數(shù)學備課資料：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精備課資料一、向量的向量積在物理學中，由于討論像力矩以及物體繞軸旋轉時的角速度與線速度之間的關系等這類問題的需要，就必須引進兩向量乘法的另一運算--向量的向量積.定義如下：兩個向量a與b的向量積是一個新的向量c:(1）c的模等于以a及b兩個向量為邊所作成的平行四邊形的面積;（2)c垂直于平行四邊形所在的平面；（3)其指向使a、b、c三向量成右手系——設想一個人站在c處觀看a與b時,a按逆時針方向旋轉一個小于180°的角而達到b.圖5向量a與b的向量積記作a×b.設a與b兩個向量的夾角為θ，則|a×b|=|a|｜b|sinθ。在上面的定義中已默認了a、b為非零向量,若這兩個向量中至少有一個是零向量，則a×b=0。向量的向量積服從以下運算律：（1)a×b=-b×a;（2)a×(b+c）=a×b+a×c；（3）（ma)×b=m（a×b).二、備用習題1。已知a,b，c是非零向量，則下列四個命題中正確的個數(shù)為（)①｜a·b｜=｜a|｜b｜a∥b②a與b反向a·b=-|a|｜b|③a⊥b｜a+b|=|a—b|④|a|=｜b|｜a·c|=|b·c|A。1B.2C.3D。42.有下列四個命題：①在△ABC中,若·>0,則△ABC是銳角三角形；②在△ABC中,若·〉0,則△ABC為鈍角三角形；③△ABC為直角三角形的充要條件是·=0;④△ABC為斜三角形的充要條件是·≠0.其中為真命題的是()A。①B.②C。③D。④3。設｜a|=8,e為單位向量，a與e的夾角為60°,則a在e方向上的投影為（)A.4B。4C。424。設a，b,c是任意的非零平面向量,且它們相互不共線,有下列四個命題:①(a·b）c-(c·a）b=0;②|a｜—|b｜<|a—b｜;③（b·c）a—（c·a）b不與c垂直;④（3a+2b）·（3a—2b）=9｜a|2-4｜b|其中正確的是()A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△ABC中,設=b,=c,則等于（)A。0B。S△ABCC。S△ABCD。2S△ABC6.設i,j是平面直角坐標系中x軸、y軸方向上的單位向量,且a=（m+1）i—3j,b=i+(m-1)j，如果（a+b）⊥（a—b),則實數(shù)m=_____________.7。若向量a，b，c滿足a+b+c=0，且｜a|=3,｜b|=1,|c|=4，則a·b+b·b+c·a=_________.8.設｜a|=3,|b|=4,a與b的夾角為150°，求：(1)（a—3b）·（2a+b（2）｜3a-4b9。已知|a｜=，｜b|=3，a與b的夾角為45°,且向量λa+b與a+λb的夾角為銳角,求實數(shù)λ的取值范圍.10.已知|a｜=2，|b|=1,a與b的夾角為，求向量m=2a+b與n=a—4b的夾角的余弦值。解答：1.C2。B3.B4.D5.D6.—27。-138。(1)—30+30;(2）.9.｛λ|λ〈或λ>。10.由向量的數(shù)量積的定義,得a·b=2×1×cos=1.∵m=2a+b，∴m2=4a2+b2+4a·b=4×4+1+4×1=21?！啵黰又∵n=a—4b，∴n2=a2+16b2—8a·b∴｜n|=2。設m與n的夾角為θ,則m·n=｜m|｜n｜cosθ。①又m·