10.1 隨機(jī)事件與概率（解析版）（人教A版2019必修第二冊(cè)）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

10.1隨機(jī)事件與概率考法一事件的類型【例1-1】（2024浙江）給出下列事件：①函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；②小學(xué)生和張怡寧打乒乓球，張怡寧勝利；③一所學(xué)校共有名學(xué)生，有名學(xué)生的生日相同；④若集合、、滿足，，則；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，河流在時(shí)結(jié)冰；⑥從、、中任選兩數(shù)相加，其和為偶數(shù).其中屬于隨機(jī)事件的是，屬于必然事件的是，屬于不可能事件的是（填序號(hào)）.【答案】②③④⑥①⑤【解析】①中函數(shù)在定義域?yàn)闇p函數(shù)，說法不正確，故為不可能事件；②中可能張怡寧勝利也可能小學(xué)生勝利，故為隨機(jī)事件；③中，因?yàn)?，所以，有可能有名學(xué)生的生日相同，也有可能沒有名學(xué)生的生日相同，故為隨機(jī)事件；④中，根據(jù)集合的包含關(guān)系，④中說法正確，故為必然事件；⑤中的說法不正確，故為不可能事件；⑥中任意兩奇數(shù)和均為偶數(shù)，說法正確，故為必然事件.故答案為：②③；④⑥；①⑤.【例1-2】（2024四川巴中）如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，下列事件為必然事件的是（

）A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮【答案】C【解析】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，可知A，B兩盞燈均亮.故選：C.【一隅三反】1．（2023陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（

）①甲，乙兩人下棋，甲獲勝；②小明過馬路，遇見車的車牌號(hào)尾號(hào)是奇數(shù)；③某種彩票的中獎(jiǎng)率為99%，某人買一張此種彩票中獎(jiǎng)；④用任意平面截球體，所得截面圖形是橢圓形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)隨機(jī)事件的知識(shí)可知：①②③是隨機(jī)事件，④是不可能事件，所以隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C2．（2023湖北咸寧）在不透明的布袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)黑球、1個(gè)紅球，從中摸一個(gè)球，摸出1個(gè)黑球這一事件是（

）A．必然事件 B．隨機(jī)事件 C．確定事件 D．不可能事件【答案】B【解析】根據(jù)題意，從布袋中摸出一個(gè)球，有可能是黑球，也有可能是紅球，故摸出1個(gè)黑球是隨機(jī)事件.故選：B.3．（2023云南）判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？（1）拋擲一塊石子，下落；.（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰融化；（3）某人射擊一次，中靶；（4）如果，那么；（5）擲兩枚硬幣，均出現(xiàn)反面；（6）拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為15；（7）從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽；（8）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（9）綠葉植物，不會(huì)光合作用；（10）在常溫下，焊錫熔化；（11）若為實(shí)數(shù)，則；（12）某人開車通過十個(gè)路口，都遇到綠燈；其中必然事件有；不可能事件有；隨機(jī)事件有【答案】（1）、（4）、（11）（2）、（6）、（9）、（10）（3）、（5）、（7）、（8）、（12）【解析】（1）拋擲一塊石子，下落，是必然事件；（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰不可能融化，是不可能事件；（3）某人射擊一次，可能中靶，也可能不中靶，是隨機(jī)事件；（4）如果，那么必然成立，是必然事件；（5）擲兩枚硬幣，有四種情況，均出現(xiàn)反面可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；（6）拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和最大為12，所以點(diǎn)數(shù)之和為15不可能發(fā)生，是不可能事件；（7）從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，有5種情況，得到4號(hào)簽是隨機(jī)事件；（8）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到呼叫次數(shù)不確定，所以收到2次呼叫是隨機(jī)事件；（9）綠葉植物，都會(huì)光合作用，所以是不可能事件；（10）焊錫熔點(diǎn)一般為183度，所以常溫不可能熔化，是不可能事件；（11）若為實(shí)數(shù)，則必然成立，是必然事件；（12）某人開車通過十個(gè)路口，紅綠燈都可能遇到，所以都遇到紅燈是隨機(jī)事件；故答案為：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）考法二樣本點(diǎn)與樣本空間【例2-1】（2023高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加演講比賽，通過抽簽確定演講的順序，記錄抽簽的結(jié)果；(3)連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和；(4)設(shè)袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球，從中不放回地逐個(gè)取出，直至白球全取出，記錄取球的次數(shù)．【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面；(2)答案見解析；(3)；(4)．【解析】（1）第一次硬幣向上面與第二次硬幣向上的面構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為：正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面（2）四個(gè)同學(xué)的一個(gè)排列構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙；（3）第一枚骰子和第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)和構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為：；（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，樣本空間為：．【例2-2】（2023北京）在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對(duì)值為2或4的事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對(duì)值為2或4的事件包含的樣本點(diǎn)為，所以取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對(duì)值為2或4的事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：C【一隅三反】1．（2023廣東深圳）做投擲2枚均勻骰子的試驗(yàn)，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：(1)試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含的樣本點(diǎn)；(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的樣本點(diǎn)；(4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含的樣本點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【解析】（1）試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)樣本點(diǎn)：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).2．（2023高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）從兩名男生（記為和）和兩名女生（記為和）這四人中依次選取兩名學(xué)生．(1)請(qǐng)寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間；(2)請(qǐng)寫出不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】（1）有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)，樣本空間為：,共16個(gè)樣本點(diǎn).（2）不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)，樣本空間為：,共12個(gè)樣本點(diǎn).考法三互斥與對(duì)立事件【例3-1】（2023安徽）從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥不對(duì)立的事件是（

）A．恰有一個(gè)黃球與恰有一個(gè)藍(lán)球 B．至少有一個(gè)黃球與都是黃球C．至少有一個(gè)黃球與都是藍(lán)球 D．至少有一個(gè)黃球與至少有一個(gè)藍(lán)球【答案】A【解析】從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，不同的取球情況共有以下4種：①3個(gè)球全是黃球；②2個(gè)黃球和1個(gè)藍(lán)球；③1個(gè)黃球2個(gè)藍(lán)球；④3個(gè)球全是藍(lán)球．對(duì)于A，恰有一個(gè)黃球是情況③，恰有一個(gè)藍(lán)球是情況②，∴恰有一個(gè)黃球與恰有一個(gè)藍(lán)球是互斥不對(duì)立的事件，故A正確；對(duì)于B，至少有一個(gè)黃球是情況①②③，都是黃球是情況①，∴至少有一個(gè)黃球與都是黃球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，至少有一個(gè)黃球是情況①②③，都是藍(lán)球是情況④，∴至少有一個(gè)黃球與都是藍(lán)球是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，至少有一個(gè)黃球是情況①②③，至少有一個(gè)藍(lán)球是情況②③④，∴至少有一個(gè)黃球與至少有一個(gè)藍(lán)球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：A．【例3-2】（2023·新疆）一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對(duì)立事件為（

）A．至多有一次中靶 B．至多有兩次中靶C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶【答案】A【解析】由題意，事件“至少有兩次中靶”的對(duì)立事件為“至多有一次中靶”.故選：A.【一隅三反】1．（2023·湖南岳陽(yáng)）從1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)，設(shè)事件“2個(gè)數(shù)都為偶數(shù)”，“2個(gè)數(shù)都為奇數(shù)”，“至少1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，“至多1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是互斥但不對(duì)立事件C．與是互斥但不對(duì)立事件 D．與是對(duì)立事件【答案】A【解析】根據(jù)題意，則，所以與是互斥事件，A正確；，所以與是互斥且對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；，所以與是互斥且對(duì)立事件，C錯(cuò)誤；所以與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選：A.2．（2023陜西）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．甲與丙是互斥事件 B．乙與丙是對(duì)立事件C．甲與丁是對(duì)立事件 D．丙與丁是互斥事件【答案】D【解析】對(duì)于A，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，則兩次取球的情況有，所以事件甲丙可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，是互斥不對(duì)立的事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則兩次取球的情況有等，所以甲丁可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，D正確；故選：D．3．（2024陜西）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，下列每組事件是否為互斥事件？若是互斥事件，則是否互為對(duì)立事件？若不是對(duì)立事件，請(qǐng)分別說出事件、事件的對(duì)立事件．(1)表示“抽出的牌是紅心”，表示“抽出的牌是方片”；(2)表示“抽出的牌是紅心”，表示“抽出的牌是K”；(3)表示“抽出的牌是紅色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一張方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一張方片”．【答案】(1)答案見解析(2)與不互斥也不對(duì)立(3)與互斥且與對(duì)立．(4)與不互斥也不對(duì)立(5)與互斥且與對(duì)立．(6)答案見解析【解析】（1）因?yàn)楸硎尽俺槌龅呐剖羌t心”，表示“抽出的牌是方片”，所以與互斥，但與不對(duì)立．的對(duì)立事件是“抽出的牌不是紅心”，的對(duì)立事件是“抽出的牌不是方片”．（2）因?yàn)楸硎尽俺槌龅呐剖羌t心”，表示“抽出的牌是K”；當(dāng)出現(xiàn)紅心K時(shí)，事件、都發(fā)生，所以與不互斥也不對(duì)立．（3）因?yàn)楸硎尽俺槌龅呐剖羌t色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；所以與互斥且與對(duì)立．（4）因?yàn)楸硎尽俺槌龅呐泼媸?，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；當(dāng)出現(xiàn)方片2，3，4，6，10之一，則事件、都發(fā)生，所以與不互斥也不對(duì)立．（5）因?yàn)楸硎尽俺槌龅呐泼媸?，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；所以與互斥且與對(duì)立．（6）因?yàn)楸硎尽俺槌龅呐泼媸?，3，4，5，6，7之一的一張方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一張方片”．所以與互斥，但與不對(duì)立．的對(duì)立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”，的對(duì)立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”．考法四事件的關(guān)系與運(yùn)算【例4-1】（2023山東）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】用表示試驗(yàn)的射擊情況，其中表示第1次射擊的情況，表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間.由題意得，，，，則，，且.即ABC都正確；又，..故D不正確.故選：D.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·單元測(cè)試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故，故B正確，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D錯(cuò)誤，故選：D.2（2023甘肅）1.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；(2)試求AD，B+C所包含的樣本點(diǎn)，并判斷AD與B+C的關(guān)系.【答案】(1)B?A，C?A，E?A，A=B+C+E(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，AD=B+C【解析】（1）事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個(gè)基本事件，所以B?A，C?A，E?A，A=B+C+E（2）“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個(gè)基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個(gè)基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或兩次正面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，所以AD=B+C3．（2023湖南）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中；=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.（1）與互斥；（2），為對(duì)立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F(xiàn)為對(duì)立事件；（9）；（10）【答案】（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）正確；（7）正確；（8）正確；（9）正確；（10）正確.【解析】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,由題意知,,,,,.（1）,,滿足,所以與互斥,故正確；（2）,,滿足但不滿足.所以為互斥事件,但不是對(duì)立事件,故錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)應(yīng)的集合易得,（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）,所以,故正確；（7）,故正確；（8）因?yàn)?,所以E,F為對(duì)立事件,故正確；（9）正確；（10）正確.4．（2024廣西）設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件，，，求下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】1）由已知；（2）由題意；（3）由已知，，所以（4）由已知，，所以．考法五古典概型【例5-1】（2024河南洛陽(yáng)）從集合中任取兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值為2的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】從集合中任取兩個(gè)元素的取法有，共6種，其中滿足兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值為2的取法有，共3種.故這兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值為2的概率為.故選：B.【例5-2】（2024河南南陽(yáng)）（多選）下列情境適合用古典概型來描述的是（

）A．向一條線段內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，觀察點(diǎn)落在線段上不同位置B．五個(gè)人站一排，觀察甲乙兩人相鄰的情況C．從一副撲克牌（去掉大、小王共52張）中隨機(jī)選取1張，這張牌是紅色牌D．某同學(xué)隨機(jī)地向靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，命中9環(huán)，命中1環(huán)和脫靶【答案】BC【解析】對(duì)于A，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無數(shù)個(gè)，顯然不是古典概型，故錯(cuò)誤，對(duì)于B，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，故正確，對(duì)于C，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，故正確，對(duì)于D，顯然實(shí)驗(yàn)并非等可能，故錯(cuò)誤.故選：BC【一隅三反】1．（2024高一上·山東威海）甲、乙兩校各有名教師報(bào)名支教，若從報(bào)名的名教師中任選名，則選出的名教師來自不同學(xué)校的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)甲校報(bào)名支教的兩名教師為，乙校報(bào)名支教的兩名教師為，從這報(bào)名的名教師中任選名，共有這6種情況，選出的名教師來自不同學(xué)校共有這4種情況，所以所求概率為.故選：C.2．（2024湖北咸寧）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】三名男工人記為，兩名女工人記為，任選兩人的試驗(yàn)的樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，選出兩人恰好都是男工人的事件，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以這兩名工人恰好都是男工人的概率.故選：C3．（2024上海）安徽省新高考擬采用“”模式，其中“3”指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選科目，“1”指的是從物理或歷史兩科中選一科，即“首選科目”，“2”指的是從化學(xué)、生物、思想政治、地理四科中選兩科，即“再選科目”.已知某工業(yè)大學(xué)工程類招生選科要求首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物中至少有1科.從所有選科組合中任意選取1個(gè)，則選科組合符合該工業(yè)大學(xué)工程類招生選科要求的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用，，，，，分別表示“選擇物理”“選擇歷史”“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，共有12個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.設(shè)事件表示“選科組合符合該工業(yè)大學(xué)工程類招生選科要求”，則，共有5個(gè)樣本點(diǎn)，∴.故選：C.4（2024山東）1981年，在大連召開的第一屆全國(guó)數(shù)學(xué)普及工作會(huì)議上，確定將數(shù)學(xué)競(jìng)賽作為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)及各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)會(huì)的一項(xiàng)經(jīng)常性工作，每年9月第二個(gè)星期日舉行“全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽”，競(jìng)賽分為一試（滿分120分）和二試（滿分180分），在這項(xiàng)競(jìng)賽中取得優(yōu)異成績(jī)的學(xué)生有資格參加由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)奧林匹克委員會(huì)主辦的“中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克暨全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)”，已知2023年某地區(qū)有50名學(xué)生參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，其取得的一試成績(jī)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求實(shí)數(shù)的值并估計(jì)這50名學(xué)生一試成績(jī)的70%分位數(shù)；(2)若一試成績(jī)?cè)?00分及以上的試卷需要主委會(huì)抽樣進(jìn)行二次審閱，評(píng)審員甲在這50名學(xué)生一試成績(jī)中按照分層抽樣的原則從和內(nèi)抽取3份試卷進(jìn)行審閱，已知同學(xué)的成績(jī)是105分，同學(xué)的成績(jī)是111分，求這兩位同學(xué)的試卷同時(shí)被抽到的概率．【答案】(1)，70%分位數(shù)為91；(2).【解析】（1）由上表可知，，解得，設(shè)這50名學(xué)生一試成績(jī)的70%分位數(shù)為，由于前三個(gè)矩形面積，前四個(gè)矩形面積，故得，，解得，即這50名學(xué)生一試成績(jī)的70%分位數(shù)約為91．（2）由圖知，成績(jī)?cè)谟腥?，成?jī)?cè)谟腥?，根?jù)分層抽樣的原則，成績(jī)?cè)诔?份，成績(jī)?cè)诔?份，設(shè)，，，四位同學(xué)的成績(jī)?cè)?，，兩位同學(xué)的成績(jī)?cè)?，根?jù)分層抽樣的原則有，，，，，，，，，，，共12個(gè)樣本，符合條件的，，共3個(gè)樣本，所以符合條件的概率為，即，兩位同學(xué)的試卷都被抽到的概率為．考法六概率的基本性質(zhì)【例6-1】（2024河南）已知，.（1）如果，那么，，；（2）如果A，B互斥，那么，，.【答案】0.50.30.20.800.5【解析】（1）如果，那么，，所以，，.（2）如果A，B互斥，那么，則，，.故答案為：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5【例6-2】（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選題）設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題錯(cuò)誤的為（）A．若是對(duì)立事件，且，則B．若是對(duì)立事件，則C．若是互斥事件，，，則D．若是互斥事件，，則【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若是對(duì)立事件，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)是對(duì)立事件時(shí)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)是互斥事件，，，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若是互斥事件，，則，故D項(xiàng)正確.故選：AC.【一隅三反】1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C2（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選題）設(shè)為古典概率模型中的兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A．若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是互斥事件B．若，，則是必然事件C．若，是互斥事件，，則；D．若，是對(duì)立事件，則；【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是互斥事件，所以A正確，對(duì)于B，若事件為“拋骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)1或2”，則，若事件為“拋骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的是小于等于4”，則，而此時(shí)不是必然事件，所以B錯(cuò)誤，C選項(xiàng)，由是互斥事件，則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由是對(duì)立事件，則為必然事件，即，故D正確；故選：AD3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列說法中不正確的是（

）A．若事件A與事件B是互斥事件，則B．若事件A與事件B滿足條件，則事件A與事件B是對(duì)立事件C．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件D．從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，則事件“取到紅色牌”與事件“取到梅花”是互斥事件【答案】ABC【解析】對(duì)于A，事件A與事件B是互斥事件，但不一定是對(duì)立事件，故A不正確；對(duì)于B，若是在同一試驗(yàn)下，由，說明事件A與事件B一定是對(duì)立事件，但若在不同試驗(yàn)下，雖然有，但事件A與事件B不一定對(duì)立，故B不正確；對(duì)于C，一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故C不正確；對(duì)于D，事件“取到紅色牌”與事件“取到梅花”是互斥事件，故D正確．故選：ABC.單選題1.（2024河北）袋中有2個(gè)黑球、6個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是（）A．取到的球的個(gè)數(shù)B．取到紅球的個(gè)數(shù)C．至少取到1個(gè)紅球D．至少取到1個(gè)紅球的概率【答案】B【解析】A的取值不具有隨機(jī)性，C是一個(gè)事件而非隨機(jī)變量，D中概率值是一個(gè)定值而非隨機(jī)變量，只有B滿足要求故選：B2．（20241·河北）同時(shí)擲兩枚大小相同的骰子，用（x，y）表示結(jié)果，記事件A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】因?yàn)槭录嗀＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)3（2023河南焦作·期末），，，，，是半徑為1的圓的六等分點(diǎn)，從中任選2點(diǎn)連接起來，則所得線段長(zhǎng)度小于2的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】任意連接6個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)可得到15條線段，其中長(zhǎng)度為2的線段有，，，共3條，其余線段長(zhǎng)度為1或，所以所得線段長(zhǎng)度小于2的概率為.故選：A4．（2023四川攀枝花）已知隨機(jī)事件和互斥，且，，則事件的對(duì)立事件的概率為（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】根據(jù)題意，因?yàn)?，事件和互斥，所以，所以，所以事件的?duì)立事件發(fā)生的概率為.故選：D.5．（22-23高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）給出下列命題，其中說法正確的是（

）A．若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則B．若事件A，B，C兩兩互斥，則C．若A，B為互斥事件，則D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)A，B為兩個(gè)互斥事件時(shí)，才有，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)事件A，B，C兩兩互斥，且時(shí)，才有，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)A，B為互斥事件時(shí)，，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由概率的性質(zhì)可知，若，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.6．（2023湖南）一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，事件A:命中環(huán)數(shù)大于8;事件B:命中環(huán)數(shù)大于5，則（）A．A與B是互斥事件 B．A與B是對(duì)立事件C．A?B D．A?B【答案】C【解析】事件A:命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事件B:命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故A?B.故選：C7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）同時(shí)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件，“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（

）A．為不可能事件 B．與為互斥事件C．為必然事件 D．與為對(duì)立事件【答案】B【解析】同時(shí)拋擲兩顆骰子，有36個(gè)結(jié)果，“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；對(duì)于選項(xiàng)A:表示“點(diǎn)數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：A與B不可能同時(shí)發(fā)生．故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：表示“點(diǎn)數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：與不能包含全部基本事件，故D錯(cuò)誤.故選:B．8．（2023甘肅天水）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與都是紅球C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球【答案】C【解析】根據(jù)題意，記2個(gè)紅球分別為A、B，2個(gè)黑球分別為a，b，則從這4個(gè)球中任取2個(gè)球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，兩個(gè)事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯(cuò)誤；B、至少有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，兩個(gè)事件不僅是互斥事件，也是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；C、恰有兩個(gè)黑球的基本事件為ab，恰有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，兩個(gè)事件是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故C正確；D、至少有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一個(gè)紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個(gè)事件不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.故選：C.多選題9．（2024陜西漢中）在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，其中是隨機(jī)事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品【答案】AB【解析】在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是隨機(jī)事件，A、B正確，在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，則“有3件次品”不是隨機(jī)事件，是不可能事件，C錯(cuò)誤；在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中取5件，則“至少有3件正品”為必然事件，不是隨機(jī)事件，D錯(cuò)誤.故選：AB10．（2024安徽亳州）中國(guó)四大名樓是一種泛稱，特指山西永濟(jì)鸛雀樓、江西南昌滕王閣、湖北武漢黃鶴樓、湖南岳陽(yáng)岳陽(yáng)樓．記事件“只去黃鶴樓”，事件“至少去兩個(gè)名樓”，事件“只去一個(gè)名樓”，事件“一個(gè)名樓也不去”，事件“至多去一個(gè)名樓”，則下列命題正確的是（

）A．E與H是互斥事件 B．F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，事件E，H不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故A正確；對(duì)于B，事件F與I不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對(duì)立事件，故B正確；事件“至多去一個(gè)名樓”剛好包含事件“只去一個(gè)名樓”與事件“一個(gè)名樓也不去”，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤故選：ABC．11．（2023江蘇）如圖，從1開始出發(fā)，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如從1移動(dòng)到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一條移動(dòng)路線，（

）A．從1移動(dòng)到9，一共有34條不同的移動(dòng)路線B．從1移動(dòng)到9過程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線有15條．C．若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過程中恰好跳過4的概率為D．若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記為經(jīng)過的概率，則【答案】AB【解析】畫出樹狀圖，結(jié)合圖形則從1移動(dòng)到9，一共有34條不同的移動(dòng)路線，A正確；從1移動(dòng)到9過程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線，即上圖倒數(shù)第三行有9的路線，有15條，B正確；若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過程中恰好跳過4的路線共有10條，則其概率為，C錯(cuò)誤；若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記為經(jīng)過的概率，則為最大值，，D錯(cuò)誤.故選：AB12．（2023云南·期中）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則下列說法正確的是（

）A．如果事件與事件互斥，那么B．如果事件與事件互斥，那么C．如果事件與事件對(duì)立，那么D．如果事件與事件對(duì)立，那么【答案】ACD【解析】對(duì)于A，事件與事件互斥，則，A正確；對(duì)于B，事件與事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定為1，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件與事件對(duì)立，則事件與事件互斥，有，C正確；對(duì)于D，事件與事件對(duì)立，事件是必然事件，則，D正確.故選：ACD填空題13．（2024高一上·湖南）一個(gè)不透明口袋中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，現(xiàn)隨機(jī)取一個(gè)小球然后放回，再隨機(jī)取出一個(gè)小球，則第一次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第二次取出的小球標(biāo)號(hào)的概率為．【答案】【解析】畫出樹狀圖:由樹狀圖可知：基本事件的總數(shù)共有16種，其中第一次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第二次取出的小球標(biāo)號(hào)有6種，所以第一次取出的小球標(biāo)號(hào)大于第二次取出的小球標(biāo)號(hào)的概率為.故答案為：.14．（2024·廣西·開學(xué)考試）甲?乙兩人下象棋，已知甲獲勝的概率是，平局的概率是，則乙獲勝的概率是.【答案】/0.25【解析】設(shè)事件表示“乙獲勝”，則，則.故答案為：.15．（2024四川涼山·期中）若A，B互為對(duì)立事件，，，且，，則的最小值是.【答案】8【解析】因?yàn)锳，B互為對(duì)立事件，則，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是8.故答案為：8.16．（2023山西）《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖，這是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由3根線組成（“”表示1根陽(yáng)線，“”表示1根陰線），從八卦中任取兩卦，則兩卦的6根線中恰有4根陽(yáng)線和2根陰線的概率為．

【答案】【解析】由題意可知，從八卦中任取兩卦，則樣本空間{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，離），（乾，艮），（乾，兌），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，離），（坤，艮），（坤，兌），（震，巽），（震，坎），（震，離），（震，艮），（震，兌），（巽，坎），（巽，離），（巽，艮），（巽，兌），（坎，離），（坎，艮），（坎，兌），（離，艮），（離，兌），（艮，兌）}，共包含28個(gè)樣本點(diǎn)．八卦中，3根都是陽(yáng)線的有一卦，2根陽(yáng)線、1根陰線的有三卦，1根陽(yáng)線、2根陰線的有三卦，3根都是陰線的有1卦，記事件“從八卦中任取兩卦，這兩卦的6根線中恰有4根陽(yáng)線和2根陰線”為A，則{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，離），（巽，兌），（離，兌）}，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，故所求概率為故答案為：.解答題17．（2024北京）從學(xué)號(hào)為1，2，3，4，5，6的六名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng)，其中1，3，5號(hào)同學(xué)為男生，2，4，6號(hào)同學(xué)為女生，記：C1＝{選出1號(hào)同學(xué)}，C2＝{選出2號(hào)同學(xué)}，C3＝{選出3號(hào)同學(xué)}，C4＝{選出4號(hào)同學(xué)}，C5＝{選出5號(hào)同學(xué)}，C6＝{選出6號(hào)同學(xué)}，D1＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)不大于1}，D2＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)大于4}，D3＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于6}，E＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于7}，F(xiàn)＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)大于6}，G＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)為偶數(shù)}，H＝{選出的同學(xué)學(xué)號(hào)為奇數(shù)}，等等.據(jù)此回答下列問題：(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？哪些是不可能事件？(2)如果事件C1發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？在集合中，集合C1與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述？(3)如果事件H發(fā)生，則可能是哪些事件發(fā)生？在集合中，集合H與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述？(4)有沒有某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生的情況？應(yīng)用集合的語(yǔ)言如何表示這種關(guān)系？(5)兩個(gè)事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例子嗎？【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析【解析】（1）必然事件有：E；隨機(jī)事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，G，H；不可能事件有：F；（2）如果事件C1發(fā)生，則事件D1，D3，E，H一定發(fā)生，D1＝C1，D3?C1，E?C1，H?C1；（3）可能是C1，C5，C3，D3發(fā)生，H＝C1∪C5∪C3；（4）D2和D3同時(shí)發(fā)生時(shí)，即為C5發(fā)生了.D2∩D3＝C5；（5）有，如：C1和C2；C2和C4等等.18．（2024廣州）箱子里有3雙不同的手套，從中隨機(jī)拿出2只，記事件拿出的手套不能配對(duì)，事件拿出的都是同一只手上的手套，事件拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對(duì)．(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件、事件、事件；(3)說出事件、事件、事件的關(guān)系．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)，，【解析】（1）設(shè)3雙手套為，，，其中，，代表左手手套，，，代表右手手套，樣本空間為，，，，，，，，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）根據(jù)（2）知，，．19．（2023海南?？冢┝?xí)近平總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社：會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)有高一120人、高二80人，高三40人報(bào)名參加志愿活動(dòng).根據(jù)活動(dòng)安排，擬按年級(jí)采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)．(1)第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？(2)現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語(yǔ)，求抽取的兩人都是高二學(xué)生的概率【答案】(1)6；4；2(2)【解析】（1）根據(jù)題意，報(bào)名的學(xué)生共有人，則抽取高一人數(shù)為；抽取高二人數(shù)為；抽取高三的人數(shù)為．（2）（2）記高二抽取的4位學(xué)生為a、b、c、d，高三抽取的2位學(xué)生為E、F，則從中抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件，其中抽取的兩人都是高二學(xué)生的有：，，，，，，共6個(gè)基本事件，抽取的兩人都是高二學(xué)生的概率為．20．（2023河南焦作·期末）某校組織《反間諜法》知識(shí)競(jìng)賽，將所有學(xué)生的成績(jī)（單位：分）按照，，…，分成七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這次競(jìng)賽成績(jī)平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)從競(jìng)賽成績(jī)不低于85分的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，再?gòu)牡诹M和第七組被抽到的學(xué)