新人教A版必修一 函數(shù)的零點(diǎn) 教案

函數(shù)的零點(diǎn)

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

函數(shù)的零點(diǎn)C理解函數(shù)零點(diǎn)的概念與意義，會(huì)判?？?/p>

斷一元二次方程根的存在性及根的

個(gè)數(shù)。

函數(shù)零點(diǎn)的概念與意義A了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，結(jié)合二次函少考

數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程

根的聯(lián)系。

零點(diǎn)的存在性定理B了解零點(diǎn)的存在性定理內(nèi)容，并能少考

進(jìn)行簡單應(yīng)用.

函數(shù)的零點(diǎn)分布B理解函數(shù)的零點(diǎn)分布，會(huì)判斷一元少考

二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)。

二分法求近似零點(diǎn)A根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠用二分法少考

求相應(yīng)方程的近似解.

知識(shí)提要

函數(shù)的零點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)主要包括函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理、函數(shù)的零點(diǎn)分布以及用二分法

求函數(shù)的近似零點(diǎn).

函數(shù)零點(diǎn)的概念與意義

對(duì)于函數(shù)y=/(x).我們把使/'(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).函數(shù)y=/'(x)的零點(diǎn)

就是方程/0)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

零點(diǎn)的存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)"(b)<0,那么函

數(shù)y=/(%)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cE(a,b)使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(%)=0

的根.

函數(shù)的零點(diǎn)分布

?函數(shù)的零點(diǎn)分布函數(shù)的零點(diǎn)在數(shù)軸上的分布情況，尤其指二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題.

?解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題的主要方法利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.

二分法求近似零點(diǎn)

對(duì)于圖象在區(qū)間［a,切上連續(xù)不斷且f(a)?/(/))<0的函數(shù)y="x),通過不斷的把函數(shù)y=

f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)

近似值的方法叫做二分法(bisection).

?二分法的精度通過二分法最后確定的函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間(a,b)的長度￡,即￡=|a-b|.

?二分法的近似解通過二分法最后確定的函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)都可以作為函

數(shù)零點(diǎn)的近似解，特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

精選例題

函數(shù)的零點(diǎn)

1。已知二次函數(shù)f(x)=%2一X—6在區(qū)間口,4］上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且〃1)=一6<

0,/(4)=6>0.由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在［1,4］內(nèi)有零點(diǎn).用二分法求解時(shí)，?。?,4］的

中點(diǎn)a，則/'(a)=.

【答案】-2.25

【分析】區(qū)間［1,4］的中點(diǎn)為2.5,f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.

2。方程(x-2)(2x+l)(x2-3)=0的實(shí)數(shù)解為.

【答案】V3,-73,2

3.已知函數(shù)f(x)=｛常，若函數(shù)。(%)=fM-1x-6有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取

值范圍是.

【答案】0<匕<：

【分析】畫出/0)和丫=6彳-3的圖象即可.

4.已知關(guān)于x的方程/+(a+l)x+2a=0的兩根分別在(一8,-1)和(1,+8)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為.

【答案】a<一|

5.某方程有一個(gè)無理根在區(qū)間。=(1,3)內(nèi)，若用二分法，求此根的近似值，則將D至少等

分次后，所得近似值的精確度為0.1.

【答案】5

【分析】因?yàn)楣堋?.1,得2建>20,n>4,所以至少等分5分.

6.己知函數(shù)/'(%)=x|m-x|(xeR),且/'(4)=0.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

【解】因?yàn)?"(4)=0,

所以4Im-4|=0.即m=4.

(2)作出函數(shù)f(x)的圖象；

x(x-4)=(x-2)2-4,x》4,

【解】/(x)=xIx-4|=

-x(x-4)=—(X—2)2+4,x<4.

/'(x)的圖象如圖所示：

(3)根據(jù)圖象指出/(均的單調(diào)遞減區(qū)間；

【解】/0)的減區(qū)間是[2,4].

(4)若方程f(x)=a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【解】從/'(%)的圖象可知，當(dāng)a>4或a<0時(shí),f(x)的圖象與直線y=a只有一個(gè)交點(diǎn),

方程/"(%)=a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即a的取值范圍是(一8,0)u(4,+00).

7,已知關(guān)于x的-元二次方程/+2mx+2m+l=0.

(1)若方程有兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

【解】設(shè)/'(久)=/+2mx+2m+1,其圖象的對(duì)稱軸為直線x=m,畫出示意圖.

根據(jù)示意圖，

方程有兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)等價(jià)于不等式組

"(T)>0,

/(0)<0,

'/■⑴<0,

1/(2)>0,

(2>0,

BnJ2m+1<0,

'，4m+2<0,

(6m+5>0,

解得一3vmv-

o2

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)根都在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

方程兩實(shí)根都在區(qū)間(0,1)內(nèi)等價(jià)于不等式組

M>0,

)/(0)>0,

1八1)>0,

\0<—m<1,

解得-：<nt41—V2.

80若函數(shù)f(x)=|M-2x|-a沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】由題意令g(x)=|/-2x|,函數(shù)g(x)=|/一2x|的圖象如下圖所示.

函數(shù)/'(x)沒有零點(diǎn)，即直線y=a與函數(shù)。。)=|"一2"的圖象沒有交點(diǎn)，觀察圖象可知,

此時(shí)a<0.故a的取值范圍為(一8,0).

9。已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>—2x的解集為(1,3).

(1)若方程fG)+6a=0有兩個(gè)相等的根，求函數(shù)fG)的解析式；

【解】因?yàn)椴坏仁絝(x)+2x>0的解集為(1,3),

所以方程f(x)=—2x的解為1和3,

所以f(x)+2x=a(x—l)(x—3),且a<0,

所以/'(x)=a(x-1)(%—3)—2x=ax2-(2+4a)x+3a,①

將方程f(x)+6a=0整理得a/-(2+4a)x+9a=0,②

因?yàn)榉匠挞谟袃蓚€(gè)相等的根，所以4=[-(2+4a)]2-4a-9a=0,

即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍)或a=—

將a=代入①得f(x)的解析式為f(x)=-1x2-1x-|.

(2)若不等式/"(x)>。有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】由(1)中a<0可知JQ)>0有解的充要條件是方程①有兩個(gè)不相等實(shí)根,

a<0,

可得

[2(1+2a)]2-4a-3a>0,

a<0,

即

a2+4a4-1>0,

解得<-2-g或a>-2+V3,

即aV—2—VS>或-2+A/3VQV0.

故當(dāng)f(x)>0有解時(shí)，實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(—8,—2-73)0(-2+73,0).

10.設(shè)函數(shù)/(%)=ax2+b%+c,且/⑴=—p3a>2c>2b.

(1)求證a>0且一3

a4

【解】/(I)=a+b+c=^,

所以3a+2c+2b=0.

因?yàn)?a>202b,

所以3a>0,2b<0.

(3a>2c=-3a—2b,b

i=一>—3Q，

U>0a

(3a>2b.b3

la>0a<2f

(2bV2G一b3

la>0=：<一不

所以且—

Q>03<—a<-4

(2)函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

【解】f(0)=c,/(2)=4Q+2b+c=Q—c.

①當(dāng)c>0時(shí)，因?yàn)閍>0,

所以f(0)=oOJ(1)=-,v0.

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)c40時(shí)，因?yàn)閍>0,/(I)=一：>0,/(2)=a-c>0.

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有上個(gè)零點(diǎn).

(3)設(shè)笈1，%2是函數(shù)/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，求1%1-的取值范圍?

【解】X1，%2是函數(shù)/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，

所以％1+&=_*勺/2=：=一|一'.

所以%-女1=[01+%2)2—4%%2=潞-4(一|一?=聆+2丫+2.

因?yàn)?/p>

—3<-a<-p4

所以4|%1-％21V

出-力|的取值范圍[企，亨卜

函數(shù)零點(diǎn)的概念與意義

1。若實(shí)數(shù)a>0,b>0,且：+：=1,則當(dāng)，吆的最小值為m時(shí)，函數(shù)f(x)=e-m*?inx|

-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【答案】1

【分析】

2a+b

8

即m=1,從而/'(x)—e-x|InxI-1.

由f(x)=e~xIInx|-1=0,得|Inx|=

因?yàn)楹瘮?shù)y=1Inx|與y=e*的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)/(久)=e-x|Inx|—1只有一個(gè)零點(diǎn).

2.若函數(shù)/(x)=2x-ax+3有一個(gè)零點(diǎn)是1,則f(—1)=.

【答案】6

【分析】/"(x)=2x-ax+3有一個(gè)零點(diǎn)為1,則2x1-ax1+3=0,=5,

所以/'(x)=2x—5x+3=—3x+3,故/'(-1)=6.

3.若函數(shù)f(x)=Igx+2x-3的零點(diǎn)在區(qū)間(k,k+1)內(nèi)(k6Z),則k=

【答案】1

4o對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

【答案】使f0)=0的實(shí)數(shù)%

5.若函數(shù)/(x)=ax2-x-1僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是.

【答案】。=一；或。=0

4

6.求下列函數(shù)的零點(diǎn).

(1)/(x)=%34-1；

【解】令/(%)=/+1=(%+1)(7-%+1)=0,解得％=一1.

所以/?(%)=%3+1的零點(diǎn)是一1.

..v2i7Y4-1

【解】令人行=立竿=鋁4=0,

7x-1x-1

解得x=-l.

所以/?(%)=嚕里的零點(diǎn)是一1.

7。己知函數(shù)/(%)=-3x2+2%-m+1.

(1)當(dāng)in為何值時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)、無零點(diǎn)；

【解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)方程一3/+2%-耀+1=0有兩個(gè)根，

易知4>0,即4=4+12(1-瓶)>0,可解得mV/

4=0,可解得m=/

J<0,可解得m>土

故m<g寸，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

m=g時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)處，求根的值.

【解】因?yàn)?是對(duì)應(yīng)方程的根，有1一根=0,可解得zn=l.

8.己知函數(shù)/(%)=/+2力欠+c(cvb<1),若函數(shù)/(%)的一個(gè)零點(diǎn)是1,且函數(shù)y=/(%)+

1有零點(diǎn).

(1)證明:一3Vc4一1,且b》0；

【解】因?yàn)楹瘮?shù)八%)的一個(gè)零點(diǎn)是1,

所以f(l)=0,即1+2b+c=0,

得c</?=——<1,得—3Vc,

函數(shù)y=f(x)+1有零點(diǎn)，即方程/+2b%+c+1=0有實(shí)數(shù)根，

故/=4b之-4(c+1)》0,即/=(c+1)2—4(c+1))0,

所以c>3或c4-1.

又cvbvl,所以一3VC4-1,由匕=-3-得b>0.

(2)若m是函數(shù)y=/(x)+1的一個(gè)零點(diǎn)，判斷/(m-4)的正負(fù)，并加以證明.

【解】f(m—4)的符號(hào)為正.

證明如下：

/(x)=x2+2bx+c=/一(c+l)x+c=(%—1)(%—c),

由為m是函數(shù)y=/(x)+1的一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(m)=-1,

從而f(m)=(m—c)(7n—1)<0,

所以c<m<1.

所以c—4VTH—4<—3<c,

這樣/(m—4)=(m—4—c)(m—4—1)>0,

即“m—4)的符號(hào)為正.

9.已知函數(shù)/(%)=4-^x2—2x(QWR).

(1)當(dāng)Q=3時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

【解】當(dāng)Q=3時(shí)，/(%)=—1/+|%2_2%,得r(%)=—尤2+3%—2.

因?yàn)?(%)=-x2+3x—2—(x—1)(%—2),

所以當(dāng)av%<2時(shí),/'(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)％VI或%>2時(shí)，/,(%)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1)和(2,+8).

(2)若對(duì)于任意％6[1,+8)都有r(%)<2(a-1)成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍;

【解】方法1：由/(%)=+|%2一2%,得r(x)=-2.

因?yàn)閷?duì)于任意％G[1,+8)都有/,(%)<2(a-1)成立，

即對(duì)于任意％E[1,+8)都有-%2+。%-2V2(a-1)成立，

即對(duì)于任意％G[L+8)都有/-ax+2a>0成立，

令九(%)=x2-ax+2a,要使對(duì)任意%G[1,+8)都有h(%)>0成立，

p>0

必須滿足4Vo或仁41

U(l)>0

fa2—8a>0

即a2—8a<0或<1

(1+Q>0

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(—1,8).

方法2：Etl/Cx)=—1x3+|x2—2x,得/''(x)=—/+ax—2,

因?yàn)閷?duì)于任意Xe[1,；8)扁r(x)<2(a-1)成立，

所以問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意xG[1,+8)都有f(x)]max<2(a-l).

因?yàn)槭?幻=一(％-32+9—2,其圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=/

①當(dāng)]<1時(shí)，即a<2時(shí)，f'(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減，

所以『(x)]max=r(l)=a-3，

由a—3V2(a—1),得a>—1,此時(shí)—1Va<2.

②當(dāng)㈠1時(shí)，即a》2時(shí)，f'(x)在[1用上單調(diào)遞增，在《，+8)上單調(diào)遞減，

所以r(X)max=r?=9一2,

由老一2<2(a-1),得0<a<8,此時(shí)2<a<8.

綜工①②可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一1,8).

(3)若過點(diǎn)(0,—3可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】設(shè)點(diǎn)P(t,-*3—2t)是函數(shù)y=f(x)圖象上的切點(diǎn)，

則過點(diǎn)P的切線的斜率為A=f'(t)=-t2+at-2,

所以過點(diǎn)P的切線方程為y+gt*—/12+2t=(—t2+at-2)(x—t).

因?yàn)辄c(diǎn)(o,-9在切線上，

所以一1+^戶—t2+2t=(―t2+at-2)(0—t)

即2t3_l[24-lQ.

32a3=

若過點(diǎn)(0,-9可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線，

則方程|t3-汕2+；0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令g(t)=|#-：at2+：,則函數(shù)y=g(t)與t軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)?

令g'(t)=2t2—at=0,解得t=?；騮=p

因?yàn)間(o)=g(f)=}

所以必須gG)=-#+,<0,即a>2.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+8).

10.若函數(shù)/'(x)=ax2-x-1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】(i)若a=0,則f(x)=—x-1為一次函數(shù)，易知函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(ii)若a豐0,則函數(shù)￡(久)為二次函數(shù)，它只有一個(gè)零點(diǎn)，

即方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，故4=1+4a=0,解得a=一；.

綜上，當(dāng)a=0或a=-j時(shí),函數(shù)/Xx)僅有一個(gè)零點(diǎn).

零點(diǎn)的存在性定理

1.若方程2a/-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】a>l

【分析】設(shè)/(%)=2a分-x-1,由題意得/(0)?/(I)<0,即(一1)?(2a-2)<0,

所以a>1.

2。設(shè)%o是函數(shù)/(%)=2"+%的零點(diǎn)，且&W+l),kWZ,則/c=.

【答案】-1

3.若方程Inx+2x-6=0在(71,71+l),neZ內(nèi)有一解，則n=().

【答案】2

4。若方程Inx+2x-10=0的解為與，則不小于X。的最小整數(shù)是.

【答案】5

【分析】設(shè)/'(x)=lnx+2x-10,則/'(4)=ln4-2<0/(5)=ln5>0,所以/'(4)?/'(5)<

0.故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(4,5),即&6(4,5).故不小于&的最小整數(shù)是5.

5o方程％2一|%一血=。在[_1,1]上有實(shí)根，則m的取值范圍是.

【答案】卜總|]

【分析】因?yàn)椋?一|%一巾=0,

所以TH=X2-|x,XG[-1,1],原題可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)m/一|%在上的值域問題，

所以7n=/_|x=(x_9)一看6卜高式

(1)已知函數(shù)/(%)=-4,若在[一2,0)上存在%0，使/(&)=0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

【解】由已知，得/(—2)?(0)40即(―6m—4),(—4)40,

解得所以m的取值范圍是(一8,-2.

⑵若方程2a/一X一1=0在(0,1)上恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】由已知，得一1?(2。一1一1)<0,解得a>L所以a的取值范圍是(1,+8).

7。已知函數(shù)f(x)是定義在(一8,0)u(0,+8)上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí)/(X)=log2x.

(1)求當(dāng)％<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

【解】當(dāng)％V0時(shí),/(X)=-log2(-x).

(2)若g(x)=2z(x6R)集合A={x\/(x)>2},B={%Ig(x)>16或曰<g(x)<1],試

判斷集合A和8的關(guān)系;

【解】集合力={%I%>4或一}《％Vo},B={%4或-［4X《()},4是B的真子

集；

’(3)已知對(duì)于任意的k€N,不等式1恒成立，求證：函數(shù)/(%)的圖象與直線y=%沒

有交點(diǎn)；

【解】根據(jù)對(duì)稱性，只要證明函數(shù)/(%)的圖象與直線y=%在％E(0,+8)上無交點(diǎn)即可.

令％E(O,+8),函數(shù)月=log2%,y2=x.

當(dāng)%6(0,1］時(shí),yi>0,y2>0,則為<y2.

kk+1k

當(dāng)％6(2,2］(keN)時(shí),%4k+1,y2>2>k+1,則％<力,則在%€(0,+8)上直線

y=x始終在y=log2》的圖象之下方.

綜上所述，由于對(duì)稱性可知，函數(shù)/(%)的圖象與直線y=%沒有交點(diǎn).

8o已知二次函數(shù)/(%)=QM+/)%+c(atb,ceR),/(-2)=/(O)=0,/(%)的最小值為-1.

(1)求函數(shù)f(%)的解析式；

【解】因?yàn)閒(—2)=/(0)=0/(x)的最小值為一1,所以QVO,/(-1)=—1,一2和0是對(duì)

應(yīng)方程a/+力％+。=0的兩根.

2

根據(jù)題意,不妨設(shè)/(%)=ax［x+2),又/(一1)=-1,所以Q=1,所以/(%)=x+2x.

(2)設(shè)g(x)=/(-%)-4/(x)+1,若g(%)在［-1,1］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)兀的取值范圍；

【解】g(%)=(1-A)%2-2(1+A)x+1,

①當(dāng);I=1時(shí)應(yīng)(%)=-4x+1在上是減函數(shù)，滿足題意.

②當(dāng);IK1時(shí)，對(duì)稱軸方程為:x=巖.

1-A

i)當(dāng)4<1時(shí)，1-4>0,所以=>101+4》1-；1,得04/1<1；

1-A

ii)當(dāng)a>1時(shí),1—Ao,所以^--4—1=1+a>—1+Ar得a>1.

綜上所得，4》0.

(3)設(shè)函數(shù)九(%)=log21p-若此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范

圍.

【解】函數(shù)九(%)=1嗚歷-/(%)］在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，必須且只須有P-/(%)>0有解,

且P一/(%)-1無解?

即［p—f(%)］max>0,且1不在［p-/0)］的值域內(nèi).

又f(x)的最小值為一1，所以函數(shù)丫=2一/(刀)的值域?yàn)?一8邛+1］.所以{；；；：；，解得

-1<p<0.

所以p的取值范圍為(一1,0).

9.已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)-3和1,且有最小值-4.

(1)求/1(%)的解析式;

【解】由題意可得八一3)=0/(1)=0,所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,

設(shè)/(%)=a(x+l)2—4,令％=1,則/(l)=4Q—4=0,a=1,所以/(x)=%2+2x-3.

(2)令g(x)=m/3)+1(m0).①若m<0,證明：g(%)在［-3,+8)上有唯一零點(diǎn)；②

若m>0,求y=|g(%)I在卜3,|］上的最大值.

【解】①由題意得g(%)=zn(x+1尸一4m+1,m<0

對(duì)稱軸為％=-1>一3,所以g(x)在［-3,-1］上單調(diào)遞增，［-1,+8)上單調(diào)遞減.

又g(_3)=l>0,^(-l)=l-4m>0,

所以函數(shù)g(%)在沒有零點(diǎn)，在［-1,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(%)在［-3,+8)上有唯一零點(diǎn).

②g(-l)=l-4m,g(-3)==,+1,因?yàn)閙>0,所以g(|)>g(-3),

當(dāng)1_4m》0,即rn<［時(shí)，'max=1g(x)lmax=5(|)=J^+l,

當(dāng)1—4m<0,即時(shí)，

若4m-14+1,即:<mWax=1lmax=|g(|)|=；m+l.

若47n-1>^m+l,即mymax=|g(x)lmax=lg(T)1=4m-1,

綜上所述，當(dāng)0<m4強(qiáng)寸,ymax=+1；當(dāng)m>?時(shí)，ymax=4m-1.

10o已知函數(shù)g(x)=e'(e=2.718…)的圖象如圖所示.

(1)在所給坐標(biāo)系中畫出@(x)=(e-l)x+1的圖象;

【解】如圖，*(x)=(e—l)x+l的圖象是一條直線(過點(diǎn)(0,1)和(l,e)).

y

t-lg(x)=ex

fl/(p(x)=(c-\)x+\

(2)利用(1)中所作的圖象，比較g(0.9)與*(0.9)的大小;

【解】作直線x=0.9分別交g(x)和@0)于4,B兩點(diǎn).

因?yàn)锽在A的上方，所以g(0.9)>0(0.9).

(3)若f(x)=Inx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點(diǎn)c,并求出零點(diǎn)c的近似值X。所在的一個(gè)區(qū)間,

使得優(yōu)o-c|<0.1.

【解】因?yàn)閒(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)連續(xù)，所以在區(qū)間［2.5,e］上也連續(xù).

因?yàn)?l(2.5)=ln2.5+5-6=ln2.5-1<Ine-1=0,

/(e)=Ine+2e-6>l+2x2.7—6=0.4>0,

所以/?(2.5)-f(e)<0.

所以f(x)在(2.5,e)區(qū)間存在零點(diǎn)c,

故f(x)在(2,3)區(qū)間存在零點(diǎn)一

因?yàn)?(0.9)=(e-1)x0.9+1=0.9e+0.1<0.9X2.72+0.1=2.548<2.6.

又W(0.9)>5(0.9),

所以e09<2.6.

所以0.9<ln2.6.

因?yàn)?'(2.6)=ln2.6+5.2-6=ln2.6-0.8>0.9-0.8=0.1>0,

所以f(2.5)?f(2.6)<0.

所以零點(diǎn)c屬于區(qū)間(2.5,26).

若取零點(diǎn)c的近似值與所在區(qū)間為(252.6),則風(fēng)一c|<12.6-2.51=0.1,

所以零點(diǎn)c的近似值&可取區(qū)間(252.6).

函數(shù)的零點(diǎn)分布

z

1.已知函數(shù)/'(x)=-x+ax+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%1，不,且看<2<x2>則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

【答案】a>|

【分析】依題意得，g尉2+，了仇、。解出。>￡

(/(2)=-4+2a+a>0,3

2。已知函數(shù)/'(x)對(duì)任意的x6R滿足f(-x)=f(x),且當(dāng)x》0時(shí),/'(x)=/一+i.若

/'(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(4,+8)

3o若函數(shù)f(x)=x2—mx+27n的一個(gè)零點(diǎn)大于1,另一個(gè)零點(diǎn)小于1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

為.

【答案】m<—1

4。若方程7/一(m+13)>;-血一2=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)上，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】(一4,一2)

5。設(shè)函數(shù)xf1若函數(shù)y=/"(x)-2x+t有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍

是.

(答案1(-00,-2]U(0,21n2-1)

【分析】實(shí)際上是函數(shù)y=f(x)圖象與直線y=2%-t有兩個(gè)交點(diǎn)問題,過原點(diǎn)與曲線f(x)=

ex-l(x>0)相切的切線為y=x,而斜率為2的切線方程為y=2x-(21n2-1),從而得0<t<

21n2-l,又當(dāng)一t》2時(shí)恒有兩交點(diǎn)，故t4一2,所以t的取值范圍是(-8,-2]U(0,21n2-1).

6o若一元二次方程以2+3-+卜一3=o的兩根都是負(fù)數(shù)，求k的取值范圍.

【解】由題意,kRO,所以

(A=(3k)2-4k(k-3)>0,

3k

「不<。，

k-3

>0,

Ik

解得k<—當(dāng)或k>3.

70關(guān)于x的方程/+2(m+3)x+2m+14=0有兩實(shí)根在［0,4］內(nèi)，求m的取值范圍.

【解】令

/(%)=%24-2(m+3)%+2m4-14,

原命題等價(jià)于

f(0)>0,2m+1430,

/(4)>0,16+8(m+3)+2m+14>0,

2(m+3)

0<--―-<4,—7<m<—3,

m《一5或m》1,

4(m+3)2—4(2m+14)>0,

解得

27

<-5.

8.函數(shù)y=/+(m+l)x+m的兩個(gè)不同的零點(diǎn)是乙和%2，且%「&的倒數(shù)平方和為2，求

【分析】由題，+x2=-m-1,xrx2=m.

又4>0,???mH1.

11(X+X)2-2XXm2+l

—+—~----1------2------------1---2-=-----------解得TH=-1.

X?TX22(X,X2)2m2

【解】m=-l

9。畫出函數(shù)f(x)=2/—3%+1的圖象，判斷函數(shù)在以下區(qū)間(一1.5,-1),(0,0.5),(0.8,1.5)內(nèi)

有無零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解】首先作出xj(x)的對(duì)應(yīng)值表(如下)：

%-1.5-1-0.500.511.5

/(X)-1.2522.251-0.2503.25

所以圖象為

由上表和上圖可知，

/(-1.5)<0J(-l)>0,

即

f(一1.5)?“-1)<0,

說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(一1.5,-1)內(nèi)有零點(diǎn).同樣，它在區(qū)間(0,0.5)內(nèi)也有零點(diǎn).另外，/(1)=

0,所以1也是它的零點(diǎn).由于函數(shù)/'(x)在定義域(-8,—1.5)和(1,+8)內(nèi)是增函數(shù)，所以它共

有3個(gè)零點(diǎn).

10.已知關(guān)于x的方程/-2(m+2)x+zn2-1=0,則m取何實(shí)數(shù)值時(shí)，此方程:

(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

【解】由4=4(m+2尸—4(62—1)》0,解得m》一

(2)有兩個(gè)正根；

侑=4(m+2尸-4(m2-1)>0,

【解】由|m+2>0,解得或m>l.

^m2—1>0.

(3)有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根.

【解】由與孫=m2—1<0,得—1<m<1.

(注：這里不用再考慮4>0了，想想為什么？)

二分法求近似零點(diǎn)

u用二分法求方程/(x)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)的近似根,/(1)=-2,/(1.5)=0.625/(1.25)=

-0.984,/(1.375)=-0.260,下一個(gè)求/'(巾)，則m.

【答案】L4375

2o用二分法研究函數(shù)/(%)="+3工一1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0,/(0.5)>0,可

得其中一個(gè)零點(diǎn)出€，第二次應(yīng)計(jì)算，這時(shí)可判斷&€.

【答案】(0,0.5)；/(0.25)；(0.25,0.5)

3

【分析】由二分法知，x0€(005),取Xi=0.25,這時(shí)/(0.25)=0.25+3x0.25-1<0,故

X。6(0.25,0.5).

3。在用二分法求方程f(x)=0在［0,1］上的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，/(0.625)<0,/(0.75)>0,

/(0.6875)<0,即可得出方程的一個(gè)近似解為(精確度為0.1).

【答案】0.75或0.6875

【分析】因?yàn)镮0.75-0.68751=0.0625<0.1,所以0.75或0.6875都可作為方程的近似解.

4。在16枚嶄新的金幣中，有一枚外表與真金幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點(diǎn))，現(xiàn)在只有一

臺(tái)天平，若用二分法的思想，則最多稱次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣.

【答案】4

【分析】將16枚金幣均分成兩份，放在天平兩端，則假幣一定在較輕的8枚中;再將這8枚均分

成兩份，則假幣一定在較輕的4枚中，以此類推可得.

5。用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)；

(3)計(jì)算/8)；

①若/1(c)=0,則;

②若/1(a)?f(c)<0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)*oe)；

③若f(c)?f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)Xoe).

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡：即若Ia-b|<￡,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否則重復(fù)(2)-

(4).

【答案】(1)/(a)"(b)<0(2)c(3)①c就是函數(shù)的零點(diǎn)②(a,c)③(c,b)

6o用二分法求/一X一1=0在區(qū)間口,1.5］的一個(gè)近似解(精確到0.01).

【解】設(shè)/'(X)=/_x-1,

⑴=一1<0,。(1,5)=、>0,

O

???在區(qū)間［1,1.5］內(nèi),f(x)=0有實(shí)數(shù)解.

取［1,1.5］為初始運(yùn)算區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算列表如下:

端點(diǎn)(中點(diǎn))坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)取值區(qū)間

/(I)=-1<0,/(1.5)=0.875>0[1,1.5]

=1.25f(xi)<0[1.25,1.5]

艾2=1.375f3)>o[1.25,1.375]

%3=1.3125g<o[1.3125,1.375]

%4=1.34375fM>o[1.3125,1.34375]

%5=1.328125f3)>0[1.3125,1.328125]

%6=1.3203f(%6)<0[1.3203,1.3281]

x7=1.3242fg)<0[1.3242,1.3281]

XQ=1.32615/■(&)>0[1.3242,1.32615]

x9=1.32518m>o[1.3242,1.32518]

x10=1.32469/Uio)<0[1,32469,1.32518]

xn=1.32494fOii)>o[1,32469,1.32494]

???區(qū)間［1.32469,1.32494］的左右端點(diǎn)精確到0.01時(shí)所取近似值都是1.32.因此1.32就是所求的近

似解.

7o設(shè)函數(shù)g(x)=—6x3-13x2—12x—3.

(1)證明:g(x)在區(qū)間(一1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn);

【解】令gg)=0,由解)？;算；=X。6(-1.0),

所以g(x)在區(qū)間(一1,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).

(2)借助計(jì)算器，求出g(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)零點(diǎn)的近似解.(精確到0.1)

【解】由驚)吵比0”(-。5。)；

嚅荔)io'，—

由歸;養(yǎng)I°=&6(-0.5,-0.375);

由鍬蕾<>0°25375,-。375),

所以%0X-0.4.

8。在26枚嶄新的金幣中混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(重量輕一點(diǎn)),現(xiàn)在只有一臺(tái)

天平(無祛碼)，請(qǐng)問你最少稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣？(要求思想和方法是恰當(dāng)、可行、

便捷的)

【解】第一步，將26枚金幣平均分成兩份放在托盤上，假幣在較輕的13枚中；

第二步，將第一步中13枚較輕者分成6,6,1,若將6,6組合放入托盤平衡，則剩下1枚為

假幣；

第三步，若第二步中6,6組合不平衡，將較輕的6枚拿出并再分成3,3組合放入托盤稱重；

第四步：將第三步中較輕的3枚拿出分成1,1,1,拿其中2枚分別放在左、右托盤中,從中判

斷出哪枚為假幣.故最少四次正確的操作就可發(fā)現(xiàn)假幣.

9。求冠的近似值(精確度是0.01).

【解】令/(#)=/—2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的近似值就是短的近似值，下面用二分法求其

零點(diǎn)的近似值.

由于f(l)=一1<0,/(2)=6>0,故可取區(qū)間［1,2］作為計(jì)算的初始區(qū)間.

用二分法逐步計(jì)算，列表如下：

區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)近似值

[112]1.51.375

[1,1.5]1.25-0.0469

[1.25,1.5]1.3750.5996

[1.25,1.37]1.31250.2610

[1.25,1,31]1.281250.1003

[1.25,1.28]1.2656250.0273

[1,25,1,26]1.2578125-0.01

[1,2578125,1.265625]

區(qū)間［1.2578125,1.265625］的長度為1.265625-1.2578125=0.0078125<0.01,所以這個(gè)

區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)都可以作為函數(shù)/(x)零點(diǎn)的近似值，即好的近似值可以是1.2578125或

1.265625.

1()。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)“二分法”算法，求函數(shù)f(x)=x3+x2-1在區(qū)間［0,1］上的零點(diǎn)的近似值(精確度為

0.01).

【解】算法如下：

第一步：因?yàn)閒(0)=—1,"1)=1,f(0)"(l)<0,則區(qū)間［0,1］為有解區(qū)間,精確度1-0=

1>0.01；

第二步：?。?,1］的區(qū)間中點(diǎn)0.5,計(jì)算外0.5)=-0.625,由于f(0.5)"(1)<0,可得到新的有

解區(qū)間［0.5,1］,精確度1—0.5=0,5>0,01；

第三步：?。?.5,1］的區(qū)間中點(diǎn)0.75,計(jì)算;'(0.75)“-0.0156,由于/'(0.75)"(1)<0,可得到

新的有解區(qū)間［0.75,1］,精確度1-0.75=0,25>0.01；

當(dāng)?shù)玫叫碌挠薪鈪^(qū)間［0.75,0.7578］時(shí)，

由于10.7578-0.751=0,0078<0.01,該區(qū)間精確度已滿足要求，取區(qū)間［0.75,0.7578］的中

點(diǎn)0.7539,那么0.75就是方程的一個(gè)近似值.

課后練習(xí)

Io設(shè)函數(shù)/(x)=Inx+mmGR,若g(x)=f'(x)有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

().

2.若函數(shù)f(x)=2ax-2a+1在上有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

3.方程Igx=sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)為.

4.已知函數(shù)八>)="+"+<:在(1,2)內(nèi)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，且/(々)<0.用不等式“>”、“<

”表示下列關(guān)系：(l)b+c+l0；(2)/(x0-1)0.

5。設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/)=2、+要,設(shè)90)=*?'、若函數(shù)y=

g(x)-t有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

6。已知小是方程4——4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)好+熠=4時(shí)，實(shí)數(shù)m的值

是.

7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，若ac<0,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

8。若函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)或(1,4)或(1,5)內(nèi)，則①函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)或

(2,3)內(nèi)；②函數(shù)f(x)在(3,5)內(nèi)無零點(diǎn)；③函數(shù)f(x)在(2,5)內(nèi)有零點(diǎn)；④函數(shù)/'(x)在(2,4)內(nèi)

不一定有零點(diǎn);⑤函數(shù)f(x)的零點(diǎn)必在(1,5)內(nèi).以上說法錯(cuò)誤的是(將標(biāo)號(hào)填在橫線

上).

9o已知f(x)=(x+l)“x-l|,若關(guān)于x的方程/(x)=x+t有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)t

的取值范圍是.

(2x+2.

10o已知函數(shù)f(x)=丁'"&,若函數(shù)y=f(x)-m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值

l|log2(x-1)］,x>1

范圍是.

llo方程(x+l)(x-2)(x-3)=1在區(qū)間(0,2)內(nèi)(填“有”或“無”)實(shí)數(shù)根.

12。已知函數(shù)f(x)=x2+mx-\1-x2|(mGR),若/(x)在區(qū)間(一2,0)上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)Tn的取值范圍是.

13.已知函數(shù)/'(x)=logM+久-b(a>0,且awl).當(dāng)2<a<3<b<4時(shí)，函數(shù)f(x)的零

點(diǎn)Xoe(n,n+1),neN*,則n=.

14。設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象在［a,b］上連續(xù)，若滿足,方程/。)=0在［a,b］上有實(shí)根.

15.已知函數(shù)f(x)=log2x+x-2的零點(diǎn)在區(qū)間(n,n+l)(n6Z)內(nèi)，則n=.

16o已知關(guān)于x的方程7/一(a+13)x+a2-a-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi，x2,且滿足0<

xx<1<x2<2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

17。已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)當(dāng)x€［0,1］時(shí),/(x)=X,且在［一1,3］內(nèi),關(guān)于x的方程

/(x)=/cx+fc+l(fc￡R,fc*一1)有四個(gè)根，則化的取值范圍是.

18。若關(guān)于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的兩實(shí)根a,凡滿足0<。<1<夕<2,則實(shí)數(shù)t的

取值范圍是.

19.已知函數(shù)f(x)=1x3+x2+(2a-l)x+a2-a+1,若f'Q)=。在(1,3］上有解，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為.

20.(1)定義在R上的函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，則方程f(x)=0在閉區(qū)間［一2,2］上至少

有個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)函數(shù)/'(x)=Igx-sinx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

(3)函數(shù)y=/與函數(shù)y=2'的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

21=函數(shù)y=Igx+2x-5的零點(diǎn)X。€(1,3),對(duì)區(qū)間(1,3)利用兩次"二分法"，可確定而所在的

區(qū)間為.

22.在用二分法求方程y=x3-2x-1的一個(gè)近似解時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下

一步可斷定該根所在的區(qū)間為.

23.下表是函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上一些點(diǎn)的函數(shù)值.由此可判斷：方程f(x)=0的一個(gè)近似解

為.(精確度0.1,且近似解保留兩位有效數(shù)字)

x11.251.371.4061.4381.51.621.751.8752

/(X)-2-0.984-0.260-0.0520.1650.6251.9852.6454.356

24。若函數(shù)/'(X)的圖象是連續(xù)不間斷的，根據(jù)下面的表格，可以斷定f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

為.(只填序號(hào))

x123456

/(X)136.12315.542-3.93010.678-50.667-305.678

①(一