2025屆四川省眉山車城中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2025屆四川省眉山車城中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.272．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經(jīng)過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.4．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（）A. B.1C.2 D.46．若直線與互相垂直，則實數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.37．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.8．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.9．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.10．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件12．設(shè)雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等差數(shù)列的前n項和.若，則_________.14．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選不同選法的種數(shù)為___________.15．長方體中，，已知點與三點共線且，則點到平面的距離為________16．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1上的動點，且AP⊥BD1，記點P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.18．（12分）有時候一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分數(shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評價分數(shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分數(shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機選取兩種購買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分數(shù)為分以上的概率.19．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項公式20．（12分）某高中招聘教師，首先要對應(yīng)聘者的簡歷進行篩選，簡歷達標(biāo)者進入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答3道題，第一題為教育心理學(xué)知識，答對得4分，答錯得0分，后兩題為學(xué)科專業(yè)知識，每道題答對得3分，答錯得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來應(yīng)聘，他們中僅有3人的簡歷達標(biāo)，若從這5人中隨機抽取3人，求這3人中恰有2人簡歷達標(biāo)的概率；（2）某進入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題答對與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績X的分布列及數(shù)學(xué)期望21．（12分）若存在常數(shù)，使得對任意，，均有，則稱為有界集合，同時稱為集合的上界.（1）設(shè)，，試判斷A、B是否為有界集合，并說明理由；（2）已知常數(shù)，若函數(shù)為有界集合，求集合的上界最小值.22．（10分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個零點，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C2、B【解析】根據(jù)題圖有且，結(jié)合五點法求參數(shù)，即可得的解析式.【詳解】由圖知：且，則，所以，則，即，又，可得，，則，，又，即有.綜上，.故選：B3、B【解析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)求出直線AD的方程，進而求出點D的坐標(biāo)計算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B4、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.5、C【解析】直接運用正弦定理可得，解得詳解】由正弦定理，得，所以故選：C6、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數(shù)a的值為.故選：C7、B【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B8、C【解析】取中點，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計算的正弦值.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C9、B【解析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.10、C【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設(shè)雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發(fā)生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項D不正確；A與D不可能同時發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項C正確故選：C.12、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.14、49【解析】丙沒有入選，相當(dāng)于從9個人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理即可得解.【詳解】丙沒有入選，把丙去掉，相當(dāng)于從9個人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿足題意的選法共有種.故答案為：49.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用，其中涉及到分類加法計數(shù)原理，屬于中檔題.一些常見類型的排列組合問題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類分步法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題.把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.15、【解析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為點與三點共線且，，設(shè)，即，∴，∴，∴，即，∴點到平面的距離為.故答案為：.16、##【解析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及坐標(biāo)的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，，∵，∴，解得，因為，所以c的最大值為，即點P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性；（2）設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設(shè)條件得出對任意恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞增【小問2詳解】設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對任意恒成立，即對任意恒成立由對任意恒成立，得當(dāng)時，則有符合題意；當(dāng)時，則有對任意恒成立的對稱軸為又的對稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點睛】關(guān)鍵點睛：在解決問題一時，求了一階導(dǎo)得不了函數(shù)的單調(diào)性，再次求導(dǎo)得，進而得出在恒成立，得在上的單調(diào)性.18、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此食品口味的評價分數(shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個基本事件，故事件發(fā)生的概率為.19、（1），；（2），【解析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項和公比，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則通項公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關(guān)系，然后采用累加法求解出的通項公式.【詳解】（1）因為等比數(shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當(dāng)時也滿足，所以，20、（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)題意可知，隨機變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨立事件的概率乘法公式分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列即可求出數(shù)學(xué)期望【小問1詳解】從這5人中隨機抽取3人，恰有2人簡歷達標(biāo)的概率為【小問2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，則，，，，，.故X的分布列為：X0346710P所以21、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由見解析（2）【解析】（1）解不等式求得集合A；由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合B，由此可得結(jié)論；（2）由函數(shù)，得出函數(shù)單調(diào)遞減，即有，分和兩種情況討論，求得集合的上界，再由集合的上界函數(shù)的單調(diào)性可求得集合的上界的最小值.【小問1詳解】解：由得，即，，對任意一個，都有一個，故不是有界集合；，，，，是有界集合，上界為1；【小問2詳解】解：，因為，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，因為函數(shù)為有界集合，所以分兩種情況討論：當(dāng)，即時，集合的上界，當(dāng)時，不等式為；當(dāng)時，不等式為；當(dāng)時，不等式為，即時，集合的上界，當(dāng)，即時，