數(shù)學(xué)-湖北武漢二中2024-2025學(xué)年高一上9月月考數(shù)學(xué)試卷和解析

一、單選題（40分）15分）下列四個(gè)關(guān)系：25分）若集合A＝{1，9，a2}，B＝{9，3a}，則滿足A∩B＝B的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為()35分）已知正實(shí)數(shù)a，b，設(shè)甲：則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件45分）已知1≤a+b≤41≤a﹣b≤2，則4a﹣2b的取值范圍是()A．{x|﹣4＜x＜10}B．{x|﹣3＜x＜6}C．{x|﹣2＜x＜14}D．{x|﹣2≤x≤10}55分）已知條件p：|x+1|＞2，條件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要條件，則a的取值范圍()A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥﹣1D．a(chǎn)≤﹣365分）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，A．2025∈[3]C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D．整數(shù)a、b屬于同一“類”的充分不必要要條件是“a﹣b∈[0]”75分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC周長(zhǎng)為的最小值85分）記max{x，y，z}表示x，y，z中最大的數(shù)．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，則max的最二、多選題（18分）（多選）96分）下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＞b的一個(gè)必要條件是a﹣1＞bB．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝4C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一負(fù)根”的充要條件D．已知集合M＝{0，1}，則滿足條件M∪N＝M的集合N的個(gè)數(shù)為4（多選）106分）下列說(shuō)法正確的是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．命題“?x∈R，1＜f（x）≤2”的否定是“?x∈R，f（x）≤1或f（x2”C．若x∈R，則函數(shù)的最小值為2D．當(dāng)x∈R時(shí)，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是[0，4）（多選）116分）定義全集U的子集A的特征函數(shù)UA，這里?UA表示A在全集U中的補(bǔ)集，那么對(duì)于集合A、B?U，下列所有正確說(shuō)法是()A．A?B?fA（x）≤fB（x）B．f?UA=1﹣fA（x）C．fA∪B（xfA（x）+fB（x）D．fA∩B（xfA（x）?fB（x）三、填空題（15分）125分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣8＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2﹣mx+m2﹣13＝0}，若B∩C≠?,A∩C=?,則m=.135分）設(shè)集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，B={a，a，a，a，a}，其中a1、a2、a3、a4、a5是五個(gè)不同的正整數(shù)，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，已知A∩B＝{a1，a4}，a1+a4＝10，A∪B中所有元素之和是246，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的集合A：.145分）對(duì)于一個(gè)由整數(shù)組成的集合A，A中所有元素之和稱為A的“小和數(shù)”，A的所有非空子集的B的“小和數(shù)”為，B的“大和數(shù)”為.四、解答題（77分）1515分）已知集合A＝{x|a+2≤x≤3a﹣4}（a∈RB＝{x|8≤x≤12}.（1）若A∪?RB＝R，求a的取值范圍；（2）若A∩B＝?，求a的取值范圍．1615分）已知非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求（?UA）∪（?UB（2）若x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1715分）已知p：關(guān)于x的方程x2﹣2ax+a2+a﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，q：m﹣1≤a≤m+3．（1）若命題?p是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．1815分）對(duì)于二次函數(shù)y＝mx2+nx+t（m≠0若存在x0∈R，使得mx+nx0+t＝x0成立，則稱x0為二次函數(shù)y＝mx2+nx+t（m≠0）的不動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若二次函數(shù)y＝2x23+a）x+a﹣1有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)x1、x2，且x1、x2＞0，求+的最小值．（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1a≠0）恒有不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．1917分）給定整數(shù)n≥3，由n元實(shí)數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集T＝{|a﹣b||a，b∈S，a≠b}，如果min（T）＝1，則稱集合S為一個(gè)n元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)f為其中所有元素絕對(duì)值之和．（1）判斷A＝{﹣0.11.1，2，2.5}、B＝{﹣1.50.5，0.5，1.5}，哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；（2）任取一個(gè)n元規(guī)范數(shù)集S，求證：|min（S）|+|max（S）|≥n﹣1；（3）當(dāng)S＝{a1，a2，…，a2023}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)f的最小值．注：min（X）、max（X）分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù)．一、單選題（40分）15分）下列四個(gè)關(guān)系：【解答】解：∵0是{0}中的元素，∴0∈{0}，即①正確.∵?是任何集合的子集，即??{0}，∴②正確.∵{0，1}含有兩個(gè)元素是數(shù)0和1，而{（0，1）}只含有一個(gè)元素是點(diǎn)（0，1即{0，1}和{（0，1）}含有的元素屬性不一樣，∴③不正確.∵{（a，b）}含有一個(gè)元素為點(diǎn)（a，b而{（b，a）}含有一個(gè)元素為點(diǎn)（b，a（a，b）與（b，a）是不相同的點(diǎn)，∴{（a，b）}≠{（b，a）}，故選：B.25分）若集合A＝{1，9，a2}，B＝{9，3a}，則滿足A∩B＝B的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為()則B?A，當(dāng)a＝3時(shí)，集合A中的元素不滿足元素的互異性，舍去，綜上所述，a＝0或故滿足A∩B＝B的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為2.故選：B.35分）已知正實(shí)數(shù)a，b，設(shè)甲：則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解：因?yàn)閍＞0，b＞0，且＜0，解得0，所以甲是乙的充分條件；由可得b＞a＞0，所以即所以甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C.45分）已知1≤a+b≤41≤a﹣b≤2，則4a﹣2b的取值范圍是()A．{x|﹣4＜x＜10}B．{x|﹣3＜x＜6}C．{x|﹣2＜x＜14}D．{x|﹣2≤x≤10}【解答】解：由﹣1≤a﹣b≤2，1≤a+b≤4，得0≤（a﹣b）+（a+b）≤6，即0≤2a≤6，﹣2≤2（a﹣b）≤4，所以﹣2≤2（a﹣b）+2a≤10，即﹣2≤4a﹣2b≤10.故選：D.55分）已知條件p：|x+1|＞2，條件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要條件，則a的取值范圍()A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥﹣1D．a(chǎn)≤﹣3【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴p：x＞1或x<﹣3，∴q是p充分不必要條件，∴p定義為集合P，q定義為集合q，∵q：x＞a，p：x＞1或x<﹣3，65分）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，A．2025∈[3]C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D．整數(shù)a、b屬于同一“類”的充分不必要要條件是“a﹣b∈[0]”對(duì)于A，2025＝405×5∈[0]，A錯(cuò)誤；對(duì)于B2=﹣1×5+3∈[3]，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每個(gè)整數(shù)除以5后的余數(shù)只有0，1，2，3，4，沒(méi)有其他余數(shù)，所以Z?[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，又[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]?Z，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，C正確；則a＝5n1+m，n1∈Z，b＝5n2+m，n2∈Z，∴a﹣b＝5（n1﹣n2）∈[0]若a﹣b∈[0]，則a﹣b＝5p，p∈Z，則a＝5n3+t，n3∈Z，所以b＝5（n3﹣p）+t，n3﹣t∈Z，所以a，b除以5后余數(shù)相同，所以a，b屬于同一“類”所以整數(shù)a、b屬于同一“類”的充要條件是“a﹣b∈[0]”，D錯(cuò)誤.故選：C.75分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC周長(zhǎng)為的最小值【解答】解：由題意可得，a+b+c＝3，所以故選：C.85分）記max{x，y，z}表示x，y，z中最大的數(shù)．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，則max{x2+4y2}的最【解答】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，三式相加得：3M≥++x2+4y2≥++2x2?4y2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?4xy≥3當(dāng)且僅當(dāng)=4xy，即時(shí)等號(hào)成立，所以M的最小值為2.故選：C.二、多選題（18分）（多選）96分）下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＞b的一個(gè)必要條件是a﹣1＞bB．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝4C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一負(fù)根”的充要條件D．已知集合M＝{0，1}，則滿足條件M∪N＝M的集合N的個(gè)數(shù)為4【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)a＝2，b＝1.5時(shí)滿足a＞b，但a﹣1＞b不成立，所以a＞b不是a﹣1＞b的充分條件，a﹣1＞b不是a＞b的必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2+x+1＝0的解為x=﹣1，此時(shí)集合A中只有一個(gè)元素，滿足題意，當(dāng)a≠0時(shí)，ax2+x+1＝0為一元二次方程，則由集合A中只有一個(gè)元素得Δ=1﹣4a＝0，故a=所以符合題意的a有兩個(gè)，a＝0或a=，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一負(fù)根，則0→→ac＜0，所以“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一負(fù)根”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镸∪N＝M，所以N∈M，又M＝{0，1}，故集合N的個(gè)數(shù)為22＝4個(gè)，故D正確.故選：CD.（多選）106分）下列說(shuō)法正確的是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．命題“彐x∈R，1＜f（x）≤2”的否定是“Vx∈R，f（x）≤1或f（x2”D．當(dāng)x∈R時(shí)，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是[0，4）【解答】解：當(dāng)c＝0時(shí)，A顯然錯(cuò)誤；原函數(shù)可化為y＝t+，t≥2，因?yàn)閥＝t+在t≥2時(shí)單調(diào)遞增，t＝2時(shí)，函數(shù)取得最小值，C錯(cuò)誤；當(dāng)x∈R時(shí)，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，當(dāng)k＝0時(shí)，1＞0恒成立，符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，4k＜0，解得0＜k＜4，故選：BD.（多選）116分）定義全集U的子集A的特征函數(shù)UA，這里CUA表示A在全集U中的補(bǔ)集，那么對(duì)于集合A、B∈U，下列所有正確說(shuō)法是()B．f?UA=1﹣fA（x）C．fA∪B（xfA（x）+fB（x）D．fA∩B（xfA（x）?fB（x）【解答】解：對(duì)于A：∵A?B，分類討論：①當(dāng)x∈A，則x∈B，此時(shí)fA（x）＝fB（x）＝1；②當(dāng)x?A，且x?B，即x∈?UB，此時(shí)fA（x）＝fB（x）＝0；③當(dāng)x?A，且x∈B，即x∈(?UA）∩B時(shí)，fA（x）＝0，fB（x）＝1，此時(shí)fA（x）≤fB（x）.綜上有fA（x）≤fB（x故A正確；對(duì)于B：f?UAUA=1﹣fA，故B正確；對(duì)于C：假設(shè)A∩B≠?,任取x∈A∩B，則x∈A∪B，則fA∪B（x）＝1，fA（x）+fB（x）＝2，則fA∪B（x）≠fA（x）+fB（x故C不正確；對(duì)于D1）若A∩B=?,則fA∩B（x0，有三種情況：①當(dāng)x∈A時(shí)，fA（x）＝1，fB（x）＝0；②當(dāng)x∈B時(shí)，fA（x）＝0，fB（x）＝1；③當(dāng)x?A且x?B時(shí)，fA（x）＝0，fB（x）＝0，以上均滿足fA∩B（xfA（x）?fB（x）.（2）若A∩B≠?時(shí)，有以下4種情況，①當(dāng)x∈A且x?B時(shí)，fA（x）＝1，fB（x）＝0，fA∩B（x）＝0；②當(dāng)x?A且x∈B時(shí)，fA（x）＝0，fB（x）＝1，fA∩B（x）＝0；③當(dāng)x∈A∩B時(shí)，fA∩B（x）＝fA（x）＝fB（x）＝1；④當(dāng)x∈?U（A∪B）時(shí)，fA∩B（x）＝fA（x）＝fB（x）＝0，以上均滿足fA∩B（xfA（x）?fB（x）.綜上所述，fA∩B（xfA（x）?fB（x故D正確.故選：ABD.三、填空題（15分）125分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣8＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2﹣mx+m2﹣13＝0}，若B∩C≠?,A∩C=?,則m＝4.【解答】解：A＝{x|x2+2x﹣8＝0}＝{﹣4，2}，B＝{x|因?yàn)锽∩C≠?,A∩C=?,所以3∈C，2?C4?C，由3∈C得9﹣3m+m2﹣13＝0，即m2﹣3m﹣4＝0，解得m=﹣1或m＝4，當(dāng)m=﹣1時(shí)，解x2+x﹣12＝0得C＝{﹣4，3}，此時(shí)A∩C＝{﹣4}，不滿足題意；當(dāng)m＝4時(shí)，解x2﹣4x+3＝0得C＝{1，3}，滿足題意.故答案為：4.135分）設(shè)集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，B={a，a，a，a，a}，其中a1、a2、a3、a4、a5是五個(gè)不同的正整數(shù)，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，已知A∩B＝{a1，a4}，a1+a4＝10，A∪B中所有元素之和是246，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的集合A：A＝{1，3，4，9，11}或A＝{1，3，6，9，10}..【解答】解：由題意，得a=a1，所以a1＝1，因?yàn)閍1+a4＝10，所以a4＝9，因?yàn)锳∪B中所有元素之和是246，化簡(jiǎn)為：a2+a3+a5+a+a+a=164，因?yàn)閍4＝9＜a5，而a2最小為2，a3最小為3，所以a5＜12，所以a5＝10或者a5＝11，此時(shí)a2＝3，a3＝4恰好滿足，此時(shí)a2＝3，a3＝6恰好滿足，145分）對(duì)于一個(gè)由整數(shù)組成的集合A，A中所有元素之和稱為A的“小和數(shù)”，A的所有非空子集的B的“小和數(shù)”為30，B的“大和數(shù)”為30720.【解答】解：由題意可知，B的“小和數(shù)”為(﹣7）+(﹣3）+(﹣1）+1+2+3+4+5+6+7+13＝30，集合B中一共有11個(gè)元素，則一共有211個(gè)子集，對(duì)于任意一個(gè)子集M，總能找到一個(gè)子集M，使得M+M=B，則子集M與子集M中元素合起來(lái)為B，且無(wú)重復(fù)，則M與M的“小和數(shù)”之和為A的“小和數(shù)”，這樣的子集對(duì)共有=210個(gè)，其中M＝B時(shí)，M=?,考慮非空子集，則子集對(duì)位210﹣1對(duì)，則B的“大和數(shù)”為（210﹣1）×30+30＝30720.故答案為：30；30720.四、解答題（77分）1515分）已知集合A＝{x|a+2≤x≤3a﹣4}（a∈RB＝{x|8≤x≤12}.（1）若A∪?RB＝R，求a的取值范圍；（2）若A∩B=?,求a的取值范圍.【解答】解1）∵A∪?RB＝R，∴B?A，（2i）若A=?,則a+2＞3a﹣4，所以a＜3，此時(shí)滿足A∩B=?;若A∩B=?,則3a﹣4＜8或a+2＞12，解得a＜4或a＞10，∴3≤a＜4或a＞10；綜上，a的取值范圍為{a|a＜4或a＞10}.1615分）已知非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R.（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求(?UA）∪(?UB（2）若x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解1）方法一：當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|1≤x≤7}，所以?UA＝{x|x＜1或x＞7}.因?yàn)锽＝{x|﹣2≤x≤4}，所以?UB＝{x|x<﹣2或x＞4}，所以(?UA）∪(?UB）＝{x|x＜1或x＞4}.方法二：當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|1≤x≤7}，故A∩B＝{x|1≤x≤4}，所以(?UA）∪(?UB）=?U（A∩B）＝{x|x＜1或x＞4}.（2）因?yàn)閤∈A是x∈B成立的充分不必要條件，所以A是B的真子集，A≠?時(shí)，解得?1≤a＜或?1＜a≤,綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1715分）已知p：關(guān)于x的方程x2﹣2ax+a2+a﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，q：m﹣1≤a≤m+3.（1）若命題?p是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解1）命題?p是假命題，則p為真命題，p：關(guān)于x的方程x2﹣2ax+a2+a﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則Δ=4a2﹣4（a2+a﹣1）≥0，解得a≤1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤1}.（2）q：m﹣1≤a≤m+3，p：a≤1，p是q的必要不充分條件，則m+3≤1，解得m≤﹣2，故m的取值范圍為{m|m≤﹣2}.1815分）對(duì)于二次函數(shù)y＝mx2+nx+t（m≠0若存在x0∈R，使得mx+nx0+t＝x0成立，則稱x0為二次函數(shù)y＝mx2+nx+t（m≠0）的不動(dòng)點(diǎn).（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若二次函數(shù)y＝2x23+a）x+a﹣1有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)x1、x2，且x1、x2＞0，求+的最小值.（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1a≠0）恒有不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.【解答】解1）由題意知：x2﹣x﹣3＝x，x2﹣2x﹣3＝0x﹣3x+10，解得x1=﹣1，x2＝3，所以不動(dòng)點(diǎn)為﹣1和3.（2）依題意，2x23+a）x+a﹣1＝x有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，即方程2x24+a）x+a﹣1＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以，解得a＞1，因?yàn)閍＞1，所以a﹣1＞0，所以的最小值為8．（3）由題知：ax2+（b+1）x+（b﹣1x（a≠0所以ax2+bx+（b﹣10，由于函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1a≠0）恒有不動(dòng)點(diǎn)，所以Δ＝b2﹣4a（b﹣1）≥0，即b2﹣4ab+4a≥0，又因?yàn)閎是任意實(shí)數(shù)，所以Δ′4a）2﹣16a≤0，即a（a﹣1）≤0（a≠0解得0＜a≤1，所以a的取值范圍是（0，1]．1917分）給定整數(shù)n≥3，由n元實(shí)數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集T＝{|a﹣b||a，b∈S，a≠b}，如果min（T）＝1，則稱集合S為一個(gè)n元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)f為其中所有元素絕對(duì)值之和．（1）判斷A＝{﹣0.11.1，2，2.5}、B＝{﹣1.50.5，0.5，1.5}，哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；（2）任取一個(gè)n元規(guī)范數(shù)集S，求證：|min（S）|+|max（S）|≥n﹣1；（3）當(dāng)S＝{a1，a2，…，a2023}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)f的最小值．注：min（X）、max（X）分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù)．【解答】（1）解：對(duì)于集合A＝{﹣0.11.1，2，2.5}，因?yàn)?/p>