北京市順義區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題

順義一中20232024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)10月考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一.單選題（本大題共10小題，共40.0分）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解.【詳解】∵，∴故選：A.2.空間四邊形中，，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得.故選：B.3.已知空間向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，故充分；當(dāng)時(shí)，，即解得，故不必要；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的判斷以及空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，即，，，2，，分析可得、的值，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，則設(shè)，即，，，2，，則有，則，，則，，，故；故選：A．5.已知是空間的一個(gè)基底，在下列向量中，與向量，一定可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的定義依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；對(duì)于B選項(xiàng)，，故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；對(duì)于C選項(xiàng)，不存在使得成立，故能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)存在使得，則，解得，故，故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；故選：C6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即求解.【詳解】由題意，空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，所以,則，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．詳解：∵點(diǎn)A（﹣3，4），B（3，2），過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，∴直線l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率為=﹣1，PB的斜率為=1，∴直線l的斜率k≥1或k≤﹣1，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查直線的斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．直線的傾斜角和斜率的變化是緊密相聯(lián)的，tana=k,一般在分析角的變化引起斜率變化的過(guò)程時(shí)，是要畫出正切的函數(shù)圖像，再分析.8.正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)，，則正方體的體積是（）A.4 B. C.64 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意可知AB是正方體的體對(duì)角線，利用空間兩點(diǎn)的距離公式求出AB，再根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)求出體積．【詳解】解：∵正方體中不在同一表面上兩頂點(diǎn)，，∴AB是正方體的體對(duì)角線，，∴正方體的棱長(zhǎng)為4，正方體的體積為64．故選：C．9.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，，，，，所以．故選：A．10.在正方體中，O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則直線與平面所成角的正弦值的范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，后由空間向量知識(shí)可得與平面所成角的正弦值的表達(dá)式，即可得答案.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則.因點(diǎn)在線段上，設(shè)，.則，，.設(shè)平面法向量為，則，取.設(shè)與平面所成角為，則.注意到，則.故選：B二.填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.與向量方向相同的單位向量是______．【答案】【解析】【分析】由與方向相同的單位向量是可計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】，，即與向量方向相同單位向量是.故答案為：.12.如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______【答案】【解析】【詳解】如圖所示，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以,所以.13.若過(guò)點(diǎn)P(1－a,1＋a)與點(diǎn)Q(3,2a)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－2,1)【解析】【詳解】試題分析：由直線的傾斜角α為鈍角，能得出直線的斜率小于0，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：∵過(guò)點(diǎn)P（1a，1+a）和Q（3，2a）的直線的傾斜角α為鈍角，∴直線的斜率小于0，，故答案為考點(diǎn)：直線的斜率公式點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率公式及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系．14.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)B到直線的距離為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】連接，過(guò)B作，則即為所求，由三角形等面積計(jì)算求解.【詳解】解：如圖，連接，過(guò)B作，則即為點(diǎn)B到直線的距離，在正方體中，平面，，在直角中，，且，所以，點(diǎn)B到直線的距離為.故答案為：.15.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M和N分別是正方形ABCD和的中心，點(diǎn)P為正方體表面上及內(nèi)部的點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足，其中m、n、，且，則滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積是______．【答案】【解析】【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足，其中m、n、，且，所以點(diǎn)A，M，N三點(diǎn)共面，只需要找到平面AMN與正方體表面的交線即可．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足，其中m、n、，且，所以點(diǎn)A，M，N三點(diǎn)共面，又因?yàn)镸和N分別是矩形ABCD和的中心，所以，，連接MN，，則，所以即為經(jīng)過(guò)A，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的截面，故P點(diǎn)可以是正方體表面上線段，，AC上的點(diǎn)．所以所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積為．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共85.0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.已知直線l1過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(3，a)，直線l2過(guò)點(diǎn)M(2，2)，N(3+a，4).（1）若l1l2，求a的值；（2）若l1⊥l2，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直線平行知斜率相等，建立等量關(guān)系得解.（2）由直線垂直知斜率積為1，建立等量關(guān)系得解.【詳解】解：設(shè)直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2.（1）因?yàn)?，所以存在?因?yàn)?，所以，即，解?當(dāng)時(shí)，，所以A，B，M不共線，則符合題意.（2），①當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以存在且，則，即，解得.17.如圖，在平行六面體.，設(shè)向量（1）用表示向量（2）求【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量基本定理與空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于的表達(dá)式；（2）由（1）知，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算可求得.【小問(wèn)1詳解】，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由已知可得，所以.18.已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中點(diǎn).（1）求直線BD與直線PC所成角的余弦值；（2）求證：平面（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算異面直線所成角的余弦值；（2）利用數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得線線垂直，利用線線垂直證明線面垂直；（3）利用點(diǎn)到平面距離向量公式直接計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.由題意，，，，，，設(shè)直線BD與直線PC所成的角為，因?yàn)?，，所以，所以直線BD與直線PC所成角的余弦值為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，又平面，所以平面；【小?wèn)3詳解】由（2）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對(duì)值，由，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面，D，E分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）答案見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）由棱柱的性質(zhì)證得四邊形是平行四邊形，從而利用線面平行的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，，且，因?yàn)镈，E分別是棱的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以,又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，于是，所以，所以直線與平面所成角的正弦值.20.如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．(1)求證：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；(3)線段BC上否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由．【答案】（1）略（2）(3)見(jiàn)解析【考點(diǎn)定位】此題第二問(wèn)是對(duì)基本功的考查，對(duì)于知識(shí)掌握不牢靠的學(xué)生可能不能順利解答．第三問(wèn)的創(chuàng)新式問(wèn)法，難度非常大【解析】【詳解】試題分析：（1）證明A1C⊥平面BCDE，因?yàn)锳1C⊥CD，只需證明A1C⊥DE，即證明DE⊥平面A1CD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A1BE所成角的大?。唬?）設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量為假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直，則，可求得0≤a≤3，從而可得結(jié)論．（1）證明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如圖建系，則C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，設(shè)平面A1BE法向量為則∴∴∴又∵M(jìn)（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM與平面A1BE所成角的大小45°（3）解：設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），則a∈[0，3]∴，設(shè)平面A1DP法向量為則∴∴假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直，則，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在線段BC上存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直考點(diǎn)：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；直線與平面垂直的判定；用空間向量求直線與平面的夾角．21.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且，（1）求證：平面PAD；（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；（3）點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線EF與AC所成角為，求AF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量證明線線平行，再證明線面平行即可；（2）分別求出相關(guān)平面的法向量后，再運(yùn)用夾角公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算長(zhǎng)度即