考點03 分式（精講）（原卷版）

考點03.分式（精講）【命題趨勢】分式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，其中分式的有意義（無意義）和分式值為零（負數(shù)、正數(shù)、整數(shù)等）、最簡分式等概念，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質和分式的運算（化簡求值）考查常以選擇題、填空題、計算題的形式命題?！局R清單】1：分式的相關概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子QUOTEAB叫做分式，其中A為分子，B為分母。（2）對于分式來說：①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無意義；③若A=0且B≠0，則=0；④當A=B≠0時，分式的值為1；⑤若>0，則A、B同號，若<0，則A、B異號。2：分式的性質（☆☆）（1）分式的基本性質分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。用式子表示為或，其中A，B，C均為整式。（2）約分及約分法則1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，然后約分。（3）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式。（4）通分及通分法則1）通分：根據(jù)分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分。2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項式，則先分解因式，再通分。（5）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母。3：分式的運算（☆☆☆）（1）分式的加減①同分母法則：分母不變，分子相加減。用式子表示：。②異分母法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。用式子表示為：。（2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：。（3.分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘。用式子表示：。（4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示：為正整數(shù)，。（5）分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算。混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的。【易錯點歸納】1.判斷是否為分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷。2.分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義。3.約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式（即化為最簡分式），而且約分前后分式的值相等。4.運用分式的基本性質時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0。5.當分式與整式相乘時，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。6.乘方時，一定要把分式加上括號，并且一定要把分子、分母分別乘方?！竞诵目键c】核心考點1.分式的相關概念例1：（2023·江蘇·?？寄M預測）若一個分式含有字母，且當時，它的值為12，則這個分式可以是．（寫出一個即可）變式1．（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個變式2．（2022·浙江湖州·中考真題）當a＝1時，分式的值是______．變式3．（2024·湖北·校考模擬預測）給定一列分式：，，，，，其中，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第2024個分式．例2：（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）下列說法錯誤的是（）A．當時，分式有意義 B．當時，分式無意義C．不論取何值，分式都有意義 D．當時，分式的值為0變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．變式2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1變式3．（2020·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）當時，下列分式?jīng)]有意義的是（

）A． B． C． D．例3：（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）若分式的值為負數(shù)，則x的取值范圍是．變式1.（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）若分式的值是負數(shù)，則x的取值范圍是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜變式2．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若分式的值為正，則實數(shù)的取值范圍是.例4：（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是．變式1．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）下列關于分式的判斷，正確的是（

）A．當時，的值為零 B．當x為任意實數(shù)時，的值總為正數(shù)C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．當時，有意義變式2.（2023·廣東廣州·?？级＃┮阎悍质降闹禐檎麛?shù)，則整數(shù)a有．核心考點2.分式的性質例5：（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質對分式變形，下列正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·河北石家莊·?？寄M預測）實數(shù)．則下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應（

）A．a(chǎn)擴大2倍，b擴大3倍 B．a(chǎn)，b同時擴大3倍C．a(chǎn)擴大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍變式1．（2023·江蘇鹽城·模擬預測）如果把分式中、的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼睦?：（2023·山東·統(tǒng)考二模）下列分式中，最簡分式是(

)A． B． C． D．變式1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預測）下列分式屬于最簡分式的是（

）A． B． C． D．例8：（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）計算：（

）A． B． C．5 D．a(chǎn)變式1．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）化簡分式的結果為．變式2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）化簡．例9：（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）要把分式與通分，分式的最簡公分母是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）分式的最簡公分母是，=。變式2．（2023·廣西梧州·二模）關于分式的約分或通分，下列哪個說法正確（）A．約分的結果是B．分式與的最簡公分母是x﹣1C．約分的結果是1D．化簡﹣的結果是1核心考點3.分式的運算例10：（2023·河北·統(tǒng)考二模）嘉琪在分式化簡運算中每一步運算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯誤的是（

）化簡：解：原式………………①通分……②合并同類項……③提公因式………………④約分A．① B．② C．③ D．④變式1.（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計算的結果等于（

）A． B． C． D．變式2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）若分式的值為正整數(shù)，則的取值可以是（

）A． B． C． D．例11：（2023·河北滄州·模擬預測）觀察分式變形過程：，其中“○”“□”“

”分別蓋住了一個整數(shù).（1）“○”“□”“

”表示的整數(shù)；（填“相同”或“不相同”）；（2）當時，的最小值為.變式1．（2023下·浙江嘉興·九年級校考階段練習）比較與的大?。ㄆ渲?，且）．(1)嘗試（用“<”，“=”或“>”填空）：①當，時，；②當，時，；(2)歸納：與有怎樣的大小關系？試說明理由．變式2．（2023·福建泉州·?？寄M預測）由淺入深是學習數(shù)學的重要方法．已知權方和不等式為，當且僅當時，等號成立．那么：若正整數(shù)數(shù)，，滿足，求的最小值．變式3．（2023·江蘇漣水·中考模擬）閱讀下列材料：分式和分數(shù)有著很多的相似點，例如類比分數(shù)的基本性質，我們得到了分式的基本性質；類比分數(shù)的運算法則，我們得到了分式的運算法則．我們知道，分子比分母小的叫做“真分數(shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式就是假分式，例如，這樣的分式就是真分式．假分數(shù)可以化成（即）帶分數(shù)的形式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如．解決下列問題：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式_____形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（4）若分式的值為，則的取值范圍是______（直接寫出答案）．例12：（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）在計算時，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但計算結果相同，則（

）嘉嘉：琪琪：A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡：．變式2．（2023·浙江·九年級專題練習）關于式子，下列說法正確的是（）A．當時，其值為2B．當時，其值為0C．當時，其值為正數(shù)D．當時，其值為正數(shù)例13：（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）化簡的結果是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）計算，以下結果正確的是（

）A． B． C． D．無意義變式2.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計算：．例14：（2023·廣東深圳·?？寄M預測）流感病毒的半徑大約為米，它的半徑用科學記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．變式1.（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）納米是表示微小距離的單位，1納米毫米，而1毫米相當于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的?。锌圃何锢硭芯繂T解思深領導的研究組研制出世界上最細的碳納米管——直徑納米．納米相當于毫米，數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法可以表示為（

）A． B． C． D．變式2.（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）溶度積是化學