第5講復(fù)數(shù)原卷版

第5講復(fù)數(shù)【復(fù)習(xí)目錄】一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算二、共軛復(fù)數(shù)三、求復(fù)數(shù)的模四、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部五、復(fù)數(shù)的相等六、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)七、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限八、根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)九、根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)十、由復(fù)數(shù)模求參數(shù)十一：復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題【知識(shí)歸納】1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)．(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).【題型歸納】題型一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1．（2223高一下·湖北恩施·期末）已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．（2223高一下·安徽亳州·期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2223高一下·廣西北海·期末）已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．題型二、共軛復(fù)數(shù)4．（2223高一下·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1 B． C． D．5．（2223高一下·廣東陽(yáng)江·期末）設(shè)，是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模等于（

）A． B． C． D．6．（2223高一下·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．題型三、求復(fù)數(shù)的模7．（2223高一下·福建三明·期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．2 C． D．18．（2223高一下·浙江金華·期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的模相等，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．±11 D．119．（2223高一下·江蘇南京·期末）已知復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為（

）A． B． C． D．題型四、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部10．（2223高一下·云南大理·期末）若復(fù)數(shù)滿足，則關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的實(shí)部為 B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為 D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在第一象限11．（2223高一下·重慶沙坪壩·期末）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．112．（2022·廣東梅州·二模）復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．題型五、復(fù)數(shù)的相等13．（2223高一下·河南開封·期末）已知復(fù)數(shù)，且，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．14．（2223高一下·上海浦東新·期末）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)（1）如果，則；（2）若，則；（3）；

（4）；正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（2223高一下·山西陽(yáng)泉·期末）已知復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型六、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)16．（2223高一下·新疆省直轄縣級(jí)單位·期末）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C． D．17．（2223高一下·重慶沙坪壩·期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．418．（2223高一下·安徽安慶·期末）已知a，b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)：，其中i為虛數(shù)單位，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型七、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限19．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．（2223高一下·黑龍江大慶·期末）已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限21．（2223高一下·遼寧·期末）棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：．根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型八、根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)22．（2223高一下·重慶渝中·期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．23．（2122高一下·上海浦東新·期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.24．（1920高一·全國(guó)）已知i是虛數(shù)單位，設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點(diǎn)，B，D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.題型九、根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)25．（2223高一下·貴州安順·期末）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是.26．（2223高一下·江西九江·期末）已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．27．（2122高一下·甘肅蘭州·期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，則.題型十：由復(fù)數(shù)模求參數(shù)28．（2223高一下·上海長(zhǎng)寧·期末）已知復(fù)數(shù)的模為，則實(shí)數(shù)．29．（2223高一下·廣東佛山·期末）設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．30．（2223高一下·北京東城·期末）已知為復(fù)數(shù)，且，寫出滿足上述條件的一個(gè)復(fù)數(shù)；的最大值為．題型十一：復(fù)數(shù)的綜合問(wèn)題31．（2223高一下·天津·期末）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，求；(3)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.32．（2223高一下·福建福州·期末）已知復(fù)數(shù)．(1)若在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍；(2)若為純虛數(shù)，設(shè)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求線段AB的長(zhǎng)度．33．（2223高一下·江蘇南京·期末）若定義一種運(yùn)算：.已知為復(fù)數(shù)，且.(1)求復(fù)數(shù)；(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，若為純虛數(shù)，求的最大值.【專題強(qiáng)化】一、單選題34．（2223高一下·上海奉賢·期末）是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的（

）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件35．（2223高一下·山西大同·期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．36．（2223高一下·新疆喀什·期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A．7 B．1 C．5 D．2537．（2223高一下·天津紅橋·期末）是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．38．（2223高一下·遼寧葫蘆島·期末）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．的最大值為139．（2223高一下·黑龍江·期末）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）．A． B． C． D．40．（2223高一下·山東青島·期末）對(duì)于下列四個(gè)命題：①滿足的復(fù)數(shù)只有、；②若、，且，則是純虛數(shù)；③復(fù)數(shù)的充要條件是；④在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．41．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，則的最大值是（

）A． B． C． D．42．（2324高一下·福建福州·期中）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．若，在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，則面積的最大值為D．二、多選題43．（2324高一下·福建莆田·期中）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，，下列命題中正確的是（

）A．若則 B．若則C．若則 D．44．（2324高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是（

）A．若，則且B．若，則的最小值為C．若，則D．若，則45．（2324高一下·重慶·期中）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記為，對(duì)于任意的兩個(gè)復(fù)數(shù)，，與下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若復(fù)數(shù)，則其對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．D．46．（2223高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知i為虛數(shù)單位，，.則下列選項(xiàng)中正確的有（）A．B．C．D．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)為方程的根47．（2223高一下·湖南湘西·期末）已知是虛數(shù)單位，若，則（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為； B．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；C．； D．復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根.三、填空題48．（2024·山西臨汾·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則．49．（2324高一下·河南鄭州·期中）已知復(fù)數(shù)，，并且，則．50．（2122高一下·全國(guó)·期末）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù).51．（2223高一下·河南鄭州·期中）已知復(fù)數(shù)和滿足，且，則的最小值是．四、解答題52．（2324高一下·浙江寧波·期中）已知復(fù)數(shù)，，（，是虛數(shù)單位）．(1)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，且是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．53．（2223高一下·貴州黔東南·期末）已知復(fù)數(shù)，．(1)若，求；(2)若是純虛數(shù)，求的值．54．（2223高一下·河北石家莊·期末）已知復(fù)數(shù)，，其中是實(shí)數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若是純虛數(shù)，求.55．（2223高一下·江西撫州·期末）已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根（是虛數(shù)單位，）．(1)求；(2)復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．56．（2223高一下·遼寧錦州·期末）已知i是虛數(shù)單位，a，，設(shè)復(fù)數(shù)，，，且.(1)若為純虛數(shù)，求；(2)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).①是否存在實(shí)數(shù)a，b，使向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，如果存在，求實(shí)數(shù)a，b的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若O，A，B三點(diǎn)不共線