B．1或 C．0或 D．或例25．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法.若定義是函數(shù)零點近似解的初始值，在點處的切線方程為，切線與軸交點的橫坐標為，即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值.以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點近似解.設函數(shù)，滿足，應用上述方法，則（

）A．1 B． C． D．例26．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（

）A． B． C． D．例27．（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（

）

A．1 B．2 C．0 D．例28．（2023·四川綿陽·高二?？计谥校┤糁本€是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5例29．（2023·陜西西安·高二西北工業(yè)大學附屬中學校考階段練習）若曲線與曲線在公共點處有相同的切線，則實數(shù)a等于（

）A． B．－ C．－ D．例30．（2023·全國·高三校聯(lián)考開學考試）若曲線存在垂直于y軸的切線，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．例31．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)（

）A．2 B．0或2 C． D．或0例32．（2023·全國·模擬預測）已知曲線在處的切線經過點，則的大致范圍是（

）（參考數(shù)據：，）A．（2，e） B．（e，3） C．（3，4） D．（4，5）經典題型四：距離最值問題例33．（2023·吉林白山·高二校聯(lián)考期末）已知點在函數(shù)的圖象上，點在直線上，則，兩點之間距離的最小值是（

）A． B．4 C． D．8例34．（2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考階段練習）已知點P（x,y）是曲線上的一動點，則點P（x,y）到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．例35．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）若點，，則、兩點間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2例36．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設P為曲線上一點，Q為曲線上一點，則|PQ|的最小值為（

）A． B．1 C． D．2例37．（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）已知直線與及的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）．A．1 B． C． D．例38．（2023·山西運城·高二康杰中學?？奸_學考試）函數(shù)，的圖象與直線分別交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．2例39．（2023·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）曲線上的點到直線的距離的最小值是（

）A．3 B． C．2 D．經典題型五：最值與極值問題例40．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的單調區(qū)間和極值．(1)；(2)．例41．（2023·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┮阎呛瘮?shù)的極小值點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求的極大值．例42．（2023·甘肅武威·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.例43．（2023·四川雅安·高二校考階段練習）設曲線在點處的切線方程為（其中，a，，是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例44．（2023·湖北黃岡·高二?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.例45．（2023·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值.例46．（2023·高二課時練習）已知函數(shù)在上的最小值為，求a的值.經典題型六：恒成立問題例47．（2023·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程.(2)若在定義域上恒成立，則a的取值范圍.例48．（2023·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)其中為常數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調區(qū)間；(3)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.例49．（2023·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，（其中）．(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若對于任意，都有成立，求的取值范圍．例50．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學校考期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上嚴格增，求實數(shù)的取值范圍.例51．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調增區(qū)間；(2)若對任意的，都有恒成立，求的取值范圍．例52．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為．(1)求，的值與函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．例53．（2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學?？计谥校┮阎瘮?shù)(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，函數(shù)在上的最大值為M，若存在，使得成立，求實數(shù)b的取值范圍．例54．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中學?？奸_學考試）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程;(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.經典題型七：構造函數(shù)解不等式問題例55．（2023·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例56．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意都有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例57．（2023·湖北武漢·高二武漢市育才高級中學校聯(lián)考期末）已知定義域為的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當時，，當時，，且，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．例58．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，且滿足，，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．例59．（2023·四川涼山·高二寧南中學?？茧A段練習）已知函數(shù)滿足，且的導函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．例60．（2023·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）函數(shù)的定義城為，，對任意，，則的解集為（

）A． B．C． D．例61．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域為R，為的導函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．例62．（2023·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．經典題型八：與導數(shù)有關的實際應用問題例63．（2023·寧夏銀川·高二寧夏育才中學?？茧A段練習）某校高二年級某小組開展研究性學習，主要任務是對某產品進行市場銷售調研，通過一段時間的調查，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量單位：千克與銷售價格單位：元千克近似滿足關系式，其中，，，為常數(shù)，已知銷售價格為元千克時，每日可售出千克，銷售價格為元千克時，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若該商品的成本為元千克，請你確定銷售價格的值，使得商家每日獲利最大．例64．（2023·高二課時練習）已知某廠生產一種產品的總成本C（單位：萬元）與產品件數(shù)x滿足函數(shù)關系，產品單價P（單位：萬元）和產品件數(shù)x滿足函數(shù)關系．問：產量為多少件時，總利潤最大？例65．（2023·黑龍江綏化·高二校考階段練習）消毒液已成為生活必需品，日常的消費需求巨大．某商店銷售一款酒精消毒液，每件的成本為元，銷售人員經調查發(fā)現(xiàn)，該款消毒液的日銷售量（單位：件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關系式．(1)求該款消毒液的日利潤與銷售價格間的函數(shù)關系式；(2)求當該款消毒液每件售價為多少元時，每日銷售該款消毒液所獲得的利潤最大，并求出日最大利潤．例66．（2023·高二課時練習）如圖是一張邊長為3的正方形硬紙板，現(xiàn)把它的四個角上裁去邊長為x的四個小正方形，再折疊成無蓋紙盒．當裁去的小正方形邊長x發(fā)生變化時，紙盒的容積V會隨之發(fā)生變化．當x在什么范圍內變化時，容積V隨著x的增大而增大？x在什么范圍內變化時，容積V隨著x的增大而減?。慨攛取何值時，容積V最大？最大值是多少？（紙板厚度忽略不計）

例67．（2023·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，某企業(yè)有甲、乙、丙三個工廠，甲、乙廠分別位于筆直河岸的岸邊A，B處，丙廠與甲、乙廠在河的同側，位于C處，CD垂直于河岸，垂足為D，且D與C相距20千米，D與A相距60千米，B與A相距20千米．現(xiàn)要在此岸邊BD（不包括端點）之間建一個物流供貨站E，假設運輸時從供貨站到甲、乙、丙三廠均沿直線行駛，從供貨站到甲、乙廠的運輸費用均為每千米2a元，從供貨站到丙廠運輸費用是每千米5a元，問：供貨站E建在岸邊何處才能使總運輸費用最?。?/p>

例68．（2023·高二課時練習）如圖，工廠A到鐵路專用線的距離km，在鐵路專用線上距離B100km的地方有一個配件廠C，現(xiàn)在準備在專用線的BC段選一處D鋪設一條公路（向著A），為了使得配件廠到工廠A的運費最省，那么D處應如何選址？（已知每千米的運費鐵路是公路的60%）經典題型九：證明不等式問題例69．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.例70．（2023·河北滄州·高二校考階段練習）求證：例71．（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極大值；(2)求證：.例72．（2023·湖南·高二南縣第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)證明：．例73．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，（）．(1)若存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，為的兩個極值點，證明：．例74．（2023·浙江·高三專題練習）證明以下不等式：(1)；(2)；(3).經典題型十：零點問題例75．（2023·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知，(1)求的極值；(2)若函數(shù)存在兩個零點，求的取值范圍.例76．（2023·天津濱海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考階段練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調區(qū)間、最值．(3)設在上有兩個零點，求的范圍.例77．（2023·西藏林芝·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)當時，求的函數(shù)值；(2)若有三個零點，求的取值范圍.例78．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.例79．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)設，若恰有個零點，求實數(shù)的取值范圍.例80．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)設，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點個數(shù).例81．（2023·貴州六盤水·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.模塊三：數(shù)學思想方法①分類討論思想例82．直線是曲線的一條切線，則實數(shù)（

）A．或1 B．或3 C． D．3例83．若是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例84．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例85．已知函數(shù)在處取得極大值，則（

）A．2 B．6 C． D．例86．若經過點作曲線的切線，則切線方程為（

）A． B．C．或 D．或例87．已知函數(shù)在內不是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例88．已知函數(shù)在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．②轉化與化歸思想例89．已知，則“”是“在內單調遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例90．若函數(shù)在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例91．已知函數(shù)的定義域為R，為的導函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．例92．已知定義在R上的可導函數(shù)的