北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE15-北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的．1.函數(shù)f（x）＝lnx的定義域是（）A.（0，+∞） B.[0，+∞）C.（﹣∞，0）∪（0，+∞） D.R【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域選出正確選項.【詳解】由于是對數(shù)函數(shù)，所以其定義域為.故選：A【點睛】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對選項逐一分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，在上遞增，不符合題意；對于B選項，在上遞增，不符合題意；對于C選項，在上遞減，符合題意；對于D選項，在上遞增，不符合題意；故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，那么方程f（x）＝0的解是（）A. B.x＝1 C.x＝e D.x＝1或x＝e【答案】C【解析】【分析】通過解方程求得的解.【詳解】依題意，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)零點的求法，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)f（x）＝ex（1+x），那么不等式f（x）＜0的解集是（）A.（﹣∞，﹣e） B.（﹣∞，﹣1） C.（﹣∞，1） D.（﹣∞，e）【答案】B【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集.【詳解】由于對隨意，，所以不等式，所以不等式的解集為故選：B【點睛】本小題主要考查含有指數(shù)函數(shù)的不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得，再依據(jù)三角函數(shù)單位圓定義即可求得答案.【詳解】解：依據(jù)題意，由三角函數(shù)的單位圓定義得：∴故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題.6.已知等比數(shù)列{an}的公比為，且a2＝﹣2，那么a6等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列通項公式求得.【詳解】由于是等比數(shù)列，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.7.已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，那么該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)和的關(guān)系求得離心率.【詳解】由于雙曲線的漸近線為，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)f（x）＝2ax2+（a+2）x+1（a＜0），那么不等式f（x）＞0的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對因式分解，比較所得兩根的大小，由此求得的解集.【詳解】依題意，令，由于，故解得，且，所以解集為.故選：A【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.9.已知關(guān)于x的不等式2x﹣a＞0在區(qū)間上有解，那么實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分別常數(shù)法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以存在，使得，也即，由于在上遞增，當(dāng)時，，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查存在性問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，若函數(shù)g（x）＝f（x）+2x+lna（a＞0）有2個零點，則數(shù)a的最小值是（）A. B. C.1 D.e【答案】A【解析】【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點來求解.【詳解】令得，若有兩個零點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點.畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，當(dāng)直線過點時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，此時.由圖可知，當(dāng)直線向下平移時，可使兩個函數(shù)圖象有兩個交點，所以，所以的最小值為.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)零點問題的求解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，B＝，那么sinA＝_____．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得.【詳解】依題意，由正弦定理得，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.12.已知等差數(shù)列{an}滿意a1＝1，a3＝5，那么數(shù)列{an}的前8項和S8＝_____．【答案】【解析】【分析】先求得，再求得.【詳解】依題意，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.13.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，那么該拋物線的準(zhǔn)線方程是_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)拋物線的方程干脆求解即可.【詳解】解：因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點在正半軸上，且，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：【點睛】本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程，是基礎(chǔ)題.14.已知二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+1在區(qū)間[1，3]上是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由于為二次函數(shù)，所以，其對稱軸為，要使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則需其對稱軸在區(qū)間兩側(cè)，即或，解得，或，或，所以的取值范圍是故答案為：.【點睛】本小題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.15.已知函數(shù)，若對于隨意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，那么實數(shù)t的最大值是_____．【答案】【解析】【分析】推斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，，而，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，而，函數(shù)單調(diào)遞減，而，所以函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)且是遞增函數(shù)，因此有：，因為x∈[t，t+1]，所以x∈[，]，要想對于隨意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，則有，實數(shù)t的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了已知不等式恒成立求參數(shù)問題，考查了奇函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算實力.三、解答題：本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證期過程或演算步驟．16.已知等比數(shù)列的公比，且，．（Ⅰ）求數(shù)列通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）干脆依據(jù)等比數(shù)列的通項公式列式解方程計算即可；（Ⅱ）先求出，再依據(jù)分組求和的方法求解即可得答案.【詳解】解：（Ⅰ）依據(jù)題意得：，，兩式相除得：，由于，故，，所以數(shù)列的通項公式為：.（Ⅱ）依據(jù)題意得：，依據(jù)分組求和的方法得：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，分組求和法，考查運算實力，是基礎(chǔ)題.17.在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求ABC的面積．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）利用余弦定理列方程，解方程求得的值.（II）先求得的值，再依據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積.【詳解】（I）依題意，即，即，解得（負(fù)根舍去）.（II）由于，所以，所以【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)f（x）＝sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（I）；（II）最大值為，最小值為【解析】【分析】（I）化簡解析式，利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）依據(jù)三角函數(shù)最值的求法，求得在區(qū)間上的最大值和最小值．【詳解】（I）.由，得，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）由于，所以，所以，，.所以在區(qū)間上的最大值為，最小值.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的求法，屬于中檔題.19.如圖，在三棱柱中，平面,，分別是的中點（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得平面與平面所成二面角為？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，交于點，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）以所在的直線為軸、軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得則和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)，求得平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）取的中點，連接，交于點，可知為的中點，連接，易知四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分別以所在的直線為軸、軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則，設(shè)平面法向量為，則，即，令，可得，即，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）假設(shè)在棱是存在一點，設(shè)，可得，由，可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，即，又由平面一個法向量為，所以，因為平面與平面所成二面角為，可得，解得，此時，不符合題意，所以在棱上不存在一點，使得平面與平面所成二面角為.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象實力和邏輯推理實力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.已知函數(shù)f（x）滿意f（x）+2f（﹣x）＝x+m，m∈R（Ⅰ）若m＝0，求f（2）的值；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若對于隨意x∈[1，e]，都有成立，求m的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．【解析】【分析】（Ⅰ）當(dāng)m＝0時，分別在函數(shù)解析式中賦值，令和，列出方程組，解出的值；（Ⅱ）在原式中，以﹣x代換x，聯(lián)立兩個方程，解出可證明命題成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）代入解析式，參變分別，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，代入不等式求出m的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）m＝0時，f（x）+2f（﹣x）＝x時，時，，即，代入上式，解得（Ⅱ）證明：由f（x）+2f（﹣x）＝x+可得f（﹣x）+2f（x）＝﹣x+m，解得f（﹣x）＝﹣2f（x）﹣x+m（Ⅲ）由（Ⅱ），即化簡得：又在[1，e]上單調(diào)遞減綜上：m的取值范圍為【點睛】本題考查函數(shù)不等式的恒成立問題，考查函數(shù)解析式的求法，考查學(xué)生邏輯思維實力，屬于中檔題．21.已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點為M（2，0），且離心率e＝，點A，B是橢圓C上異于點M的不同的兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB肯定過定點．【答案】（I）；（II）證明見解析.【解析】【分