考點06 反比例函數(shù)應(yīng)用（解析版）

考點六反比例函數(shù)應(yīng)用知識點整合一、反比例函數(shù)的實際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．考向一反比例函數(shù)的應(yīng)用用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；（2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．典例引領(lǐng)1．受北京冬奧會影響，小勇愛上了滑雪運動．一天，小勇在滑雪場訓(xùn)練滑雪，他從滑雪道頂端勻速滑到終點．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒．(1)求小勇第一次訓(xùn)練的速度是多少米/秒？(2)求所用時間秒與速度米秒的函數(shù)關(guān)系式；若要使所用時間不超過秒，則速度應(yīng)不低于多少米/秒？【答案】(1)3米/秒(2)v=；6米/秒【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及反比例函數(shù)的應(yīng)用；（1）依據(jù)題意，根據(jù)兩次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；（2）依據(jù)題意，求出從滑雪道頂端勻速滑到終點的路程，即可解決問題．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)小勇第一次訓(xùn)練的速度是米秒，則第二次訓(xùn)練的速度是米秒，．解得：，答：小勇第一次訓(xùn)練的速度是米秒．（2）從滑雪道頂端勻速滑到終點的路程為：米，小勇從滑雪道頂端勻速滑到終點的平均速度為米秒，所用時間為秒，．當(dāng)要使所用時間不超過秒時，即，．要使所用時間不超過秒，則速度應(yīng)不低于米秒．2．某商場出售一批進(jìn)價為元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價元與日銷售量之間滿足某種函數(shù)關(guān)系．（元）（個）(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)請你寫出請與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為元，試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，若物價局規(guī)定此賀卡的銷售價每個最高不能超過元，請你求出當(dāng)日銷售單價定為多少元時，才能使日銷售獲得最大利潤？【答案】(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，兩個變量的積是定值，也考查了根據(jù)實際問題和反比例函數(shù)的關(guān)系式求最大值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等量關(guān)系．（1）要確定與之間的函數(shù)關(guān)系式，通過觀察表中數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)與的乘積是相同的，都是，所以可知與成反比例，用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先要知道純利潤（銷售單價進(jìn)價）日銷售數(shù)量，確定與的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)題目的“售價最高不超過元/張”，就可以求出獲得最大日銷售利潤時的日銷售單價．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將代入得：，解得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（2），又，當(dāng)，最大．3．某汽車的功率為一定值，汽車行駛時的速度（米/秒）與它所受的牽引力（牛）之間的關(guān)系滿足反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：(1)請求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)它所受牽引力為牛時，汽車的速度為多少米/秒？【答案】(1)；(2)當(dāng)它所受牽引力為牛時，汽車的速度為米/秒．【分析】（）設(shè)，利用待定系數(shù)法即可求解；（）把代入（）中所得的函數(shù)關(guān)系式計算即可求解；本題考查了反比例函數(shù)與實際問題的綜合運用，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)，把代入得，，解得，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：把代入得，米/秒，答：當(dāng)它所受牽引力為牛時，汽車的速度為米/秒．4．某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品.如圖，這是某天恒溫系統(tǒng)從開始到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚里的溫度隨時間變化的函數(shù)圖象，其中段是恒溫階段，段是雙曲線的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)求的值.(2)求恒溫系統(tǒng)在這一天內(nèi)保持大棚內(nèi)溫度不低于的時間有多長.【答案】(1)(2)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里溫度不低于的時間有13.8小時．【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題時要先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，再觀察圖象特點，結(jié)合反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)作答．（1）直接將點的坐標(biāo)代入即可；（2）觀察圖象可知：三段函數(shù)都有的點，而且段是恒溫階段，，所以計算和兩段當(dāng)時對應(yīng)的值，相減就是結(jié)論．【詳解】（1）把代入中得：；（2）如圖，設(shè)的解析式為：．把、代入中得：，解得：，的解析式為：，當(dāng)時，，．，解得：，．答：恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里溫度不低于的時間有13.8小時．變式拓展5．研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上的注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學(xué)生注意力直線上升，中間一段時間，學(xué)生的注意力保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散，注意力與時間呈反比例關(guān)系降回開始時的水平．學(xué)生注意力指標(biāo)隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖所示．(1)求反比例圖數(shù)的表達(dá)式，并求點對應(yīng)的指標(biāo)值；(2)張老師在一節(jié)課上從第10分鐘開始講解一道數(shù)學(xué)綜合題，講解這道題需要15分鐘，當(dāng)張老師講完這道題時，學(xué)生的注意力指標(biāo)值達(dá)到多少?【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，點對應(yīng)的指標(biāo)值(2)當(dāng)張老師講完這道題時，學(xué)生的注意力指標(biāo)值達(dá)到12【分析】本題考查反比例函數(shù)解應(yīng)用題，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、已知自變量求函數(shù)值等知識，讀懂題意，求出反比例函數(shù)表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題意，設(shè)出反比例函數(shù)表達(dá)式，將代入表達(dá)式求解即可得到表達(dá)式，將代入求得的表達(dá)式即可得到點對應(yīng)的指標(biāo)值；（2）由（1）中得到的表達(dá)式，將代入表達(dá)式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，由圖知反比例函數(shù)過點，則代入表達(dá)式得，解得，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；當(dāng)時，，故點對應(yīng)的指標(biāo)值；（2）解：由題意得，，答：當(dāng)張老師講完這道題時，學(xué)生的注意力指標(biāo)值達(dá)到12．6．2023年8月8日，成都大運會閉幕式在成都露天音樂公園舉行．成都露天音樂公園是一座以音樂為主題，集文化藝術(shù)、休閑娛樂、旅游觀光等功能為一體的大型城市公園，公園的整體景觀設(shè)計融入了太陽神鳥文化、天府文化、鳳凰文化、古蜀音樂文化，同時其具國際化風(fēng)格．王華在公園的游客中心售賣大運會陶瓷文創(chuàng)紀(jì)念品，她以50元/件的價格購進(jìn)了一款陶瓷蓉寶手辦，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每天的銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）的關(guān)系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖像的一部分，為一次函數(shù)圖像的一部分．設(shè)銷售這款手辦的日利潤為（元）．

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式：(2)求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)日利潤為600元時，每件手辦的售價為多少元？【答案】(1)(2)80元/件或90元/件【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用及反比例函數(shù)的應(yīng)用：（1）分段討論：當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時，設(shè)直線為，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分類討論：當(dāng)時，當(dāng)時，分別代入（1）中對應(yīng)的函數(shù)解析式中即可求解；理清題意，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)時，設(shè)，將，代入得：，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，設(shè)直線為，因為，由題意得：，解得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為，綜上所述：．（2）當(dāng)時，，由，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，當(dāng)銷售價格為80元/件時，日利潤為600元，當(dāng)時，，由，解得：，，當(dāng)銷售價格為80元/件或90元/件時，日利潤為600元，綜上，當(dāng)日利潤為600元時，銷售價格為80元/件或90元/件．7．工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料煅燒和鍛造兩個工序，即需要將材料煅燒到，然后停止煅燒進(jìn)行鍛造操作，經(jīng)過時，材料溫度降為．煅燒時溫度與時間成一次函數(shù)關(guān)系；鍛造時，溫度與時間成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖）．已知該材料初始溫度是．

(1)分別求出材料煅燒和鍛造時y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料溫度低于時，需停止操作，那么鍛造的操作時間有多長？【答案】(1)燃燒時函數(shù)解析式為；鍛造時函數(shù)解析式為(2)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法．（1）先用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，然后求出點B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）把代入求出，然后再求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：設(shè)材料停止煅燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為，∵∴，∴，∴，把代入得，，∴，∴，∴材料停止煅燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為；設(shè)材料煅燒時y與x的函數(shù)關(guān)系式為，∵，∴，∴，∴材料煅燒時y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：把代入，∴，∴，．答：鍛造的操作時間為．8．某煤氣公司要在地下修建一個容積為的圓柱形煤氣儲存室，該儲存室的底面積為，深度為．(1)求S與d的函數(shù)關(guān)系式；(2)公司決定把儲存室的底面積定為，施工隊施工時應(yīng)該向地下報進(jìn)多深？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，由體積底面積高即可得到答案；（2）將代入函數(shù)解析式即可得到答案．【詳解】（1）解：由于體積底面積高，；（2）解：將代入函數(shù)解析式，得，解得．答：施工隊施工時應(yīng)該向地下報進(jìn)．9．某研究所經(jīng)實驗測得，成人飲用某品牌38度白酒后血液中酒精濃度y（微克/毫升）與飲酒時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（當(dāng)時，y與x成反比例）．(1)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出：血液中酒精濃度上升階段的函數(shù)表達(dá)式為；下降階段的函數(shù)表達(dá)式為；（并寫出x的取值范圍）(2)求血液中酒精濃度不低于200微克/毫升的持續(xù)時間是多少小時？【答案】(1)，(2)6小時【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用等知識.（1）當(dāng)時，設(shè)直線解析式為：，當(dāng)時，設(shè)反比例函數(shù)解析式為：，利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）分別求出時的兩個x值，再求時間差即可解決問題．【詳解】（1）解：當(dāng)時，由圖象可知，y是x的正比例函數(shù)，令，∴當(dāng)時，y與x成反比例，令，∴（2）解：當(dāng)，時，則，解得當(dāng)，時，則解得∵（小時），∴血液中酒精濃度不低于200微克/毫升的持續(xù)時間是6小時.10．越來越多的人選擇騎自行車這種低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住寶山的騎行愛好者打算騎行去上海蟠龍?zhí)斓?，記騎行時間為t小時，平均速度為v千米/小時（騎行速度不超過40千米/小時）．根據(jù)以往的騎行經(jīng)驗，v、t的一些對應(yīng)值如下表：v（千米/小時）15202530t（小時）21(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果這位騎行愛好者上午8：30從家出發(fā)，能否在上午9：10之前到達(dá)上海蟠龍?zhí)斓兀空堈f明理由；(3)若騎行到達(dá)上海蟠龍?zhí)斓氐男旭倳r間t滿足，求平均速度v的取值范圍．【答案】(1)(2)不能，理由詳見解析(3)【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式．（1）由表中數(shù)據(jù)可得