8.3 簡單幾何體的表面積與體積（原卷版）（人教A版2019必修第二冊） -人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

8.3簡單幾何體的表面積與體積考法一多面積的表面積【例3-1】（2023下·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知一個直四棱柱的側(cè)棱長為6，底面是對角線長分別是9和13的菱形，則這個四棱柱的側(cè)面積是（

）．

A． B． C． D．【例1-2】（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正方體的八個頂點中，有四個頂點A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）

A． B． C． D．【例1-3】（2024上·北京昌平）《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023吉林長春）以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023下·甘肅酒泉）如果一個正四棱錐的底面邊長為6，高為3，那么它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．（2023下·廣東佛山·高一羅定邦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別是，高為2，則該四棱臺的表面積為（

）

A． B． C． D．考法二多面積的體積【例2-1】（2024下·云南昆明）正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為和的矩形，則它的體積為（

）A． B． C． D．或【例2-2】（2024上·北京）如圖，在正方體中，為的中點.若，則三棱錐的體積為（

）A．2 B．1 C． D．【例2-3】（2024上·江蘇泰州）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為（

）A．26 B．28 C．30 D．32【一隅三反】1．（2024上·四川南充）如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（

）．A． B．3 C． D．62．（2023上·海南）若正三棱臺的上?下底面的邊長分別為3和6，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．3．（2023下·廣西柳州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是.考法三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3-1】（2023下·新疆喀什）已知某圓柱的高為5，底面半徑為，則該圓柱的表面積為.【例3-2】（2024上·遼寧）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·廣西南寧）已知圓臺軸截面的面積為6，軸截面有一個角為120°，則該圓臺的側(cè)面積為．【一隅三反】1（2024上·江蘇南京）（多選）以長為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海浦東新）若圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，則圓柱的母線長為.3．（2023上·上海青浦·）圓錐的側(cè)面展開圖中扇形中心角為，底面周長為，這個圓錐的側(cè)面積是．4．（2024下·福建莆田）已知圓錐的母線為6，底面半徑為1，把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為考法四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4-1】（2023·湖南岳陽）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為5，弧長為的扇形，則此圓錐的側(cè)面積和體積分別是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023北京）（多選）圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為，則圓臺的（

）A．母線長是20 B．表面積是C．高是 D．體積是【一隅三反】1．（2024上·河南·）已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2023上·湖南）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，若新幾何體的高為5，則圓柱的體積為（

）

A． B． C． D．3．（2024·遼寧大連）（多選）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）

A．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．圓柱的表面積為D．圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和4．（2024·陜西咸陽）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為．考法五組合體的體積與表面積【例5-1】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側(cè)面積的比為（

）

A． B． C． D．【例5-2】（2023下·湖南長沙）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2023上·江蘇鹽城）如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設(shè)圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米2．（2023下·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南周口）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為，底面直徑，，，中間圓臺的高為，下面圓臺的高為，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為（

）A． B． C． D．4．（2023·河南）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（

）

A．B． C． D．考法六外接球與內(nèi)切球【例6-1】（2024上·重慶）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2024·四川德陽）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個球的體積為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2023湖北）長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B．56πC．14π D．16π2．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024下·重慶）已知球的直徑為是球面上兩點，且，則三棱錐的體積（

）A． B． C． D．4．（2024江西）已知三棱錐中，，，三點均在球心為的球表面上，且，，三棱錐的體積為，則球的表面積是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知正四面體的內(nèi)切球半徑為1，則外接球半徑為（

）A． B． C．2 D．3考法七最值問題【例7-1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┤鐖D，正四面體的棱長為2，在上有一動點，過作平行于底面的截面，以該截面為底面向下挖去一個正三棱柱，則該正三棱柱側(cè)面積的最大值為（

）

A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024·陜西咸陽習(xí)）在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（）A． B． C． D．2．（2024上·貴州黔東南）現(xiàn)準(zhǔn)備給一半徑為的實心球體玩具制作一個圓臺型帶蓋的紙質(zhì)包裝盒，要使制成的包裝盒能裝下該球體玩具，且該包裝盒的下底面是半徑為的圓，則制成的包裝盒的容積最小為（

）

A． B． C． D．3．（2024下·四川）已知正三棱柱的側(cè)面積為．當(dāng)這個正三棱柱的所有棱長之和最小時，它的外接球的表面積為．4．（2024上·江蘇）某興趣小組準(zhǔn)備將一棱長為a的正方體木塊打磨成圓錐，則圓錐的最大體積為．單選題1（2023·陜西西安）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側(cè)棱長為（

）A．3 B．4 C．5 D．62（2024上·四川南充）若圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖面積是（

）．A． B． C． D．3．（2024上·河北張家口）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖南岳陽）正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（

）．A． B． C． D．5．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中校考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（

）

A． B． C． D．6．（2023下·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．

8（2024·陜西渭南）如圖，一個直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長.當(dāng)側(cè)面ABCD水平放置時，液面與棱的交點恰為的中點.當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（

）A．3 B．4 C．5 D．6多選題9．（2023下·新疆昌吉·高一統(tǒng)考期末）正六棱臺的上、下底面邊長分別是和，側(cè)棱長是，則下列說法正確的是（

）A．該正六棱臺的上底面積是B．該正六棱臺的側(cè)面面積是C．該正六棱臺的表面積是D．該正六棱臺的高是10．（2024下·重慶）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則（

）A．該圓錐的母線長為2B．該圓錐的體積為C．從點經(jīng)過圓錐的表面到達點的最短距離為D．過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為11．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的側(cè)面積為 D．該圓臺的體積為12．（2023下·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）陽馬和鱉臑［biēnào］是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖5）．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑（圖6）．若圖1中的長方體是棱長為4的正方體，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．鱉臑中只有一個面不是直角三角形 B．鱉臑的外接球半徑為C．鱉臑的體積為正方體的 D．鱉臑內(nèi)切球半徑為填空題13．（2023上·山東）如圖，在正四棱臺中，已知，，且棱臺的側(cè)面積為6，則該棱臺的高為．

14．（2024上·遼寧撫順）降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學(xué)中，把24小時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級劃分如下表：日降雨量/mm等級小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學(xué)建模小組為了測量當(dāng)?shù)啬橙盏慕涤炅?，制作了一個圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當(dāng)日的降雨量等級為.

15．（2024上·山東濟南）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為．16．（2023上·上?！ぃ┰诘酌媸橇庑蔚闹彼睦庵?，直四棱柱的對角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積是